MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  s4prop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem s4prop 14108
Description: A length 4 word is a union of two unordered pairs of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
s4prop (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

Proof of Theorem s4prop
StepHypRef Expression
1 df-s4 14048 . 2 ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
2 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝐴𝑆)
32adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐴𝑆)
4 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → 𝐵𝑆)
54adantr 481 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐵𝑆)
6 simpl 483 . . . . . . 7 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → 𝐶𝑆)
76adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐶𝑆)
83, 5, 7s3cld 14070 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆)
9 simpr 485 . . . . . 6 ((𝐶𝑆𝐷𝑆) → 𝐷𝑆)
109adantl 482 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → 𝐷𝑆)
11 cats1un 13919 . . . . 5 ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆𝐷𝑆) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
128, 10, 11syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
13 df-s3 14047 . . . . . . 7 ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
14 s2cl 14076 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
1514adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
16 cats1un 13919 . . . . . . . 8 ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆𝐶𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
1715, 7, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
1813, 17syl5eq 2843 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
19 s2prop 14105 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑆𝐵𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
2019adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
2120uneq1d 4059 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
2218, 21eqtrd 2831 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
2322uneq1d 4059 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
2412, 23eqtrd 2831 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
25 unass 4063 . . . 4 (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
2625a1i 11 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})))
27 df-pr 4475 . . . . 5 {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})
28 s2len 14087 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
2928a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2)
3029opeq1d 4716 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩ = ⟨2, 𝐶⟩)
31 s3len 14092 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
3231a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
3332opeq1d 4716 . . . . . 6 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩ = ⟨3, 𝐷⟩)
3430, 33preq12d 4584 . . . . 5 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
3527, 34syl5eqr 2845 . . . 4 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
3635uneq2d 4060 . . 3 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
3724, 26, 363eqtrd 2835 . 2 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
381, 37syl5eq 2843 1 (((𝐴𝑆𝐵𝑆) ∧ (𝐶𝑆𝐷𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  cun 3857  {csn 4472  {cpr 4474  cop 4478  cfv 6225  (class class class)co 7016  0cc0 10383  1c1 10384  2c2 11540  3c3 11541  chash 13540  Word cword 13707   ++ cconcat 13768  ⟨“cs1 13793  ⟨“cs2 14039  ⟨“cs3 14040  ⟨“cs4 14041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-oadd 7957  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-n0 11746  df-z 11830  df-uz 12094  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-hash 13541  df-word 13708  df-concat 13769  df-s1 13794  df-s2 14046  df-s3 14047  df-s4 14048
This theorem is referenced by:  funcnvs4  14113  s4f1o  14116  s4dom  14117
  Copyright terms: Public domain W3C validator