Theorem irinitoringc 21414

Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
irinitoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
irinitoringc.z	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
irinitoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
irinitoringc	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12474	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 7157	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V
3		irinitoringc.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		irinitoringc.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	ringchomfval 20564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	8	oveqd 7363	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10		irinitoringc.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ 𝑈)
12		zringring 21384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ Ring)
14	11, 13	elind 4150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
16	3, 4, 5	ringcbas 20563	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
17	15, 16	eleqtrrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
20	18, 19	ovresd 7513	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
21	16	eleq2d 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		elin 3918	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ Ring))
23	22	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑟) = (.g‘𝑟)
27		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))
28		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑟) = (1r‘𝑟)
29	26, 27, 28	mulgrhm2 21413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
30	25, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
31	9, 20, 30	3eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
32		sneq 4586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
33	32	eqeq2d 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))}))
34	33	spcegv 3552	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
35	2, 31, 34	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36		eusn 4683	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
37	35, 36	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
38	37	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
39	3	ringccat 20576	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
40	5, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42	10, 41	elind 4150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
43	42, 16	eleqtrrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
44	4, 6, 40, 43	isinito 17900	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
45	38, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2563  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3901  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   ↾ cres 5618  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℤcz 12465  Basecbs 17117  Hom chom 17169  Catccat 17567  InitOcinito 17885  ._gcmg 18977  1_rcur 20097  Ringcrg 20149   RingHom crh 20385  RingCatcringc 20558  ℤ_ringczring 21381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-seq 13906  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-cat 17571  df-cid 17572  df-homf 17573  df-ssc 17714  df-resc 17715  df-subc 17716  df-inito 17888  df-estrc 18026  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-ringc 20559  df-cnfld 21290  df-zring 21382

This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21415