Theorem tfsnfin2 9316

Description: A transfinite sequence is infinite iff its domain is greater than or equal to omega. Theorem 5 in Grzegorz Bancerek, "Epsilon Numbers and Cantor Normal Form", Formalized Mathematics, Vol. 17, No. 4, Pages 249–256, 2009. DOI: 10.2478/v10037-009-0032-8 (Contributed by RP, 1-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tfsnfin2	⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tfsnfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6635	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → Fun 𝐴)
2		fundmfibi 9289	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
4		fndm 6638	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → dom 𝐴 = 𝐵)
5	4	eleq1d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (dom 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	3, 5	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
7		ordfin 9196	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
8	6, 7	sylan9bb 518	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
9	8	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
10		ordom 7868	. . . 4 ⊢ Ord ω
11		ordtri1 6394	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐵) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
12	10, 11	mpan 702	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
13	12	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
14	9, 13	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  dom cdm 5661  Ord word 6359  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ωcom 7858  Fincfn 8939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943

This theorem is referenced by: (None)