Theorem ax1rid 11147

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom 14 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Weakened from the original axiom in the form of statement in mulrid 11207, based on ideas by Eric Schmidt. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 11171. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 11111	. 2 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2		oveq1 7419	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3		id 23	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5		elsni 4607	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6		df-1 11109	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7	6	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8		1sr 11067	. . . . . . . 8 ⊢ 1R ∈ R
9		mulresr 11125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
10	8, 9	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11		1idsr 11084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
12	11	opeq1d 4845	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
13	10, 12	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
14	7, 13	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15		opeq2 4840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
16	15	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
17	16, 15	eqeq12d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
18	14, 17	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	18	impcom 412	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	5, 19	sylan2 604	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
21	1, 4, 20	optocl 5757	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4590  ⟨cop 4596  (class class class)co 7412  Rcnr 10851  0_Rc0r 10852  1_Rc1r 10853   ·_R cmr 10856  ℝcr 11100  1c1 11102   · cmul 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-ni 10858  df-pli 10859  df-mi 10860  df-lti 10861  df-plpq 10894  df-mpq 10895  df-ltpq 10896  df-enq 10897  df-nq 10898  df-erq 10899  df-plq 10900  df-mq 10901  df-1nq 10902  df-rq 10903  df-ltnq 10904  df-np 10967  df-1p 10968  df-plp 10969  df-mp 10970  df-ltp 10971  df-enr 11041  df-nr 11042  df-plr 11043  df-mr 11044  df-0r 11046  df-1r 11047  df-m1r 11048  df-c 11107  df-1 11109  df-r 11111  df-mul 11113

This theorem is referenced by: (None)