Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  irinitoringc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem irinitoringc 43832
Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
irinitoringc.u (𝜑𝑈𝑉)
irinitoringc.z (𝜑 → ℤring𝑈)
irinitoringc.c 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
irinitoringc (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc
Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zex 11840 . . . . . 6 ℤ ∈ V
21mptex 6855 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) ∈ V
3 irinitoringc.c . . . . . . . . 9 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4 eqid 2794 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5 irinitoringc.u . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈𝑉)
6 eqid 2794 . . . . . . . . 9 (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
73, 4, 5, 6ringchomfval 43775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
87adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
98oveqd 7036 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10 irinitoringc.z . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ℤring𝑈)
11 id 22 . . . . . . . . . . 11 (ℤring𝑈 → ℤring𝑈)
12 zringring 20302 . . . . . . . . . . . 12 ring ∈ Ring
1312a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (ℤring𝑈 → ℤring ∈ Ring)
1411, 13elind 4094 . . . . . . . . . 10 (ℤring𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
1510, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
163, 4, 5ringcbas 43774 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
1715, 16eleqtrrd 2885 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
1817adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
2018, 19ovresd 7174 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
2116eleq2d 2867 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22 elin 4092 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟𝑈𝑟 ∈ Ring))
2322simprbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
2421, 23syl6bi 254 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
2524imp 407 . . . . . . 7 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26 eqid 2794 . . . . . . . 8 (.g𝑟) = (.g𝑟)
27 eqid 2794 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))
28 eqid 2794 . . . . . . . 8 (1r𝑟) = (1r𝑟)
2926, 27, 28mulgrhm2 20328 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
3025, 29syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
319, 20, 303eqtrd 2834 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
32 sneq 4484 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))})
3332eqeq2d 2804 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))}))
3433spcegv 3538 . . . . 5 ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g𝑟)(1r𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
352, 31, 34mpsyl 68 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36 eusn 4575 . . . 4 (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
3735, 36sylibr 235 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
3837ralrimiva 3148 . 2 (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
393ringccat 43787 . . . 4 (𝑈𝑉𝐶 ∈ Cat)
405, 39syl 17 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4112a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
4210, 41elind 4094 . . . 4 (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
4342, 16eleqtrrd 2885 . . 3 (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
444, 6, 40, 43isinito 17089 . 2 (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
4538, 44mpbird 258 1 (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wex 1762  wcel 2080  ∃!weu 2610  wral 3104  Vcvv 3436  cin 3860  {csn 4474  cmpt 5043   × cxp 5444  cres 5448  cfv 6228  (class class class)co 7019  cz 11831  Basecbs 16312  Hom chom 16405  Catccat 16764  InitOcinito 17077  .gcmg 17981  1rcur 18941  Ringcrg 18987   RingHom crh 19154  ringzring 20299  RingCatcringc 43766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-addf 10465  ax-mulf 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-pm 8262  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-seq 13220  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-0g 16544  df-cat 16768  df-cid 16769  df-homf 16770  df-ssc 16909  df-resc 16910  df-subc 16911  df-inito 17080  df-estrc 17202  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-mhm 17774  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-mulg 17982  df-subg 18030  df-ghm 18097  df-cmn 18635  df-mgp 18930  df-ur 18942  df-ring 18989  df-cring 18990  df-rnghom 19157  df-subrg 19223  df-cnfld 20228  df-zring 20300  df-ringc 43768
This theorem is referenced by:  nzerooringczr  43835
  Copyright terms: Public domain W3C validator