Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irinitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irinitoringc 46441
Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
irinitoringc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
irinitoringc.z (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
irinitoringc.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
irinitoringc (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))

Proof of Theorem irinitoringc
Dummy variables 𝑓 π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 12515 . . . . . 6 β„€ ∈ V
21mptex 7178 . . . . 5 (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) ∈ V
3 irinitoringc.c . . . . . . . . 9 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
4 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
5 irinitoringc.u . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
6 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Hom β€˜πΆ) = (Hom β€˜πΆ)
73, 4, 5, 6ringchomfval 46384 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
87adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (Hom β€˜πΆ) = ( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ))))
98oveqd 7379 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = (β„€ring( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))π‘Ÿ))
10 irinitoringc.z . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ π‘ˆ)
12 zringring 20888 . . . . . . . . . . . 12 β„€ring ∈ Ring
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ Ring)
1411, 13elind 4159 . . . . . . . . . 10 (β„€ring ∈ π‘ˆ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
163, 4, 5ringcbas 46383 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜πΆ) = (π‘ˆ ∩ Ring))
1715, 16eleqtrrd 2841 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
19 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ))
2018, 19ovresd 7526 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring( RingHom β†Ύ ((Baseβ€˜πΆ) Γ— (Baseβ€˜πΆ)))π‘Ÿ) = (β„€ring RingHom π‘Ÿ))
2116eleq2d 2824 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) ↔ π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring)))
22 elin 3931 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) ↔ (π‘Ÿ ∈ π‘ˆ ∧ π‘Ÿ ∈ Ring))
2322simprbi 498 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ (π‘ˆ ∩ Ring) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
2421, 23syl6bi 253 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring))
2524imp 408 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ π‘Ÿ ∈ Ring)
26 eqid 2737 . . . . . . . 8 (.gβ€˜π‘Ÿ) = (.gβ€˜π‘Ÿ)
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))
28 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘Ÿ) = (1rβ€˜π‘Ÿ)
2926, 27, 28mulgrhm2 20915 . . . . . . 7 (π‘Ÿ ∈ Ring β†’ (β„€ring RingHom π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring RingHom π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
319, 20, 303eqtrd 2781 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
32 sneq 4601 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) β†’ {𝑓} = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))})
3332eqeq2d 2748 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) β†’ ((β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓} ↔ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))}))
3433spcegv 3559 . . . . 5 ((𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ))) ∈ V β†’ ((β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {(𝑧 ∈ β„€ ↦ (𝑧(.gβ€˜π‘Ÿ)(1rβ€˜π‘Ÿ)))} β†’ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓}))
352, 31, 34mpsyl 68 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓})
36 eusn 4696 . . . 4 (βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) ↔ βˆƒπ‘“(β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ) = {𝑓})
3735, 36sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
3837ralrimiva 3144 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ))
393ringccat 46396 . . . 4 (π‘ˆ ∈ 𝑉 β†’ 𝐢 ∈ Cat)
405, 39syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ Cat)
4112a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ Ring)
4210, 41elind 4159 . . . 4 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (π‘ˆ ∩ Ring))
4342, 16eleqtrrd 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (Baseβ€˜πΆ))
444, 6, 40, 43isinito 17889 . 2 (πœ‘ β†’ (β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ (Baseβ€˜πΆ)βˆƒ!𝑓 𝑓 ∈ (β„€ring(Hom β€˜πΆ)π‘Ÿ)))
4538, 44mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ β„€ring ∈ (InitOβ€˜πΆ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆƒ!weu 2567  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   ∩ cin 3914  {csn 4591   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636   β†Ύ cres 5640  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  β„€cz 12506  Basecbs 17090  Hom chom 17151  Catccat 17551  InitOcinito 17874  .gcmg 18879  1rcur 19920  Ringcrg 19971   RingHom crh 20152  β„€ringczring 20885  RingCatcringc 46375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-seq 13914  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-cat 17555  df-cid 17556  df-homf 17557  df-ssc 17700  df-resc 17701  df-subc 17702  df-inito 17877  df-estrc 18017  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-ringc 46377
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  46444
  Copyright terms: Public domain W3C validator