Theorem ordfin 9140

Description: A generalization of onfin 9139 to include the class of all ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordfin	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem ordfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7727	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2		onfin 9139	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
3		onprc 7723	. . . . . 6 ⊢ ¬ On ∈ V
4		elex 3461	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ Fin → On ∈ V)
5	3, 4	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ Fin
6		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ On ∈ Fin))
7	5, 6	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8		elex 3461	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ ω → On ∈ V)
9	3, 8	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ ω
10		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ ω ↔ On ∈ ω))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ ω)
12	7, 11	2falsed 376	. . 3 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
13	2, 12	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
14	1, 13	sylbi 217	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  Ord word 6316  Oncon0 6317  ωcom 7808  Fincfn 8883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-om 7809  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887

This theorem is referenced by:  tfsnfin2  9263