Theorem s4prop 14981

Description: A length 4 word is a union of two unordered pairs of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4prop	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

Proof of Theorem s4prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s4 14921	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
2		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		simpl 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ 𝑆)
7	6	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
8	3, 5, 7	s3cld 14943	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆)
9		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ 𝑆)
10	9	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ 𝑆)
11		cats1un 14790	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
12	8, 10, 11	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
13		df-s3 14920	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
14		s2cl 14949	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
15	14	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
16		cats1un 14790	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
17	15, 7, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
18	13, 17	eqtrid 2807	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
19		s2prop 14978	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
20	19	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
21	20	uneq1d 4114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
22	18, 21	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
23	22	uneq1d 4114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
24	12, 23	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
25		unass 4118	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})))
27		df-pr 4587	. . . . 5 ⊢ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})
28		s2len 14960	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2)
30	29	opeq1d 4839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩ = ⟨2, 𝐶⟩)
31		s3len 14965	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
33	32	opeq1d 4839	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩ = ⟨3, 𝐷⟩)
34	30, 33	preq12d 4702	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
35	27, 34	eqtr3id 2809	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
36	35	uneq2d 4115	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
37	24, 26, 36	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
38	1, 37	eqtrid 2807	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897  {csn 4584  {cpr 4586  ⟨cop 4590  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  0cc0 11124  1c1 11125  2c2 12319  3c3 12320  ♯chash 14394  Word cword 14578   ++ cconcat 14635  ⟨“cs1 14662  ⟨“cs2 14912  ⟨“cs3 14913  ⟨“cs4 14914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-concat 14636  df-s1 14663  df-s2 14919  df-s3 14920  df-s4 14921

This theorem is used by:  funcnvs4  14986  s4f1o  14989  s4dom  14990