MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rhmsubclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rhmsubclem4 20688
Description: Lemma 4 for rhmsubc 20689. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
rngcrescrhm.u (𝜑𝑈𝑉)
rngcrescrhm.c 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
Assertion
Ref Expression
rhmsubclem4 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubclem4
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝜑)
21adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝜑)
3 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥𝑅)
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑅)
5 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑅)
65adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑅)
7 rngcrescrhm.u . . . . . . . 8 (𝜑𝑈𝑉)
8 rngcrescrhm.c . . . . . . . 8 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
9 rngcrescrhm.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10 rngcrescrhm.h . . . . . . . 8 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
117, 8, 9, 10rhmsubclem2 20686 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑅𝑦𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
122, 4, 6, 11syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
1312eleq2d 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14 simpr 484 . . . . . . . 8 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑅)
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑅)
167, 8, 9, 10rhmsubclem2 20686 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑅𝑧𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
172, 6, 15, 16syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
1817eleq2d 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
1913, 18anbi12d 632 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20 rhmco 20501 . . . . 5 ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2120ancoms 458 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
2219, 21biimtrdi 253 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
2322imp 406 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
247ad3antrrr 730 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈𝑉)
258eqcomi 2746 . . . 4 (RngCat‘𝑈) = 𝐶
2625fveq2i 6909 . . 3 (comp‘(RngCat‘𝑈)) = (comp‘𝐶)
27 inss2 4238 . . . . . . 7 (Ring ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
289, 27eqsstrdi 4028 . . . . . 6 (𝜑𝑅𝑈)
2928sselda 3983 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → 𝑥𝑈)
3029adantr 480 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑥𝑈)
3130adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥𝑈)
3228sseld 3982 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑦𝑈))
3332adantrd 491 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑈))
3433adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑦𝑈))
3534imp 406 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑦𝑈)
3635adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦𝑈)
3728sseld 3982 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑧𝑅𝑧𝑈))
3837adantld 490 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑈))
3938adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑅) → ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → 𝑧𝑈))
4039imp 406 . . . 4 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑧𝑈)
4140adantr 480 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧𝑈)
4210oveqi 7444 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)
434, 6ovresd 7600 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
4442, 43eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
4544eleq2d 2827 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
46 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
4846, 47rhmf 20485 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
4945, 48biimtrdi 253 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5049com12 32 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5150adantr 480 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
5251impcom 407 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
5310oveqi 7444 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧)
54 ovres 7599 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑅𝑧𝑅) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5554adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5653, 55eqtrid 2789 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
5756eleq2d 2827 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
58 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
5947, 58rhmf 20485 . . . . . . 7 (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
6057, 59biimtrdi 253 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6160com12 32 . . . . 5 (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6261adantl 481 . . . 4 ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
6362impcom 407 . . 3 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
648, 24, 26, 31, 36, 41, 52, 63rngcco 20627 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔𝑓))
657, 8, 9, 10rhmsubclem2 20686 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑅𝑧𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
662, 4, 15, 65syl3anc 1373 . . 3 (((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6766adantr 480 . 2 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
6823, 64, 673eltr4d 2856 1 ((((𝜑𝑥𝑅) ∧ (𝑦𝑅𝑧𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  cin 3950  cop 4632   × cxp 5683  cres 5687  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  compcco 17309  Ringcrg 20230   RingHom crh 20469  RngCatcrngc 20616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-resc 17855  df-estrc 18167  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-ghm 19231  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-rnghm 20436  df-rhm 20472  df-rngc 20617
This theorem is referenced by:  rhmsubc  20689
  Copyright terms: Public domain W3C validator