MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axrnegex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axrnegex 11159
Description: Existence of negative of real number. Axiom 15 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rnegex 11183. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axrnegex (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ด

Proof of Theorem axrnegex
StepHypRef Expression
1 elreal2 11129 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ โ†” ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ R โˆง ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), 0RโŸฉ))
21simplbi 497 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (1st โ€˜๐ด) โˆˆ R)
3 m1r 11079 . . . 4 -1R โˆˆ R
4 mulclsr 11081 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ R โˆง -1R โˆˆ R) โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R) โˆˆ R)
52, 3, 4sylancl 585 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R) โˆˆ R)
6 opelreal 11127 . . 3 (โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โ†” ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R) โˆˆ R)
75, 6sylibr 233 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ โˆˆ โ„)
81simprbi 496 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด = โŸจ(1st โ€˜๐ด), 0RโŸฉ)
98oveq1d 7420 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ) = (โŸจ(1st โ€˜๐ด), 0RโŸฉ + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ))
10 addresr 11135 . . . 4 (((1st โ€˜๐ด) โˆˆ R โˆง ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R) โˆˆ R) โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), 0RโŸฉ + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) +R ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R)), 0RโŸฉ)
112, 5, 10syl2anc 583 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (โŸจ(1st โ€˜๐ด), 0RโŸฉ + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ) = โŸจ((1st โ€˜๐ด) +R ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R)), 0RโŸฉ)
12 pn0sr 11098 . . . . . 6 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ R โ†’ ((1st โ€˜๐ด) +R ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R)) = 0R)
1312opeq1d 4874 . . . . 5 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ R โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +R ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R)), 0RโŸฉ = โŸจ0R, 0RโŸฉ)
14 df-0 11119 . . . . 5 0 = โŸจ0R, 0RโŸฉ
1513, 14eqtr4di 2784 . . . 4 ((1st โ€˜๐ด) โˆˆ R โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +R ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R)), 0RโŸฉ = 0)
162, 15syl 17 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โŸจ((1st โ€˜๐ด) +R ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R)), 0RโŸฉ = 0)
179, 11, 163eqtrd 2770 . 2 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ) = 0)
18 oveq2 7413 . . . 4 (๐‘ฅ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ โ†’ (๐ด + ๐‘ฅ) = (๐ด + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ))
1918eqeq1d 2728 . . 3 (๐‘ฅ = โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ โ†’ ((๐ด + ๐‘ฅ) = 0 โ†” (๐ด + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ) = 0))
2019rspcev 3606 . 2 ((โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ โˆˆ โ„ โˆง (๐ด + โŸจ((1st โ€˜๐ด) ยทR -1R), 0RโŸฉ) = 0) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
217, 17, 20syl2anc 583 1 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ โ„ (๐ด + ๐‘ฅ) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3064  โŸจcop 4629  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1st c1st 7972  Rcnr 10862  0Rc0r 10863  -1Rcm1r 10865   +R cplr 10866   ยทR cmr 10867  โ„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-ni 10869  df-pli 10870  df-mi 10871  df-lti 10872  df-plpq 10905  df-mpq 10906  df-ltpq 10907  df-enq 10908  df-nq 10909  df-erq 10910  df-plq 10911  df-mq 10912  df-1nq 10913  df-rq 10914  df-ltnq 10915  df-np 10978  df-1p 10979  df-plp 10980  df-mp 10981  df-ltp 10982  df-enr 11052  df-nr 11053  df-plr 11054  df-mr 11055  df-0r 11057  df-1r 11058  df-m1r 11059  df-c 11118  df-0 11119  df-r 11122  df-add 11123
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator