MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulcanenq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulcanenq 10954
Description: Lemma for distributive law: cancellation of common factor. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulcanenq ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)

Proof of Theorem mulcanenq
Dummy variables ๐‘ ๐‘ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ต โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN ๐ต))
21opeq1d 4879 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ)
3 opeq1 4873 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ต โ†’ โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ = โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ)
42, 3breq12d 5161 . . . . 5 (๐‘ = ๐ต โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ))
54imbi2d 340 . . . 4 (๐‘ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ)))
6 oveq2 7416 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN ๐ถ))
76opeq2d 4880 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ = โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ)
8 opeq2 4874 . . . . . 6 (๐‘ = ๐ถ โ†’ โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ = โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
97, 8breq12d 5161 . . . . 5 (๐‘ = ๐ถ โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ โ†” โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ))
109imbi2d 340 . . . 4 (๐‘ = ๐ถ โ†’ ((๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐‘โŸฉ) โ†” (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)))
11 mulcompi 10890 . . . . . . . . 9 (๐‘ ยทN ๐‘) = (๐‘ ยทN ๐‘)
1211oveq2i 7419 . . . . . . . 8 (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘)) = (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘))
13 mulasspi 10891 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘))
14 mulasspi 10891 . . . . . . . 8 ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = (๐ด ยทN (๐‘ ยทN ๐‘))
1512, 13, 143eqtr4i 2770 . . . . . . 7 ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘)
16 mulclpi 10887 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
17163adant3 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
18 mulclpi 10887 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
19183adant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N)
20 3simpc 1150 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N))
21 enqbreq 10913 . . . . . . . 8 ((((๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N โˆง (๐ด ยทN ๐‘) โˆˆ N) โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N)) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘)))
2217, 19, 20, 21syl21anc 836 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โ†” ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘) = ((๐ด ยทN ๐‘) ยทN ๐‘)))
2315, 22mpbiri 257 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
24233expb 1120 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
2524expcom 414 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ N โˆง ๐‘ โˆˆ N) โ†’ (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐‘), (๐ด ยทN ๐‘)โŸฉ ~Q โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ))
265, 10, 25vtocl2ga 3566 . . 3 ((๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ (๐ด โˆˆ N โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ))
2726impcom 408 . 2 ((๐ด โˆˆ N โˆง (๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N)) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
28273impb 1115 1 ((๐ด โˆˆ N โˆง ๐ต โˆˆ N โˆง ๐ถ โˆˆ N) โ†’ โŸจ(๐ด ยทN ๐ต), (๐ด ยทN ๐ถ)โŸฉ ~Q โŸจ๐ต, ๐ถโŸฉ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  Ncnpi 10838   ยทN cmi 10840   ~Q ceq 10845
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-ni 10866  df-mi 10868  df-enq 10905
This theorem is referenced by:  distrnq  10955  1nqenq  10956  ltexnq  10969
  Copyright terms: Public domain W3C validator