Theorem cshwmodn 14760

Description: Cyclically shifting a word is invariant regarding modulo the word's length. (Contributed by AV, 26-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 16-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
cshwmodn	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))

Proof of Theorem cshwmodn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0csh0 14758	. . . 4 ⊢ (∅ cyclShift 𝑁) = ∅
2		oveq1 7394	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (∅ cyclShift 𝑁))
3		oveq1 7394	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = (∅ cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
4		0csh0 14758	. . . . 5 ⊢ (∅ cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅
5	3, 4	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ∅)
6	1, 2, 5	3eqtr4a 2790	. . 3 ⊢ (𝑊 = ∅ → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
7	6	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑊 = ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
8		lennncl 14499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
10	9	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 ≠ ∅ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
11	10	impcom 407	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
12		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
13		zre 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
14		nnrp 12963	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℝ+)
15		modabs2 13867	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℝ+) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
16	13, 14, 15	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑁 mod (♯‘𝑊)))
17	16	opeq1d 4843	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩)
18	17	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩))
19	16	oveq2d 7403	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
20	18, 19	oveq12d 7405	. . . . 5 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
21	11, 12, 20	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
22		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
23	12, 11	zmodcld 13854	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12555	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ)
25		cshword 14756	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 mod (♯‘𝑊)) ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))))
26	22, 24, 25	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))) = ((𝑊 substr ⟨((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix ((𝑁 mod (♯‘𝑊)) mod (♯‘𝑊)))))
27		cshword 14756	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
28	27	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = ((𝑊 substr ⟨(𝑁 mod (♯‘𝑊)), (♯‘𝑊)⟩) ++ (𝑊 prefix (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
29	21, 26, 28	3eqtr4rd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))
30	29	ex 412	. 2 ⊢ (𝑊 ≠ ∅ → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊)))))
31	7, 30	pm2.61ine 3008	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑊 cyclShift 𝑁) = (𝑊 cyclShift (𝑁 mod (♯‘𝑊))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4296  ⟨cop 4595  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  ℕcn 12186  ℤcz 12529  ℝ⁺crp 12951   mod cmo 13831  ♯chash 14295  Word cword 14478   ++ cconcat 14535   substr csubstr 14605   prefix cpfx 14635   cyclShift ccsh 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-hash 14296  df-word 14479  df-concat 14536  df-substr 14606  df-pfx 14636  df-csh 14754

This theorem is referenced by:  cshwsublen  14761  cshwn  14762  1cshid  32881