Theorem ordfin 9138

Description: A generalization of onfin 9137 to include the class of all ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 19-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
ordfin	⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem ordfin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordeleqon 7725	. 2 ⊢ (Ord 𝐴 ↔ (𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On))
2		onfin 9137	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
3		onprc 7721	. . . . . 6 ⊢ ¬ On ∈ V
4		elex 3459	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ Fin → On ∈ V)
5	3, 4	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ Fin
6		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ On ∈ Fin))
7	5, 6	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ Fin)
8		elex 3459	. . . . . 6 ⊢ (On ∈ ω → On ∈ V)
9	3, 8	mto 197	. . . . 5 ⊢ ¬ On ∈ ω
10		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ ω ↔ On ∈ ω))
11	9, 10	mtbiri 327	. . . 4 ⊢ (𝐴 = On → ¬ 𝐴 ∈ ω)
12	7, 11	2falsed 376	. . 3 ⊢ (𝐴 = On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
13	2, 12	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∨ 𝐴 = On) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))
14	1, 13	sylbi 217	1 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  Ord word 6314  Oncon0 6315  ωcom 7806  Fincfn 8881

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-om 7807  df-1o 8395  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885

This theorem is referenced by:  tfsnfin2  9261