Theorem irinitoringc 21385

Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
irinitoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
irinitoringc.z	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
irinitoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
irinitoringc	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12583	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V
3		irinitoringc.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		irinitoringc.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2727	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	ringchomfval 20566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	8	oveqd 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10		irinitoringc.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ 𝑈)
12		zringring 21355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ Ring)
14	11, 13	elind 4190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
16	3, 4, 5	ringcbas 20565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
17	15, 16	eleqtrrd 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
20	18, 19	ovresd 7580	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
21	16	eleq2d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		elin 3960	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ Ring))
23	22	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
24	21, 23	biimtrdi 252	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑟) = (.g‘𝑟)
27		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))
28		eqid 2727	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑟) = (1r‘𝑟)
29	26, 27, 28	mulgrhm2 21384	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
30	25, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
31	9, 20, 30	3eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
32		sneq 4634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
33	32	eqeq2d 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))}))
34	33	spcegv 3582	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
35	2, 31, 34	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36		eusn 4730	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
37	35, 36	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
38	37	ralrimiva 3141	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
39	3	ringccat 20578	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
40	5, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42	10, 41	elind 4190	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
43	42, 16	eleqtrrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
44	4, 6, 40, 43	isinito 17970	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
45	38, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∃!weu 2557  ∀wral 3056  Vcvv 3469   ∩ cin 3943  {csn 4624   ↦ cmpt 5225   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  ℤcz 12574  Basecbs 17165  Hom chom 17229  Catccat 17629  InitOcinito 17955  ._gcmg 19007  1_rcur 20105  Ringcrg 20157   RingHom crh 20390  RingCatcringc 20560  ℤ_ringczring 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-addf 11203  ax-mulf 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-seq 13985  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-cat 17633  df-cid 17634  df-homf 17635  df-ssc 17778  df-resc 17779  df-subc 17780  df-inito 17958  df-estrc 18098  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-rhm 20393  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-ringc 20561  df-cnfld 21260  df-zring 21353

This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21386