Theorem irinitoringc 44414

Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
irinitoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
irinitoringc.z	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
irinitoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
irinitoringc	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 11984	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 6979	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V
3		irinitoringc.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		irinitoringc.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	ringchomfval 44357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
8	7	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	8	oveqd 7166	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10		irinitoringc.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ 𝑈)
12		zringring 20615	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ Ring)
14	11, 13	elind 4164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
16	3, 4, 5	ringcbas 44356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
17	15, 16	eleqtrrd 2915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
18	17	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
20	18, 19	ovresd 7308	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
21	16	eleq2d 2897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		elin 4162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ Ring))
23	22	simprbi 499	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
24	21, 23	syl6bi 255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
25	24	imp 409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑟) = (.g‘𝑟)
27		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))
28		eqid 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑟) = (1r‘𝑟)
29	26, 27, 28	mulgrhm2 20641	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
30	25, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
31	9, 20, 30	3eqtrd 2859	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
32		sneq 4570	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
33	32	eqeq2d 2831	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))}))
34	33	spcegv 3594	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
35	2, 31, 34	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36		eusn 4659	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
37	35, 36	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
38	37	ralrimiva 3181	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
39	3	ringccat 44369	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
40	5, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42	10, 41	elind 4164	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
43	42, 16	eleqtrrd 2915	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
44	4, 6, 40, 43	isinito 17255	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
45	38, 44	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536  ∃wex 1779   ∈ wcel 2113  ∃!weu 2652  ∀wral 3137  Vcvv 3491   ∩ cin 3928  {csn 4560   ↦ cmpt 5139   × cxp 5546   ↾ cres 5550  ‘cfv 6348  (class class class)co 7149  ℤcz 11975  Basecbs 16478  Hom chom 16571  Catccat 16930  InitOcinito 17243  ._gcmg 18219  1_rcur 19246  Ringcrg 19292   RingHom crh 19459  ℤ_ringzring 20612  RingCatcringc 44348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2792  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5323  ax-un 7454  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2892  df-nfc 2962  df-ne 3016  df-nel 3123  df-ral 3142  df-rex 3143  df-reu 3144  df-rmo 3145  df-rab 3146  df-v 3493  df-sbc 3769  df-csb 3877  df-dif 3932  df-un 3934  df-in 3936  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4285  df-if 4461  df-pw 4534  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7574  df-1st 7682  df-2nd 7683  df-wrecs 7940  df-recs 8001  df-rdg 8039  df-1o 8095  df-oadd 8099  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8455  df-en 8503  df-dom 8504  df-sdom 8505  df-fin 8506  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11632  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-fz 12890  df-seq 13367  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-cat 16934  df-cid 16935  df-homf 16936  df-ssc 17075  df-resc 17076  df-subc 17077  df-inito 17246  df-estrc 17368  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cmn 18903  df-mgp 19235  df-ur 19247  df-ring 19294  df-cring 19295  df-rnghom 19462  df-subrg 19528  df-cnfld 20541  df-zring 20613  df-ringc 44350

This theorem is referenced by:  nzerooringczr  44417