MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubclem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmsubclem4 20623
Description: Lemma 4 for rhmsubc 20624. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubclem4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,𝐢   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑉   πœ‘,𝑦   𝑧,𝑅,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rhmsubclem4
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
21adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ πœ‘)
3 simpr 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
43adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
5 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
65adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
7 rngcrescrhm.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
8 rngcrescrhm.c . . . . . . . 8 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
9 rngcrescrhm.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
10 rngcrescrhm.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubclem2 20621 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2811 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
14 simpr 483 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
1514adantl 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubclem2 20621 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2811 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 630 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 20442 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
2120ancoms 457 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
2219, 21biimtrdi 252 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧)))
2322imp 405 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
247ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
258eqcomi 2734 . . . 4 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = 𝐢
2625fveq2i 6894 . . 3 (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜πΆ)
27 inss2 4224 . . . . . . 7 (Ring ∩ π‘ˆ) βŠ† π‘ˆ
289, 27eqsstrdi 4027 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
2928sselda 3972 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3029adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3130adantr 479 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3228sseld 3971 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑅 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3332adantrd 490 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3433adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3534imp 405 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3635adantr 479 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3728sseld 3971 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
3837adantld 489 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
3938adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4039imp 405 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4140adantr 479 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4210oveqi 7428 . . . . . . . . 9 (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)
434, 6ovresd 7584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
4442, 43eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
4544eleq2d 2811 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
46 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
47 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
4846, 47rhmf 20426 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
4945, 48biimtrdi 252 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5049com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5150adantr 479 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5251impcom 406 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5310oveqi 7428 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑧)
54 ovres 7583 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑦( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5554adantl 480 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5653, 55eqtrid 2777 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5756eleq2d 2811 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
58 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
5947, 58rhmf 20426 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6057, 59biimtrdi 252 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6160com12 32 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6261adantl 480 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6362impcom 406 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
648, 24, 26, 31, 36, 41, 52, 63rngcco 20562 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
657, 8, 9, 10rhmsubclem2 20621 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
662, 4, 15, 65syl3anc 1368 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
6766adantr 479 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
6823, 64, 673eltr4d 2840 1 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∩ cin 3939  βŸ¨cop 4630   Γ— cxp 5670   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  compcco 17242  Ringcrg 20175   RingHom crh 20410  RngCatcrngc 20551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-resc 17791  df-estrc 18110  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-grp 18895  df-ghm 19170  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-rnghm 20377  df-rhm 20413  df-rngc 20552
This theorem is referenced by:  rhmsubc  20624
  Copyright terms: Public domain W3C validator