Theorem ringchom 20806

Description: Set of arrows of the category of unital rings (in a universe). (Contributed by AV, 14-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringcbas.c	⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
ringcbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
ringcbas.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
ringchomfval.h	⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
ringchom.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ringchom.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ringchom	⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))

Proof of Theorem ringchom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringcbas.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (RingCat‘𝑈)
2		ringcbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		ringcbas.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝑉)
4		ringchomfval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5	1, 2, 3, 4	ringchomfval 20805	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵)))
6	5	oveqd 7437	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌))
7		ringchom.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
8		ringchom.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	7, 8	ovresd 7587	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( RingHom ↾ (𝐵 × 𝐵))𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))
10	6, 9	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋𝐻𝑌) = (𝑋 RingHom 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   × cxp 5661   ↾ cres 5665  ‘cfv 6541  (class class class)co 7420  Basecbs 17296  Hom chom 17348   RingHom crh 20602  RingCatcringc 20799

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743  ax-cnex 11176  ax-resscn 11177  ax-1cn 11178  ax-icn 11179  ax-addcl 11180  ax-addrcl 11181  ax-mulcl 11182  ax-mulrcl 11183  ax-mulcom 11184  ax-addass 11185  ax-mulass 11186  ax-distr 11187  ax-i2m1 11188  ax-1ne0 11189  ax-1rid 11190  ax-rnegex 11191  ax-rrecex 11192  ax-cnre 11193  ax-pre-lttri 11194  ax-pre-lttrn 11195  ax-pre-ltadd 11196  ax-pre-mulgt0 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7870  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8951  df-dom 8952  df-sdom 8953  df-fin 8954  df-pnf 11265  df-mnf 11266  df-xr 11267  df-ltxr 11268  df-le 11269  df-sub 11463  df-neg 11464  df-nn 12254  df-2 12323  df-3 12324  df-4 12325  df-5 12326  df-6 12327  df-7 12328  df-8 12329  df-9 12330  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12733  df-uz 12884  df-fz 13557  df-struct 17234  df-sets 17251  df-slot 17269  df-ndx 17281  df-base 17297  df-ress 17318  df-plusg 17350  df-hom 17361  df-cco 17362  df-0g 17521  df-resc 17895  df-estrc 18206  df-mhm 18883  df-ghm 19333  df-mgp 20266  df-ur 20313  df-ring 20366  df-rhm 20605  df-ringc 20800

This theorem is used by:  elringchom  20807  rhmsubcsetclem1  20814  rhmsubcrngclem1  20820  ringcsect  20824  funcringcsetc  20828  zrtermoringc  20829  zrninitoringc  20830  srhmsubclem3  20833  srhmsubc  20834  nzerooringczr  21685  funcringcsetcALTV2lem8  49139  funcringcsetcALTV2lem9  49140