Theorem ordfin 9196

Description: A generalization of onfin 9195 to include the class of all ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordfin	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem ordfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7777	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2		onfin 9195	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
3		onprc 7773	. . . . . 6 ⊢ ¬ On ∈ V
4		elex 3476	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ Fin → On ∈ V)
5	3, 4	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ Fin
6		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ On ∈ Fin))
7	5, 6	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8		elex 3476	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ ω → On ∈ V)
9	3, 8	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ ω
10		eleq1 2851	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ ω ↔ On ∈ ω))
11	9, 10	mtbiri 330	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ ω)
12	7, 11	2falsed 379	. . 3 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
13	2, 12	jaoi 870	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
14	1, 13	sylbi 220	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  Ord word 6359  Oncon0 6360  ωcom 7858  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by:  tfsnfin2  9316