Theorem orbitinit 46054

Description: A set is contained in its orbit. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
orbitinit	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω))

Proof of Theorem orbitinit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr0g 8451	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
2		frfnom 8450	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω
3		peano1 7904	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		fnfvelrn 7085	. . . 4 ⊢ (((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
6	1, 5	eqeltrrdi 2869	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
7		df-ima 5664	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω) = ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
8	6, 7	eleqtrrdi 2871	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ∅c0 4277  ran crn 5652   ↾ cres 5653   “ cima 5654   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  ωcom 7881  reccrdg 8424

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425

This theorem is used by:  permaxinf2lem  46110