Theorem irinitoringc 21396

Description: The ring of integers is an initial object in the category of unital rings (within a universe containing the ring of integers). Example 7.2 (6) of [Adamek] p. 101 , and example in [Lang] p. 58. (Contributed by AV, 3-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
irinitoringc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
irinitoringc.z	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
irinitoringc.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
irinitoringc	⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Proof of Theorem irinitoringc

Dummy variables 𝑓 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zex 12545	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
2	1	mptex 7200	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V
3		irinitoringc.c	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
4		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
5		irinitoringc.u	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
6		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (Hom ‘𝐶) = (Hom ‘𝐶)
7	3, 4, 5, 6	ringchomfval 20567	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
8	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (Hom ‘𝐶) = ( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶))))
9	8	oveqd 7407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟))
10		irinitoringc.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ 𝑈)
11		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ 𝑈)
12		zringring 21366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℤring ∈ Ring
13	12	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ Ring)
14	11, 13	elind 4166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℤring ∈ 𝑈 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
15	10, 14	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
16	3, 4, 5	ringcbas 20566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐶) = (𝑈 ∩ Ring))
17	15, 16	eleqtrrd 2832	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
19		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝐶))
20	18, 19	ovresd 7559	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring( RingHom ↾ ((Base‘𝐶) × (Base‘𝐶)))𝑟) = (ℤring RingHom 𝑟))
21	16	eleq2d 2815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) ↔ 𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring)))
22		elin 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) ↔ (𝑟 ∈ 𝑈 ∧ 𝑟 ∈ Ring))
23	22	simprbi 496	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ (𝑈 ∩ Ring) → 𝑟 ∈ Ring)
24	21, 23	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑟 ∈ (Base‘𝐶) → 𝑟 ∈ Ring))
25	24	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑟 ∈ Ring)
26		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘𝑟) = (.g‘𝑟)
27		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))
28		eqid 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑟) = (1r‘𝑟)
29	26, 27, 28	mulgrhm2 21395	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 ∈ Ring → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
30	25, 29	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring RingHom 𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
31	9, 20, 30	3eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
32		sneq 4602	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → {𝑓} = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))})
33	32	eqeq2d 2741	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓} ↔ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))}))
34	33	spcegv 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟))) ∈ V → ((ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {(𝑧 ∈ ℤ ↦ (𝑧(.g‘𝑟)(1r‘𝑟)))} → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓}))
35	2, 31, 34	mpsyl 68	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
36		eusn 4697	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) ↔ ∃𝑓(ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟) = {𝑓})
37	35, 36	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝐶)) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
38	37	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟))
39	3	ringccat 20579	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑉 → 𝐶 ∈ Cat)
40	5, 39	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
41	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ Ring)
42	10, 41	elind 4166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (𝑈 ∩ Ring))
43	42, 16	eleqtrrd 2832	. . 3 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (Base‘𝐶))
44	4, 6, 40, 43	isinito 17965	. 2 ⊢ (𝜑 → (ℤring ∈ (InitO‘𝐶) ↔ ∀𝑟 ∈ (Base‘𝐶)∃!𝑓 𝑓 ∈ (ℤring(Hom ‘𝐶)𝑟)))
45	38, 44	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ℤring ∈ (InitO‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∃!weu 2562  ∀wral 3045  Vcvv 3450   ∩ cin 3916  {csn 4592   ↦ cmpt 5191   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℤcz 12536  Basecbs 17186  Hom chom 17238  Catccat 17632  InitOcinito 17950  ._gcmg 19006  1_rcur 20097  Ringcrg 20149   RingHom crh 20385  RingCatcringc 20561  ℤ_ringczring 21363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-seq 13974  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-cat 17636  df-cid 17637  df-homf 17638  df-ssc 17779  df-resc 17780  df-subc 17781  df-inito 17953  df-estrc 18091  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-ringc 20562  df-cnfld 21272  df-zring 21364

This theorem is referenced by:  nzerooringczr  21397