MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pzriprnglem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pzriprnglem10 21396
Description: Lemma 10 for pzriprng 21403: The equivalence classes of 𝑅 modulo 𝐽. (Contributed by AV, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
pzriprng.r 𝑅 = (ℤring ×sring)
pzriprng.i 𝐼 = (ℤ × {0})
pzriprng.j 𝐽 = (𝑅s 𝐼)
pzriprng.1 1 = (1r𝐽)
pzriprng.g = (𝑅 ~QG 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pzriprnglem10 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → [⟨𝑋, 𝑌⟩] = (ℤ × {𝑌}))

Proof of Theorem pzriprnglem10
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑐 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pzriprng.r . . . . 5 𝑅 = (ℤring ×sring)
21pzriprnglem1 21387 . . . 4 𝑅 ∈ Rng
3 rnggrp 20082 . . . 4 (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
42, 3ax-mp 5 . . 3 𝑅 ∈ Grp
5 pzriprng.i . . . . 5 𝐼 = (ℤ × {0})
6 0z 12585 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
7 snssi 4807 . . . . . 6 (0 ∈ ℤ → {0} ⊆ ℤ)
8 xpss2 5692 . . . . . 6 ({0} ⊆ ℤ → (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ))
96, 7, 8mp2b 10 . . . . 5 (ℤ × {0}) ⊆ (ℤ × ℤ)
105, 9eqsstri 4012 . . . 4 𝐼 ⊆ (ℤ × ℤ)
1110a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝐼 ⊆ (ℤ × ℤ))
12 opelxpi 5709 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (ℤ × ℤ))
131pzriprnglem2 21388 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (ℤ × ℤ)
1413eqcomi 2736 . . . 4 (ℤ × ℤ) = (Base‘𝑅)
15 pzriprng.g . . . 4 = (𝑅 ~QG 𝐼)
16 eqid 2727 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
1714, 15, 16eqglact 19118 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ⊆ (ℤ × ℤ) ∧ ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → [⟨𝑋, 𝑌⟩] = ((𝑥 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) “ 𝐼))
184, 11, 12, 17mp3an2i 1463 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → [⟨𝑋, 𝑌⟩] = ((𝑥 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) “ 𝐼))
1911mptimass 6070 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) “ 𝐼) = ran (𝑥𝐼 ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)))
20 eqid 2727 . . . . 5 (𝑥𝐼 ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) = (𝑥𝐼 ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥))
2120rnmpt 5951 . . . 4 ran (𝑥𝐼 ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) = {𝑒 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)}
2221a1i 11 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ran (𝑥𝐼 ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) = {𝑒 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)})
235rexeqi 3319 . . . . . 6 (∃𝑥𝐼 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ (ℤ × {0})𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥))
24 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩))
2524eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (𝑥 = ⟨𝑎, 𝑏⟩ → (𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥) ↔ 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩)))
2625rexxp 5839 . . . . . 6 (∃𝑥 ∈ (ℤ × {0})𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩))
2723, 26bitri 275 . . . . 5 (∃𝑥𝐼 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩))
2827a1i 11 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑥𝐼 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩)))
2928abbidv 2796 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → {𝑒 ∣ ∃𝑥𝐼 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)} = {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩)})
30 c0ex 11224 . . . . . . . 8 0 ∈ V
31 opeq2 4870 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = 0 → ⟨𝑎, 𝑏⟩ = ⟨𝑎, 0⟩)
3231oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (𝑏 = 0 → (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
3332eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (𝑏 = 0 → (𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 0⟩)))
3430, 33rexsn 4682 . . . . . . 7 (∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 0⟩))
35 zringbas 21359 . . . . . . . . 9 ℤ = (Base‘ℤring)
36 zringring 21355 . . . . . . . . . 10 ring ∈ Ring
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → ℤring ∈ Ring)
38 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
39 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℤ)
40 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ)
41 0zd 12586 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
4238, 40zaddcld 12686 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝑎) ∈ ℤ)
43 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℤ)
44 0zd 12586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℤ)
4543, 44zaddcld 12686 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑌 + 0) ∈ ℤ)
4645adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑌 + 0) ∈ ℤ)
47 zringplusg 21360 . . . . . . . . 9 + = (+g‘ℤring)
481, 35, 35, 37, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 46, 47, 47, 16xpsadd 17541 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 0⟩) = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩)
4948eqeq2d 2738 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 0⟩) ↔ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩))
5034, 49bitrid 283 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩))
5150rexbidva 3171 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩))
5251abbidv 2796 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩)} = {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩})
53 iunab 5048 . . . . . 6 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩} = {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩}
5453eqcomi 2736 . . . . 5 {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩} = 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩}
5554a1i 11 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩} = 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩})
56 zcn 12579 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℤ → 𝑌 ∈ ℂ)
5756adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑌 ∈ ℂ)
5857addridd 11430 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑌 + 0) = 𝑌)
5958opeq2d 4876 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩ = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
6059eqeq2d 2738 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩ ↔ 𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩))
6160abbidv 2796 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩} = {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩})
6261iuneq2d 5020 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩} = 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩})
63 df-sn 4625 . . . . . . . . 9 {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} = {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩}
6463eqcomi 2736 . . . . . . . 8 {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} = {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩}
6564a1i 11 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ ℤ → {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} = {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩})
6665iuneq2i 5012 . . . . . 6 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} = 𝑎 ∈ ℤ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩}
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} = 𝑎 ∈ ℤ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩})
68 velsn 4640 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} ↔ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
6968rexbii 3089 . . . . . . . . 9 (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 ∈ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
7042adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩) → (𝑋 + 𝑎) ∈ ℤ)
71 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩) ∧ 𝑏 = (𝑋 + 𝑎)) → 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
72 opeq1 4869 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 = (𝑋 + 𝑎) → ⟨𝑏, 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
7372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩) ∧ 𝑏 = (𝑋 + 𝑎)) → ⟨𝑏, 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
7471, 73eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩) ∧ 𝑏 = (𝑋 + 𝑎)) → (𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩ ↔ ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩))
75 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩) → ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
7670, 74, 75rspcedvd 3609 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩) → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩)
7776ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
7877rexlimdva 3150 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ → ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
79 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
80 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℤ)
8179, 80zsubcld 12687 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑏𝑋) ∈ ℤ)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) → (𝑏𝑋) ∈ ℤ)
83 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) ∧ 𝑎 = (𝑏𝑋)) → 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩)
84 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 = (𝑏𝑋) → (𝑋 + 𝑎) = (𝑋 + (𝑏𝑋)))
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) ∧ 𝑎 = (𝑏𝑋)) → (𝑋 + 𝑎) = (𝑋 + (𝑏𝑋)))
8685opeq1d 4875 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) ∧ 𝑎 = (𝑏𝑋)) → ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + (𝑏𝑋)), 𝑌⟩)
8783, 86eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) ∧ 𝑎 = (𝑏𝑋)) → (𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ ↔ ⟨𝑏, 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + (𝑏𝑋)), 𝑌⟩))
88 zcn 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑋 ∈ ℤ → 𝑋 ∈ ℂ)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
9089adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑋 ∈ ℂ)
91 zcn 12579 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℂ)
9390, 92pncan3d 11590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑋 + (𝑏𝑋)) = 𝑏)
9493eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 = (𝑋 + (𝑏𝑋)))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) → 𝑏 = (𝑋 + (𝑏𝑋)))
9695opeq1d 4875 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) → ⟨𝑏, 𝑌⟩ = ⟨(𝑋 + (𝑏𝑋)), 𝑌⟩)
9782, 87, 96rspcedvd 3609 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩) → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩)
9897ex 412 . . . . . . . . . . 11 (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩ → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩))
9998rexlimdva 3150 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩ → ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩))
10078, 99impbid 211 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩ ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
10169, 100bitrid 283 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 ∈ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
102 opeq2 4870 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 = 𝑌 → ⟨𝑏, 𝑐⟩ = ⟨𝑏, 𝑌⟩)
103102eqeq2d 2738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑐 = 𝑌 → (𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ↔ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
104103rexsng 4674 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ ℤ → (∃𝑐 ∈ {𝑌}𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ↔ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
105104adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑐 ∈ {𝑌}𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩ ↔ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩))
106105bicomd 222 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩ ↔ ∃𝑐 ∈ {𝑌}𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩))
107106rexbidv 3173 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑏 ∈ ℤ 𝑦 = ⟨𝑏, 𝑌⟩ ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ {𝑌}𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩))
108101, 107bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 ∈ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ {𝑌}𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩))
109 eliun 4995 . . . . . . 7 (𝑦 𝑎 ∈ ℤ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ 𝑦 ∈ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩})
110 elxp2 5696 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (ℤ × {𝑌}) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∃𝑐 ∈ {𝑌}𝑦 = ⟨𝑏, 𝑐⟩)
111108, 109, 1103bitr4g 314 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑦 𝑎 ∈ ℤ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} ↔ 𝑦 ∈ (ℤ × {𝑌})))
112111eqrdv 2725 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ {⟨(𝑋 + 𝑎), 𝑌⟩} = (ℤ × {𝑌}))
11362, 67, 1123eqtrd 2771 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → 𝑎 ∈ ℤ {𝑒𝑒 = ⟨(𝑋 + 𝑎), (𝑌 + 0)⟩} = (ℤ × {𝑌}))
11452, 55, 1133eqtrd 2771 . . 3 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → {𝑒 ∣ ∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ {0}𝑒 = (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)⟨𝑎, 𝑏⟩)} = (ℤ × {𝑌}))
11522, 29, 1143eqtrd 2771 . 2 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ran (𝑥𝐼 ↦ (⟨𝑋, 𝑌⟩(+g𝑅)𝑥)) = (ℤ × {𝑌}))
11618, 19, 1153eqtrd 2771 1 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → [⟨𝑋, 𝑌⟩] = (ℤ × {𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2704  wrex 3065  wss 3944  {csn 4624  cop 4630   ciun 4991  cmpt 5225   × cxp 5670  ran crn 5673  cima 5675  cfv 6542  (class class class)co 7414  [cec 8714  cc 11122  0cc0 11124   + caddc 11127  cmin 11460  cz 12574  Basecbs 17165  s cress 17194  +gcplusg 17218   ×s cxps 17473  Grpcgrp 18875   ~QG cqg 19061  Rngcrng 20076  1rcur 20105  Ringcrg 20157  ringczring 21352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-er 8716  df-ec 8718  df-map 8836  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-prds 17414  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19062  df-eqg 19064  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-cnfld 21260  df-zring 21353
This theorem is referenced by:  pzriprnglem11  21397  pzriprnglem12  21398
  Copyright terms: Public domain W3C validator