Theorem ordfin 9150

Description: A generalization of onfin 9149 to include the class of all ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordfin	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem ordfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7736	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2		onfin 9149	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
3		onprc 7732	. . . . . 6 ⊢ ¬ On ∈ V
4		elex 3450	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ Fin → On ∈ V)
5	3, 4	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ Fin
6		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ On ∈ Fin))
7	5, 6	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8		elex 3450	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ ω → On ∈ V)
9	3, 8	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ ω
10		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ ω ↔ On ∈ ω))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ ω)
12	7, 11	2falsed 376	. . 3 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
13	2, 12	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
14	1, 13	sylbi 217	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  Ord word 6322  Oncon0 6323  ωcom 7817  Fincfn 8893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897

This theorem is referenced by:  tfsnfin2  9273