Theorem orbitinit 44930

Description: A set is contained in its orbit. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
orbitinit	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω))

Proof of Theorem orbitinit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fr0g 8358	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) = 𝐴)
2		frfnom 8357	. . . 4 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω
3		peano1 7822	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ ω
4		fnfvelrn 7014	. . . 4 ⊢ (((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω) Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
5	2, 3, 4	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)‘∅) ∈ ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
6	1, 5	eqeltrrdi 2837	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω))
7		df-ima 5632	. 2 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω) = ran (rec(𝐹, 𝐴) ↾ ω)
8	6, 7	eleqtrrdi 2839	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ∅c0 4284  ran crn 5620   ↾ cres 5621   “ cima 5622   Fn wfn 6477  ‘cfv 6482  ωcom 7799  reccrdg 8331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332

This theorem is referenced by:  permaxinf2lem  44986