Theorem onfin 9209

Description: An ordinal number is finite iff it is a natural number. Proposition 10.32 of [TakeutiZaring] p. 92. (Contributed by NM, 26-Jul-2004.)

Assertion

Ref	Expression
onfin	⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

Proof of Theorem onfin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfi 8981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
2		onomeneq 9208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 = 𝑥))
3		eleq1a 2861	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ω → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
4	3	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 = 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
5	2, 4	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
6	5	rexlimdva 3169	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 → 𝐴 ∈ ω))
7		enrefnn 9053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ≈ 𝐴)
8		breq2 5118	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ≈ 𝐴))
9	8	rspcev 3584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐴 ≈ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
10	7, 9	mpdan 700	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥)
11	6, 10	impbid1 228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (∃𝑥 ∈ ω 𝐴 ≈ 𝑥 ↔ 𝐴 ∈ ω))
12	1, 11	bitrid 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ∈ ω))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114  Oncon0 6367  ωcom 7871   ≈ cen 8949  Fincfn 8952

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7872  df-1o 8462  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956

This theorem is used by:  ordfin  9210  onfin2  9211  fin17  10396  isfin7-2  10398  cantnfub  44089  tfsnfin  44120