Theorem onfin 9264

Description: An ordinal number is finite iff it is a natural number. Proposition 10.32 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onfin	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem onfin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9014	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		onomeneq 9262	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 = 𝑥))
3		eleq1a 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
5	2, 4	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
6	5	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
7		enrefnn 9085	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
8		breq2 5151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3621	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
10	7, 9	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
11	6, 10	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	1, 11	bitrid 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3067   class class class wbr 5147  Oncon0 6385  ωcom 7886   ≈ cen 8980  Fincfn 8983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-om 7887  df-1o 8504  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987

This theorem is referenced by:  onfin2  9265  fin17  10431  isfin7-2  10433  cantnfub  43310  tfsnfin  43341