Theorem rhmsubclem4 20623

Description: Lemma 4 for rhmsubc 20624. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubclem4	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝜑)
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝜑)
3		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
5		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑅)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
7		rngcrescrhm.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		rngcrescrhm.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
9		rngcrescrhm.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10		rngcrescrhm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
11	7, 8, 9, 10	rhmsubclem2 20621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
12	2, 4, 6, 11	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
13	12	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑅)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑅)
16	7, 8, 9, 10	rhmsubclem2 20621	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
17	2, 6, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
18	17	eleq2d 2822	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
19	13, 18	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20		rhmco 20436	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
21	20	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
22	19, 21	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
23	22	imp 406	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24	7	ad3antrrr 730	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
25	8	eqcomi 2745	. . . 4 ⊢ (RngCat‘𝑈) = 𝐶
26	25	fveq2i 6837	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCat‘𝑈)) = (comp‘𝐶)
27		inss2 4190	. . . . . . 7 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
28	9, 27	eqsstrdi 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
29	28	sselda 3933	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑈)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
32	28	sseld 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑈))
33	32	adantrd 491	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑈))
34	33	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	34	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	28	sseld 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑈))
38	37	adantld 490	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑈))
39	38	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑈))
40	39	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
41	40	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
42	10	oveqi 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)
43	4, 6	ovresd 7525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
44	42, 43	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
45	44	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
46		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
48	46, 47	rhmf 20422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
49	45, 48	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
50	49	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
52	51	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
53	10	oveqi 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧)
54		ovres 7524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
55	54	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
56	53, 55	eqtrid 2783	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
57	56	eleq2d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
58		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
59	47, 58	rhmf 20422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
60	57, 59	biimtrdi 253	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
61	60	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
62	61	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
63	62	impcom 407	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
64	8, 24, 26, 31, 36, 41, 52, 63	rngcco 20562	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
65	7, 8, 9, 10	rhmsubclem2 20621	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
66	2, 4, 15, 65	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
67	66	adantr 480	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
68	23, 64, 67	3eltr4d 2851	1 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900  ⟨cop 4586   × cxp 5622   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  compcco 17191  Ringcrg 20170   RingHom crh 20407  RngCatcrngc 20551

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8767  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-hom 17203  df-cco 17204  df-0g 17363  df-resc 17737  df-estrc 18048  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-ghm 19144  df-mgp 20078  df-ur 20119  df-ring 20172  df-rnghm 20374  df-rhm 20410  df-rngc 20552

This theorem is referenced by:  rhmsubc  20624