Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringchom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringchom 46990
Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ringcbas.c 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
ringcbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
ringcbas.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
ringchomfval.h 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
ringchom.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ringchom.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
ringchom (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))

Proof of Theorem ringchom
StepHypRef Expression
1 ringcbas.c . . . 4 𝐢 = (RingCatβ€˜π‘ˆ)
2 ringcbas.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΆ)
3 ringcbas.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝑉)
4 ringchomfval.h . . . 4 𝐻 = (Hom β€˜πΆ)
51, 2, 3, 4ringchomfval 46989 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻 = ( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡)))
65oveqd 7428 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑋( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Œ))
7 ringchom.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8 ringchom.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
97, 8ovresd 7576 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋( RingHom β†Ύ (𝐡 Γ— 𝐡))π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
106, 9eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ (π‘‹π»π‘Œ) = (𝑋 RingHom π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  Hom chom 17210   RingHom crh 20252  RingCatcringc 46980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-hom 17223  df-cco 17224  df-0g 17389  df-resc 17760  df-estrc 18076  df-mhm 18673  df-ghm 19092  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-rnghom 20255  df-ringc 46982
This theorem is referenced by:  elringchom  46991  rhmsubcsetclem1  46998  rhmsubcrngclem1  47004  ringcsect  47008  funcringcsetc  47012  funcringcsetcALTV2lem8  47020  funcringcsetcALTV2lem9  47021  zrtermoringc  47047  zrninitoringc  47048  nzerooringczr  47049  srhmsubclem3  47052  srhmsubc  47053
  Copyright terms: Public domain W3C validator