Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irinitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irinitoringc 46920
Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
irinitoringc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
irinitoringc.z (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
irinitoringc.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
irinitoringc (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))

Proof of Theorem irinitoringc
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12563 . . . . . 6 β„€ ∈ V
21mptex 7221 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) ∈ V
3 irinitoringc.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
5 irinitoringc.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
73, 4, 5, 6ringchomfval 46863 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
98oveqd 7422 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = (β„€ring( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))π‘Ÿ))
10 irinitoringc.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
12 zringring 21012 . . . . . . . . . . . 12 β„€ring ∈ Ring
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ Ring)
1411, 13elind 4193 . . . . . . . . . 10 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
163, 4, 5ringcbas 46862 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Ring))
1715, 16eleqtrrd 2836 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
19 simpr 485 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2018, 19ovresd 7570 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))π‘Ÿ) = (β„€ring RingHom π‘Ÿ))
2116eleq2d 2819 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↔ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
22 elin 3963 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) ↔ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ Ring))
2322simprbi 497 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
2421, 23syl6bi 252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring))
2524imp 407 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.gβ€˜π‘Ÿ) = (.gβ€˜π‘Ÿ)
27 eqid 2732 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))
28 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘Ÿ) = (1rβ€˜π‘Ÿ)
2926, 27, 28mulgrhm2 21039 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ Ring β†’ (β„€ring RingHom π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring RingHom π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
319, 20, 303eqtrd 2776 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
32 sneq 4637 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) β†’ {𝑓} = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
3332eqeq2d 2743 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) β†’ ((β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓} ↔ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))}))
3433spcegv 3587 . . . . 5 ((𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) ∈ V β†’ ((β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))} β†’ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓}))
352, 31, 34mpsyl 68 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓})
36 eusn 4733 . . . 4 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓})
3735, 36sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
3837ralrimiva 3146 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
393ringccat 46875 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
405, 39syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4112a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ Ring)
4210, 41elind 4193 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
4342, 16eleqtrrd 2836 . . 3 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
444, 6, 40, 43isinito 17942 . 2 (πœ‘ β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
4538, 44mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆƒ!weu 2562  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   ∩ cin 3946  {csn 4627   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„€cz 12554  Basecbs 17140  Hom chom 17204  Catccat 17604  InitOcinito 17927  .gcmg 18944  1rcur 19998  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240  β„€ringczring 21009  RingCatcringc 46854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-cat 17608  df-cid 17609  df-homf 17610  df-ssc 17753  df-resc 17754  df-subc 17755  df-inito 17930  df-estrc 18070  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-rnghom 20243  df-subrg 20353  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-ringc 46856
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  46923
  Copyright terms: Public domain W3C validator