Theorem s4prop 14967

Description: A length 4 word is a union of two unordered pairs of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4prop	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

Proof of Theorem s4prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s4 14907	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ 𝑆)
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
8	3, 5, 7	s3cld 14929	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ 𝑆)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ 𝑆)
11		cats1un 14776	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
13		df-s3 14906	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
14		s2cl 14935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
16		cats1un 14776	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
17	15, 7, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
18	13, 17	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
19		s2prop 14964	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
21	20	uneq1d 4121	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
22	18, 21	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
23	22	uneq1d 4121	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
24	12, 23	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
25		unass 4125	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})))
27		df-pr 4594	. . . . 5 ⊢ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})
28		s2len 14946	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2)
30	29	opeq1d 4846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩ = ⟨2, 𝐶⟩)
31		s3len 14951	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
33	32	opeq1d 4846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩ = ⟨3, 𝐷⟩)
34	30, 33	preq12d 4709	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
35	27, 34	eqtr3id 2814	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
36	35	uneq2d 4122	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
37	24, 26, 36	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
38	1, 37	eqtrid 2812	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ∪ cun 3904  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cop 4597  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  0cc0 11111  1c1 11112  2c2 12306  3c3 12307  ♯chash 14380  Word cword 14564   ++ cconcat 14621  ⟨“cs1 14648  ⟨“cs2 14898  ⟨“cs3 14899  ⟨“cs4 14900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-hash 14381  df-word 14565  df-concat 14622  df-s1 14649  df-s2 14905  df-s3 14906  df-s4 14907

This theorem is used by:  funcnvs4  14972  s4f1o  14975  s4dom  14976