Theorem ordfin 9269

Description: A generalization of onfin 9268 to include the class of all ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordfin	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem ordfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7830	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2		onfin 9268	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
3		onprc 7824	. . . . . 6 ⊢ ¬ On ∈ V
4		elex 3475	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ Fin → On ∈ V)
5	3, 4	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ Fin
6		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ On ∈ Fin))
7	5, 6	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8		elex 3475	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ ω → On ∈ V)
9	3, 8	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ ω
10		eleq1 2852	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ ω ↔ On ∈ ω))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ ω)
12	7, 11	2falsed 379	. . 3 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
13	2, 12	jaoi 871	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
14	1, 13	sylbi 220	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  Ord word 6387  Oncon0 6388  ωcom 7911  Fincfn 9011

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-om 7912  df-1o 8514  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015

This theorem is used by:  tfsnfin2  9390