Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fmla0xp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fmla0xp 34902
Description: The valid Godel formulas of height 0 is the set of all formulas of the form vi ∈ vj ("Godel-set of membership") coded as βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©. (Contributed by AV, 15-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fmla0xp (Fmlaβ€˜βˆ…) = ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))

Proof of Theorem fmla0xp
Dummy variables 𝑖 𝑗 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fmla0 34901 . 2 (Fmlaβ€˜βˆ…) = {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
2 rabab 3497 . 2 {π‘₯ ∈ V ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)} = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)}
3 eqabcb 2869 . . 3 ({π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)} = ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) ↔ βˆ€π‘₯(βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))))
4 goel 34866 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
54eqeq2d 2737 . . . . 5 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
652rexbiia 3209 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
7 0ex 5300 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ V
87snid 4659 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ {βˆ…}
98a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ βˆ… ∈ {βˆ…})
10 opelxpi 5706 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰))
119, 10opelxpd 5708 . . . . . . 7 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)))
12 eleq1 2815 . . . . . . 7 (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β†’ (π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) ↔ βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))))
1311, 12syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) β†’ (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β†’ π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))))
1413rexlimivv 3193 . . . . 5 (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© β†’ π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)))
15 elxpi 5691 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§(π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∧ (𝑦 ∈ {βˆ…} ∧ 𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰))))
16 elsni 4640 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑦 = βˆ…)
1716opeq1d 4874 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ {βˆ…} β†’ βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©)
1817eqeq2d 2737 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ {βˆ…} β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ↔ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©))
1918adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ {βˆ…} ∧ 𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ↔ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©))
20 elxpi 5691 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—(𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰)))
21 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰))) β†’ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰))
22 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰))) β†’ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ©)
23 opeq2 4869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© β†’ βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰)) β†’ βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2524adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰))) β†’ βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2622, 25eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰))) β†’ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
2721, 26jca 511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© ∧ (𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰))) β†’ ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
2827ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© β†’ ((𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰)) β†’ ((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)))
29282eximdv 1914 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© β†’ (βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—(𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰)) β†’ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)))
30 r2ex 3189 . . . . . . . . . . . 12 (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ↔ βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—((𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰) ∧ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
3129, 30imbitrrdi 251 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© β†’ (βˆƒπ‘–βˆƒπ‘—(𝑧 = βŸ¨π‘–, π‘—βŸ© ∧ (𝑖 ∈ Ο‰ ∧ 𝑗 ∈ Ο‰)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
3220, 31syl5com 31 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰) β†’ (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
3332adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ {βˆ…} ∧ 𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (π‘₯ = βŸ¨βˆ…, π‘§βŸ© β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
3419, 33sylbid 239 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ {βˆ…} ∧ 𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ (π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©))
3534impcom 407 . . . . . . 7 ((π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∧ (𝑦 ∈ {βˆ…} ∧ 𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
3635exlimivv 1927 . . . . . 6 (βˆƒπ‘¦βˆƒπ‘§(π‘₯ = βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∧ (𝑦 ∈ {βˆ…} ∧ 𝑧 ∈ (Ο‰ Γ— Ο‰))) β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
3715, 36syl 17 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)) β†’ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ©)
3814, 37impbii 208 . . . 4 (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = βŸ¨βˆ…, βŸ¨π‘–, π‘—βŸ©βŸ© ↔ π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)))
396, 38bitri 275 . . 3 (βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—) ↔ π‘₯ ∈ ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰)))
403, 39mpgbir 1793 . 2 {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘– ∈ Ο‰ βˆƒπ‘— ∈ Ο‰ π‘₯ = (π‘–βˆˆπ‘”π‘—)} = ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))
411, 2, 403eqtri 2758 1 (Fmlaβ€˜βˆ…) = ({βˆ…} Γ— (Ο‰ Γ— Ο‰))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  {cab 2703  βˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  {csn 4623  βŸ¨cop 4629   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Ο‰com 7852  βˆˆπ‘”cgoe 34852  Fmlacfmla 34856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-map 8824  df-goel 34859  df-sat 34862  df-fmla 34864
This theorem is referenced by:  fmla1  34906  satefvfmla0  34937  prv1n  34950
  Copyright terms: Public domain W3C validator