Theorem cshwmodn 14834

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding modulo the word's length. (Contributed by AV, 26-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshwmodn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwmodn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14832	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2		oveq1 7439	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3		oveq1 7439	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
4		0csh0 14832	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2792	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2802	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
7	6	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
8		lennncl 14573	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ≠ ∅ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zre 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnrp 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15		modabs2 13946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
16	13, 14, 15	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
17	16	opeq1d 4878	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)
18	17	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
19	16	oveq2d 7448	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
20	18, 19	oveq12d 7450	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
21	11, 12, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
22		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
23	12, 11	zmodcld 13933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12641	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
25		cshword 14830	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))))
27		cshword 14830	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
29	21, 26, 28	3eqtr4rd 2787	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	29	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
31	7, 30	pm2.61ine 3024	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  ∅c0 4332  ⟨cop 4631  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  ℕcn 12267  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035   mod cmo 13910  ♯chash 14370  Word cword 14553   ++ cconcat 14609   substr csubstr 14679   prefix cpfx 14709   cyclShift ccsh 14827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-substr 14680  df-pfx 14710  df-csh 14828

This theorem is referenced by:  cshwsublen  14835  cshwn  14836  1cshid  32945