Theorem s4prop 14883

Description: A length 4 word is a union of two unordered pairs of ordered pairs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
s4prop	⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

Proof of Theorem s4prop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-s4 14823	. 2 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩)
2		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ 𝑆)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐴 ∈ 𝑆)
4		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑆)
5	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐵 ∈ 𝑆)
6		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝐶 ∈ 𝑆)
7	6	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐶 ∈ 𝑆)
8	3, 5, 7	s3cld 14845	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → 𝐷 ∈ 𝑆)
10	9	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → 𝐷 ∈ 𝑆)
11		cats1un 14693	. . . . 5 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
12	8, 10, 11	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
13		df-s3 14822	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩)
14		s2cl 14851	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
15	14	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆)
16		cats1un 14693	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑆 ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
17	15, 7, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ++ ⟨“𝐶”⟩) = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
18	13, 17	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
19		s2prop 14880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵”⟩ = {⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩})
21	20	uneq1d 4133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
22	18, 21	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}))
23	22	uneq1d 4133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
24	12, 23	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
25		unass 4138	. . . 4 ⊢ (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}))
26	25	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩}) ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})))
27		df-pr 4595	. . . . 5 ⊢ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})
28		s2len 14862	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩) = 2)
30	29	opeq1d 4846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩ = ⟨2, 𝐶⟩)
31		s3len 14867	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
32	31	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3)
33	32	opeq1d 4846	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩ = ⟨3, 𝐷⟩)
34	30, 33	preq12d 4708	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩, ⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩} = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
35	27, 34	eqtr3id 2779	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩}) = {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩})
36	35	uneq2d 4134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ ({⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵”⟩), 𝐶⟩} ∪ {⟨(♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩), 𝐷⟩})) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
37	24, 26, 36	3eqtrd 2769	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ++ ⟨“𝐷”⟩) = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))
38	1, 37	eqtrid 2777	1 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑆 ∧ 𝐵 ∈ 𝑆) ∧ (𝐶 ∈ 𝑆 ∧ 𝐷 ∈ 𝑆)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶𝐷”⟩ = ({⟨0, 𝐴⟩, ⟨1, 𝐵⟩} ∪ {⟨2, 𝐶⟩, ⟨3, 𝐷⟩}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3915  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076  2c2 12248  3c3 12249  ♯chash 14302  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567  ⟨“cs2 14814  ⟨“cs3 14815  ⟨“cs4 14816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-s1 14568  df-s2 14821  df-s3 14822  df-s4 14823

This theorem is referenced by:  funcnvs4  14888  s4f1o  14891  s4dom  14892