Theorem onfin 9267

Description: An ordinal number is finite iff it is a natural number. Proposition 10.32 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onfin	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem onfin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 9016	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		onomeneq 9265	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 = 𝑥))
3		eleq1a 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
4	3	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
5	2, 4	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
6	5	rexlimdva 3155	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
7		enrefnn 9087	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
8		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
10	7, 9	mpdan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
11	6, 10	impbid1 225	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	1, 11	bitrid 283	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  Oncon0 6384  ωcom 7887   ≈ cen 8982  Fincfn 8985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-1o 8506  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989

This theorem is referenced by:  onfin2  9268  fin17  10434  isfin7-2  10436  cantnfub  43334  tfsnfin  43365