MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  irinitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irinitoringc 21404
Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
irinitoringc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
irinitoringc.z (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
irinitoringc.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
irinitoringc (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))

Proof of Theorem irinitoringc
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12592 . . . . . 6 β„€ ∈ V
21mptex 7229 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) ∈ V
3 irinitoringc.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
5 irinitoringc.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
73, 4, 5, 6ringchomfval 20583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
87adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
98oveqd 7430 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = (β„€ring( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))π‘Ÿ))
10 irinitoringc.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
12 zringring 21374 . . . . . . . . . . . 12 β„€ring ∈ Ring
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ Ring)
1411, 13elind 4189 . . . . . . . . . 10 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
163, 4, 5ringcbas 20582 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Ring))
1715, 16eleqtrrd 2828 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
19 simpr 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2018, 19ovresd 7582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))π‘Ÿ) = (β„€ring RingHom π‘Ÿ))
2116eleq2d 2811 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↔ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
22 elin 3957 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) ↔ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ Ring))
2322simprbi 495 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
2421, 23biimtrdi 252 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring))
2524imp 405 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
26 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.gβ€˜π‘Ÿ) = (.gβ€˜π‘Ÿ)
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘Ÿ) = (1rβ€˜π‘Ÿ)
2926, 27, 28mulgrhm2 21403 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ Ring β†’ (β„€ring RingHom π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring RingHom π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
319, 20, 303eqtrd 2769 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
32 sneq 4635 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) β†’ {𝑓} = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
3332eqeq2d 2736 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) β†’ ((β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓} ↔ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))}))
3433spcegv 3578 . . . . 5 ((𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) ∈ V β†’ ((β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))} β†’ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓}))
352, 31, 34mpsyl 68 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓})
36 eusn 4731 . . . 4 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓})
3735, 36sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
3837ralrimiva 3136 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
393ringccat 20595 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
405, 39syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4112a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ Ring)
4210, 41elind 4189 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
4342, 16eleqtrrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
444, 6, 40, 43isinito 17979 . 2 (πœ‘ β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
4538, 44mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆƒ!weu 2556  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463   ∩ cin 3940  {csn 4625   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671   β†Ύ cres 5675  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„€cz 12583  Basecbs 17174  Hom chom 17238  Catccat 17638  InitOcinito 17964  .gcmg 19022  1rcur 20120  Ringcrg 20172   RingHom crh 20407  RingCatcringc 20577  β„€ringczring 21371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-addf 11212  ax-mulf 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-seq 13994  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-cat 17642  df-cid 17643  df-homf 17644  df-ssc 17787  df-resc 17788  df-subc 17789  df-inito 17967  df-estrc 18107  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-ringc 20578  df-cnfld 21279  df-zring 21372
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21405
  Copyright terms: Public domain W3C validator