MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcanenq 10903
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN ๐ต))
21opeq1d 4841 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ)
3 opeq1 4835 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ = โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ)
42, 3breq12d 5123 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ))
54imbi2d 341 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ)))
6 oveq2 7370 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN ๐ถ))
76opeq2d 4842 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ)
8 opeq2 4836 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ = โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
97, 8breq12d 5123 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ โ†” โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ))
109imbi2d 341 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)))
11 mulcompi 10839 . . . . . . . . 9 (๐‘ ยทN ๐‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)
1211oveq2i 7373 . . . . . . . 8 (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘)) = (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘))
13 mulasspi 10840 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘))
14 mulasspi 10840 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘))
1512, 13, 143eqtr4i 2775 . . . . . . 7 ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘)
16 mulclpi 10836 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
17163adant3 1133 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
18 mulclpi 10836 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
19183adant2 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
20 3simpc 1151 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N))
21 enqbreq 10862 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N โˆง (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘)))
2217, 19, 20, 21syl21anc 837 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘)))
2315, 22mpbiri 258 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
24233expb 1121 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
2524expcom 415 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ))
265, 10, 25vtocl2ga 3538 . . 3 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ))
2726impcom 409 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
28273impb 1116 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โŸจcop 4597   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  Ncnpi 10787   ยทN cmi 10789   ~Q ceq 10794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-ni 10815  df-mi 10817  df-enq 10854
This theorem is referenced by:  distrnq  10904  1nqenq  10905  ltexnq  10918
  Copyright terms: Public domain W3C validator