Theorem cshwmodn 14745

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding modulo the word's length. (Contributed by AV, 26-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshwmodn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwmodn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14743	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2		oveq1 7416	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
4		0csh0 14743	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2789	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
7	6	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
8		lennncl 14484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	ex 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
10	9	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ≠ ∅ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	impcom 409	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zre 12562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnrp 12985	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15		modabs2 13870	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
16	13, 14, 15	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
17	16	opeq1d 4880	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)
18	17	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
19	16	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
20	18, 19	oveq12d 7427	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
21	11, 12, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
22		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
23	12, 11	zmodcld 13857	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12584	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
25		cshword 14741	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))))
26	22, 24, 25	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))))
27		cshword 14741	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
28	27	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
29	21, 26, 28	3eqtr4rd 2784	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	29	ex 414	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
31	7, 30	pm2.61ine 3026	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∅c0 4323  ⟨cop 4635  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℝcr 11109  ℕcn 12212  ℤcz 12558  ℝ⁺crp 12974   mod cmo 13834  ♯chash 14290  Word cword 14464   ++ cconcat 14520   substr csubstr 14590   prefix cpfx 14620   cyclShift ccsh 14738

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-csh 14739

This theorem is referenced by:  cshwsublen  14746  cshwn  14747  1cshid  32123