Theorem ax1rid 11151

Description: 1 is an identity element for real multiplication. Axiom 14 of 22 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. Weakened from the original axiom in the form of statement in mulrid 11208, based on ideas by Eric Schmidt. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-1rid 11175. (Contributed by Scott Fenton, 3-Jan-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ax1rid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem ax1rid

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-r 11115	. 2 ⊢ ℝ = (R × {0R})
2		oveq1 7408	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (𝐴 · 1))
3		id 22	. . 3 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴)
4	2, 3	eqeq12d 2740	. 2 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ = 𝐴 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (𝐴 · 1) = 𝐴))
5		elsni 4637	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ {0R} → 𝑦 = 0R)
6		df-1 11113	. . . . . . 7 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7	6	oveq2i 7412	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
8		1sr 11071	. . . . . . . 8 ⊢ 1R ∈ R
9		mulresr 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 1R ∈ R) → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
10	8, 9	mpan2 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩)
11		1idsr 11088	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ R → (𝑥 ·R 1R) = 𝑥)
12	11	opeq1d 4871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ R → ⟨(𝑥 ·R 1R), 0R⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
13	10, 12	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨𝑥, 0R⟩)
14	7, 13	eqtrid 2776	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩)
15		opeq2 4866	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 0R → ⟨𝑥, 𝑦⟩ = ⟨𝑥, 0R⟩)
16	15	oveq1d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 0R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = (⟨𝑥, 0R⟩ · 1))
17	16, 15	eqeq12d 2740	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 0R → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩ ↔ (⟨𝑥, 0R⟩ · 1) = ⟨𝑥, 0R⟩))
18	14, 17	imbitrrid 245	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 0R → (𝑥 ∈ R → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩))
19	18	impcom 407	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 = 0R) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
20	5, 19	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ R ∧ 𝑦 ∈ {0R}) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ · 1) = ⟨𝑥, 𝑦⟩)
21	1, 4, 20	optocl 5760	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4620  ⟨cop 4626  (class class class)co 7401  Rcnr 10855  0_Rc0r 10856  1_Rc1r 10857   ·_R cmr 10860  ℝcr 11104  1c1 11106   · cmul 11110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9631

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8698  df-ec 8700  df-qs 8704  df-ni 10862  df-pli 10863  df-mi 10864  df-lti 10865  df-plpq 10898  df-mpq 10899  df-ltpq 10900  df-enq 10901  df-nq 10902  df-erq 10903  df-plq 10904  df-mq 10905  df-1nq 10906  df-rq 10907  df-ltnq 10908  df-np 10971  df-1p 10972  df-plp 10973  df-mp 10974  df-ltp 10975  df-enr 11045  df-nr 11046  df-plr 11047  df-mr 11048  df-0r 11050  df-1r 11051  df-m1r 11052  df-c 11111  df-1 11113  df-r 11115  df-mul 11117

This theorem is referenced by: (None)