![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > axrnegex | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Existence of negative of real number. Axiom 15 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-rnegex 11183. (Contributed by NM, 15-May-1996.) (New usage is discouraged.) |
Ref | Expression |
---|---|
axrnegex | โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ด + ๐ฅ) = 0) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | elreal2 11129 | . . . . 5 โข (๐ด โ โ โ ((1st โ๐ด) โ R โง ๐ด = โจ(1st โ๐ด), 0Rโฉ)) | |
2 | 1 | simplbi 497 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ (1st โ๐ด) โ R) |
3 | m1r 11079 | . . . 4 โข -1R โ R | |
4 | mulclsr 11081 | . . . 4 โข (((1st โ๐ด) โ R โง -1R โ R) โ ((1st โ๐ด) ยทR -1R) โ R) | |
5 | 2, 3, 4 | sylancl 585 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ ((1st โ๐ด) ยทR -1R) โ R) |
6 | opelreal 11127 | . . 3 โข (โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ โ โ โ ((1st โ๐ด) ยทR -1R) โ R) | |
7 | 5, 6 | sylibr 233 | . 2 โข (๐ด โ โ โ โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ โ โ) |
8 | 1 | simprbi 496 | . . . 4 โข (๐ด โ โ โ ๐ด = โจ(1st โ๐ด), 0Rโฉ) |
9 | 8 | oveq1d 7420 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ) = (โจ(1st โ๐ด), 0Rโฉ + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ)) |
10 | addresr 11135 | . . . 4 โข (((1st โ๐ด) โ R โง ((1st โ๐ด) ยทR -1R) โ R) โ (โจ(1st โ๐ด), 0Rโฉ + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ) = โจ((1st โ๐ด) +R ((1st โ๐ด) ยทR -1R)), 0Rโฉ) | |
11 | 2, 5, 10 | syl2anc 583 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ (โจ(1st โ๐ด), 0Rโฉ + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ) = โจ((1st โ๐ด) +R ((1st โ๐ด) ยทR -1R)), 0Rโฉ) |
12 | pn0sr 11098 | . . . . . 6 โข ((1st โ๐ด) โ R โ ((1st โ๐ด) +R ((1st โ๐ด) ยทR -1R)) = 0R) | |
13 | 12 | opeq1d 4874 | . . . . 5 โข ((1st โ๐ด) โ R โ โจ((1st โ๐ด) +R ((1st โ๐ด) ยทR -1R)), 0Rโฉ = โจ0R, 0Rโฉ) |
14 | df-0 11119 | . . . . 5 โข 0 = โจ0R, 0Rโฉ | |
15 | 13, 14 | eqtr4di 2784 | . . . 4 โข ((1st โ๐ด) โ R โ โจ((1st โ๐ด) +R ((1st โ๐ด) ยทR -1R)), 0Rโฉ = 0) |
16 | 2, 15 | syl 17 | . . 3 โข (๐ด โ โ โ โจ((1st โ๐ด) +R ((1st โ๐ด) ยทR -1R)), 0Rโฉ = 0) |
17 | 9, 11, 16 | 3eqtrd 2770 | . 2 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ) = 0) |
18 | oveq2 7413 | . . . 4 โข (๐ฅ = โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ โ (๐ด + ๐ฅ) = (๐ด + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ)) | |
19 | 18 | eqeq1d 2728 | . . 3 โข (๐ฅ = โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ โ ((๐ด + ๐ฅ) = 0 โ (๐ด + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ) = 0)) |
20 | 19 | rspcev 3606 | . 2 โข ((โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ โ โ โง (๐ด + โจ((1st โ๐ด) ยทR -1R), 0Rโฉ) = 0) โ โ๐ฅ โ โ (๐ด + ๐ฅ) = 0) |
21 | 7, 17, 20 | syl2anc 583 | 1 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โ (๐ด + ๐ฅ) = 0) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3064 โจcop 4629 โcfv 6537 (class class class)co 7405 1st c1st 7972 Rcnr 10862 0Rc0r 10863 -1Rcm1r 10865 +R cplr 10866 ยทR cmr 10867 โcr 11111 0cc0 11112 + caddc 11115 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7722 ax-inf2 9638 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-ral 3056 df-rex 3065 df-rmo 3370 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-int 4944 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6294 df-ord 6361 df-on 6362 df-lim 6363 df-suc 6364 df-iota 6489 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7853 df-1st 7974 df-2nd 7975 df-frecs 8267 df-wrecs 8298 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8467 df-oadd 8471 df-omul 8472 df-er 8705 df-ec 8707 df-qs 8711 df-ni 10869 df-pli 10870 df-mi 10871 df-lti 10872 df-plpq 10905 df-mpq 10906 df-ltpq 10907 df-enq 10908 df-nq 10909 df-erq 10910 df-plq 10911 df-mq 10912 df-1nq 10913 df-rq 10914 df-ltnq 10915 df-np 10978 df-1p 10979 df-plp 10980 df-mp 10981 df-ltp 10982 df-enr 11052 df-nr 11053 df-plr 11054 df-mr 11055 df-0r 11057 df-1r 11058 df-m1r 11059 df-c 11118 df-0 11119 df-r 11122 df-add 11123 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |