Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rhmsubclem4 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rhmsubclem4 46940
Description: Lemma 4 for rhmsubc 46941. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
rngcrescrhm.r (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubclem4 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑅,𝑦   𝑦,𝐢   𝑦,π‘ˆ   𝑦,𝑉   πœ‘,𝑦   𝑧,𝑅,π‘₯,𝑦   π‘₯,π‘ˆ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐢(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   π‘ˆ(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(π‘₯,𝑧,𝑓,𝑔)
Proof of Theorem rhmsubclem4
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ πœ‘)
21adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ πœ‘)
3 simpr 485 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
43adantr 481 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑅)
5 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
65adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑅)
7 rngcrescrhm.u . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
8 rngcrescrhm.c . . . . . . . 8 𝐢 = (RngCatβ€˜π‘ˆ)
9 rngcrescrhm.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Ring ∩ π‘ˆ))
10 rngcrescrhm.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubclem2 46938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2819 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
14 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubclem2 46938 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2819 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 631 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 20268 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
2120ancoms 459 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
2219, 21syl6bi 252 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧)))
2322imp 407 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (π‘₯ RingHom 𝑧))
247ad3antrrr 728 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
258eqcomi 2741 . . . 4 (RngCatβ€˜π‘ˆ) = 𝐢
2625fveq2i 6891 . . 3 (compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ)) = (compβ€˜πΆ)
27 inss2 4228 . . . . . . 7 (Ring ∩ π‘ˆ) βŠ† π‘ˆ
289, 27eqsstrdi 4035 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† π‘ˆ)
2928sselda 3981 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3029adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3130adantr 481 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
3228sseld 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑅 β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3332adantrd 492 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3433adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ))
3534imp 407 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3635adantr 481 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
3728sseld 3980 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑧 ∈ 𝑅 β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
3837adantld 491 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
3938adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ))
4039imp 407 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4140adantr 481 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
4210oveqi 7418 . . . . . . . . 9 (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦)
434, 6ovresd 7570 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
4442, 43eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑦) = (π‘₯ RingHom 𝑦))
4544eleq2d 2819 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦)))
46 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘₯) = (Baseβ€˜π‘₯)
47 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘¦) = (Baseβ€˜π‘¦)
4846, 47rhmf 20255 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (π‘₯ RingHom 𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
4945, 48syl6bi 252 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5049com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5150adantr 481 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦)))
5251impcom 408 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑓:(Baseβ€˜π‘₯)⟢(Baseβ€˜π‘¦))
5310oveqi 7418 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑧)
54 ovres 7569 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (𝑦( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5554adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦( RingHom β†Ύ (𝑅 Γ— 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5653, 55eqtrid 2784 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5756eleq2d 2819 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
58 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘§) = (Baseβ€˜π‘§)
5947, 58rhmf 20255 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
6057, 59syl6bi 252 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6160com12 32 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6261adantl 482 . . . 4 ((𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§)))
6362impcom 408 . . 3 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ 𝑔:(Baseβ€˜π‘¦)⟢(Baseβ€˜π‘§))
648, 24, 26, 31, 36, 41, 52, 63rngcco 46822 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
657, 8, 9, 10rhmsubclem2 46938 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
662, 4, 15, 65syl3anc 1371 . . 3 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
6766adantr 481 . 2 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (π‘₯𝐻𝑧) = (π‘₯ RingHom 𝑧))
6823, 64, 673eltr4d 2848 1 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (π‘₯𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) β†’ (𝑔(⟨π‘₯, π‘¦βŸ©(compβ€˜(RngCatβ€˜π‘ˆ))𝑧)𝑓) ∈ (π‘₯𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946  βŸ¨cop 4633   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  compcco 17205  Ringcrg 20049   RingHom crh 20240  RngCatcrngc 46808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-resc 17754  df-estrc 18070  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-ghm 19084  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-rnghom 20243  df-rnghomo 46670  df-rngc 46810
This theorem is referenced by:  rhmsubc  46941
  Copyright terms: Public domain W3C validator