Theorem orbitex 44907

Description: Orbits exist. Given a set 𝐴 and a function 𝐹, the orbit of 𝐴 under 𝐹 is the smallest set 𝑍 such that 𝐴 ∈ 𝑍 and 𝑍 is closed under 𝐹. (Contributed by Eric Schmidt, 6-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
orbitex	⊢ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω) ∈ V

Proof of Theorem orbitex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 8424	. 2 ⊢ Fun rec(𝐹, 𝐴)
2		omex 9649	. . 3 ⊢ ω ∈ V
3	2	funimaex 6621	. 2 ⊢ (Fun rec(𝐹, 𝐴) → (rec(𝐹, 𝐴) “ ω) ∈ V)
4	1, 3	ax-mp 5	1 ⊢ (rec(𝐹, 𝐴) “ ω) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2107  Vcvv 3457   “ cima 5654  Fun wfun 6521  ωcom 7855  reccrdg 8417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5246  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-inf2 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-ov 7402  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418

This theorem is referenced by:  permaxinf2lem  44964