Theorem irinitoringc 21790

Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
irinitoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
irinitoringc.z	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
irinitoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
irinitoringc	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12705	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V
3		irinitoringc.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		irinitoringc.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	ringchomfval 20908	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
8	7	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	8	oveqd 7437	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10		irinitoringc.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
11		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ 𝑈)
12		zringring 21760	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ Ring)
14	11, 13	elind 4097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
15	10, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
16	3, 4, 5	ringcbas 20907	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
17	15, 16	eleqtrrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
20	18, 19	ovresd 7587	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
21	16	eleq2d 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		elin 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ Ring))
23	22	simprbi 503	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
24	21, 23	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
25	24	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑟) = (.g‘𝑟)
27		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))
28		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑟) = (1r‘𝑟)
29	26, 27, 28	mulgrhm2 21789	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
30	25, 29	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
31	9, 20, 30	3eqtrd 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
32		sneq 4590	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
33	32	eqeq2d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))}))
34	33	spcegv 3551	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
35	2, 31, 34	mpsyl 69	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36		eusn 4687	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
37	35, 36	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
38	37	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
39	3	ringccat 20920	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
40	5, 39	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42	10, 41	elind 4097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
43	42, 16	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
44	4, 6, 40, 43	isinito 18176	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
45	38, 44	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∃!weu 2593  ∀wral 3076  Vcvv 3450   ∩ cin 4089  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℤcz 12696  Basecbs 17392  Hom chom 17444  Catccat 17843  InitOcinito 18161  ._gcmg 19282  1_rcur 20412  Ringcrg 20464   RingHom crh 20704  RingCatcringc 20902  ℤ_ringczring 21757

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-seq 14148  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-cat 17847  df-cid 17848  df-homf 17849  df-ssc 17990  df-resc 17991  df-subc 17992  df-inito 18164  df-estrc 18302  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-mulg 19283  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-rhm 20707  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-ringc 20903  df-cnfld 21684  df-zring 21758

This theorem is used by:  nzerooringczr  21791