Theorem rhmsubclem4 20773

Description: Lemma 4 for rhmsubc 20774. (Contributed by AV, 2-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngcrescrhm.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
rngcrescrhm.c	⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
rngcrescrhm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
rngcrescrhm.h	⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))

Assertion

Ref	Expression
rhmsubclem4	⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑅,𝑦   𝑦,𝐶   𝑦,𝑈   𝑦,𝑉   𝜑,𝑦   𝑧,𝑅,𝑥,𝑦   𝑥,𝑈   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐶(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑅(𝑓,𝑔)   𝑈(𝑧,𝑓,𝑔)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧,𝑓,𝑔)   𝑉(𝑥,𝑧,𝑓,𝑔)

Proof of Theorem rhmsubclem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝜑)
2	1	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝜑)
3		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑅)
4	3	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑅)
5		simpl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑅)
6	5	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑅)
7		rngcrescrhm.u	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
8		rngcrescrhm.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = (RngCat‘𝑈)
9		rngcrescrhm.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Ring ∩ 𝑈))
10		rngcrescrhm.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))
11	7, 8, 9, 10	rhmsubclem2 20771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
12	2, 4, 6, 11	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
13	12	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
14		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑅)
15	14	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑅)
16	7, 8, 9, 10	rhmsubclem2 20771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
17	2, 6, 15, 16	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
18	17	eleq2d 2855	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
19	13, 18	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) ↔ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧))))
20		rhmco 20583	. . . . 5 ⊢ ((𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) ∧ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
21	20	ancoms 463	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
22	19, 21	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧)))
23	22	imp 411	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔 ∘ 𝑓) ∈ (𝑥 RingHom 𝑧))
24	7	ad3antrrr 742	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑈 ∈ 𝑉)
25	8	eqcomi 2778	. . . 4 ⊢ (RngCat‘𝑈) = 𝐶
26	25	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (comp‘(RngCat‘𝑈)) = (comp‘𝐶)
27		inss2 4198	. . . . . . 7 ⊢ (Ring ∩ 𝑈) ⊆ 𝑈
28	9, 27	eqsstrdi 3989	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝑈)
29	28	sselda 3945	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → 𝑥 ∈ 𝑈)
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑥 ∈ 𝑈)
31	30	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑥 ∈ 𝑈)
32	28	sseld 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑅 → 𝑦 ∈ 𝑈))
33	32	adantrd 496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑈))
34	33	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑦 ∈ 𝑈))
35	34	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑦 ∈ 𝑈)
36	35	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑦 ∈ 𝑈)
37	28	sseld 3944	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑧 ∈ 𝑅 → 𝑧 ∈ 𝑈))
38	37	adantld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑈))
39	38	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) → ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → 𝑧 ∈ 𝑈))
40	39	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑧 ∈ 𝑈)
41	40	adantr 485	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑧 ∈ 𝑈)
42	10	oveqi 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦)
43	4, 6	ovresd 7578	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
44	42, 43	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑦) = (𝑥 RingHom 𝑦))
45	44	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ↔ 𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦)))
46		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑥) = (Base‘𝑥)
47		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑦) = (Base‘𝑦)
48	46, 47	rhmf 20566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥 RingHom 𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
49	45, 48	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
50	49	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
51	50	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦)))
52	51	impcom 412	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑓:(Base‘𝑥)⟶(Base‘𝑦))
53	10	oveqi 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧)
54		ovres 7577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
55	54	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦( RingHom ↾ (𝑅 × 𝑅))𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
56	53, 55	eqtrid 2816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑦𝐻𝑧) = (𝑦 RingHom 𝑧))
57	56	eleq2d 2855	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) ↔ 𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧)))
58		eqid 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑧) = (Base‘𝑧)
59	47, 58	rhmf 20566	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦 RingHom 𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
60	57, 59	biimtrdi 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
61	60	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
62	61	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧)) → (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧)))
63	62	impcom 412	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → 𝑔:(Base‘𝑦)⟶(Base‘𝑧))
64	8, 24, 26, 31, 36, 41, 52, 63	rngcco 20712	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) = (𝑔 ∘ 𝑓))
65	7, 8, 9, 10	rhmsubclem2 20771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
66	2, 4, 15, 65	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
67	66	adantr 485	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑥𝐻𝑧) = (𝑥 RingHom 𝑧))
68	23, 64, 67	3eltr4d 2884	1 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑅) ∧ (𝑦 ∈ 𝑅 ∧ 𝑧 ∈ 𝑅)) ∧ (𝑓 ∈ (𝑥𝐻𝑦) ∧ 𝑔 ∈ (𝑦𝐻𝑧))) → (𝑔(⟨𝑥, 𝑦⟩(comp‘(RngCat‘𝑈))𝑧)𝑓) ∈ (𝑥𝐻𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912  ⟨cop 4600   × cxp 5660   ↾ cres 5664   ∘ ccom 5666  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  compcco 17322  Ringcrg 20315   RingHom crh 20551  RngCatcrngc 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-resc 17868  df-estrc 18179  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-grp 19003  df-ghm 19284  df-mgp 20217  df-ur 20264  df-ring 20317  df-rnghm 20518  df-rhm 20554  df-rngc 20702

This theorem is referenced by:  rhmsubc  20774