Theorem tfsnfin2 9319

Description: A transfinite sequence is infinite iff its domain is greater than or equal to omega. Theorem 5 in Grzegorz Bancerek, "Epsilon Numbers and Cantor Normal Form", Formalized Mathematics, Vol. 17, No. 4, Pages 249–256, 2009. DOI: 10.2478/v10037-009-0032-8 (Contributed by RP, 1-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
tfsnfin2	⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Proof of Theorem tfsnfin2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnfun 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → Fun 𝐴)
2		fundmfibi 9292	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐴 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
3	1, 2	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ dom 𝐴 ∈ Fin))
4		fndm 6639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → dom 𝐴 = 𝐵)
5	4	eleq1d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (dom 𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
6	3, 5	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (𝐴 Fn 𝐵 → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ Fin))
7		ordfin 9199	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
8	6, 7	sylan9bb 518	. . 3 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐵 ∈ ω))
9	8	notbid 321	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
10		ordom 7871	. . . 4 ⊢ Ord ω
11		ordtri1 6395	. . . 4 ⊢ ((Ord ω ∧ Ord 𝐵) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
12	10, 11	mpan 702	. . 3 ⊢ (Ord 𝐵 → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
13	12	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (ω ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ ω))
14	9, 13	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝐴 Fn 𝐵 ∧ Ord 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ⊆ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913  dom cdm 5662  Ord word 6360  Fun wfun 6531   Fn wfn 6532  ωcom 7861  Fincfn 8942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-1o 8452  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946

This theorem is referenced by: (None)