Theorem msrtri 24365

Description: Reverse triangle inequality for the distance function of a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mscl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
msrtri	⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Proof of Theorem msrtri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mscl.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑀)
2		mscl.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑀)
3	1, 2	msmet2 24353	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4		metrtri 24250	. . 3 ⊢ (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) − (𝐵(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶))) ≤ (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵))
5	3, 4	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) − (𝐵(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶))) ≤ (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵))
6		simpr1 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		simpr3 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
8	6, 7	ovresd 7582	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) = (𝐴𝐷𝐶))
9		simpr2 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
10	9, 7	ovresd 7582	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) = (𝐵𝐷𝐶))
11	8, 10	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) − (𝐵(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶)) = ((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶)))
12	11	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) − (𝐵(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶))) = (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))))
13	6, 9	ovresd 7582	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
14	5, 12, 13	3brtr3d 5173	1 ⊢ ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (abs‘((𝐴𝐷𝐶) − (𝐵𝐷𝐶))) ≤ (𝐴𝐷𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5142   × cxp 5670   ↾ cres 5674  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ≤ cle 11271   − cmin 11466  abscabs 15205  Basecbs 17171  distcds 17233  Metcmet 21252  MetSpcms 24211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13509  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-struct 17107  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-topgen 17416  df-xrs 17475  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-xms 24213  df-ms 24214

This theorem is referenced by:  nmrtri  24520