MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 24335
Description: Lemma for ftc1 24336. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑧   𝑧,𝐺   𝑡,𝐴,𝑥,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑧   𝜑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑧   𝑥,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9 ftc1.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿t ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 24332 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
145, 8sseldd 3858 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1513, 14ffvelrnd 6675 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
16 cnxmet 23078 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 ax-resscn 10388 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
186, 17syl6ss 3869 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1918adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐷 ⊆ ℂ)
20 xmetres2 22668 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2116, 19, 20sylancr 578 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2216a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
23 eqid 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
2412cnfldtopn 23087 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25 eqid 2775 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 22831 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 578 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2811, 27syl5eq 2823 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2928oveq1d 6989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6499 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
319, 30eleqtrd 2865 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
3231adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
33 simpr 477 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 22852 . . . . 5 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 826 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
36 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3714ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶𝐷)
3836, 37ovresd 7129 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (𝑦(abs ∘ − )𝐶))
3918adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4039sselda 3857 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
41 iccssre 12631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
422, 3, 41syl2anc 576 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4342, 17syl6ss 3869 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
44 ioossicc 12635 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4544, 8sseldi 3855 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4643, 45sseldd 3858 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 eqid 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4948cnmetdval 23076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5040, 47, 49syl2anc 576 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5138, 50eqtrd 2811 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5251breq1d 4937 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣))
5313adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
5453ffvelrnda 6674 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5515ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5648cnmetdval 23076 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5754, 55, 56syl2anc 576 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5857breq1d 4937 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
5952, 58imbi12d 337 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
6059ralbidva 3143 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
61 simprll 766 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
62 eldifsni 4594 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → 𝑠𝐶)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠𝐶)
642ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
664ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
675ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
686ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
697ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
719ad2antrr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
73 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
74 simplrr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
76 fvoveq1 6997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑢𝐶)))
7776breq1d 4937 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣))
7877imbrov2fvoveq 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
7978rspccva 3531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8075, 79sylan 572 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8161eldifad 3840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 simprr 760 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)
831, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 80, 81, 82ftc1lem5 24334 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑠𝐶) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8463, 83mpdan 674 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8584expr 449 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8685adantld 483 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8786expr 449 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8887ralrimdva 3136 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8960, 88sylbid 232 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9089anassrs 460 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9190reximdva 3216 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9235, 91mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9392ralrimiva 3129 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 24330 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
9594, 43, 45dvlem 24191 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
9695, 72fmptd 6699 . . 3 (𝜑𝐻:((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})⟶ℂ)
9743ssdifssd 4008 . . 3 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
9896, 97, 46ellimc3 24174 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))))
9915, 93, 98mpbir2and 700 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  wne 2964  wral 3085  wrex 3086  cdif 3825  wss 3828  {csn 4439   class class class wbr 4927  cmpt 5006   × cxp 5402  cres 5406  ccom 5408  wf 6182  cfv 6186  (class class class)co 6974  cc 10329  cr 10330   < clt 10470  cle 10471  cmin 10666   / cdiv 11094  +crp 12201  (,)cioo 12551  [,]cicc 12554  abscabs 14448  t crest 16544  TopOpenctopn 16545  ∞Metcxmet 20226  MetOpencmopn 20231  fldccnfld 20241   CnP ccnp 21531  𝐿1cibl 23915  citg 23916   lim climc 24157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2747  ax-rep 5047  ax-sep 5058  ax-nul 5065  ax-pow 5117  ax-pr 5184  ax-un 7277  ax-inf2 8894  ax-cc 9651  ax-cnex 10387  ax-resscn 10388  ax-1cn 10389  ax-icn 10390  ax-addcl 10391  ax-addrcl 10392  ax-mulcl 10393  ax-mulrcl 10394  ax-mulcom 10395  ax-addass 10396  ax-mulass 10397  ax-distr 10398  ax-i2m1 10399  ax-1ne0 10400  ax-1rid 10401  ax-rnegex 10402  ax-rrecex 10403  ax-cnre 10404  ax-pre-lttri 10405  ax-pre-lttrn 10406  ax-pre-ltadd 10407  ax-pre-mulgt0 10408  ax-pre-sup 10409  ax-addf 10410  ax-mulf 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2756  df-cleq 2768  df-clel 2843  df-nfc 2915  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3090  df-rex 3091  df-reu 3092  df-rmo 3093  df-rab 3094  df-v 3414  df-sbc 3681  df-csb 3786  df-dif 3831  df-un 3833  df-in 3835  df-ss 3842  df-pss 3844  df-symdif 4105  df-nul 4178  df-if 4349  df-pw 4422  df-sn 4440  df-pr 4442  df-tp 4444  df-op 4446  df-uni 4711  df-int 4748  df-iun 4792  df-iin 4793  df-disj 4896  df-br 4928  df-opab 4990  df-mpt 5007  df-tr 5029  df-id 5309  df-eprel 5314  df-po 5323  df-so 5324  df-fr 5363  df-se 5364  df-we 5365  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-pred 5984  df-ord 6030  df-on 6031  df-lim 6032  df-suc 6033  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-isom 6195  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-ofr 7226  df-om 7395  df-1st 7498  df-2nd 7499  df-supp 7631  df-wrecs 7747  df-recs 7809  df-rdg 7847  df-1o 7901  df-2o 7902  df-oadd 7905  df-omul 7906  df-er 8085  df-map 8204  df-pm 8205  df-ixp 8256  df-en 8303  df-dom 8304  df-sdom 8305  df-fin 8306  df-fsupp 8625  df-fi 8666  df-sup 8697  df-inf 8698  df-oi 8765  df-dju 9120  df-card 9158  df-acn 9161  df-cda 9384  df-pnf 10472  df-mnf 10473  df-xr 10474  df-ltxr 10475  df-le 10476  df-sub 10668  df-neg 10669  df-div 11095  df-nn 11436  df-2 11500  df-3 11501  df-4 11502  df-5 11503  df-6 11504  df-7 11505  df-8 11506  df-9 11507  df-n0 11705  df-z 11791  df-dec 11909  df-uz 12056  df-q 12160  df-rp 12202  df-xneg 12321  df-xadd 12322  df-xmul 12323  df-ioo 12555  df-ioc 12556  df-ico 12557  df-icc 12558  df-fz 12706  df-fzo 12847  df-fl 12974  df-mod 13050  df-seq 13182  df-exp 13242  df-hash 13503  df-cj 14313  df-re 14314  df-im 14315  df-sqrt 14449  df-abs 14450  df-clim 14700  df-rlim 14701  df-sum 14898  df-struct 16335  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-ress 16341  df-plusg 16428  df-mulr 16429  df-starv 16430  df-sca 16431  df-vsca 16432  df-ip 16433  df-tset 16434  df-ple 16435  df-ds 16437  df-unif 16438  df-hom 16439  df-cco 16440  df-rest 16546  df-topn 16547  df-0g 16565  df-gsum 16566  df-topgen 16567  df-pt 16568  df-prds 16571  df-xrs 16625  df-qtop 16630  df-imas 16631  df-xps 16633  df-mre 16709  df-mrc 16710  df-acs 16712  df-mgm 17704  df-sgrp 17746  df-mnd 17757  df-submnd 17798  df-mulg 18006  df-cntz 18212  df-cmn 18662  df-psmet 20233  df-xmet 20234  df-met 20235  df-bl 20236  df-mopn 20237  df-cnfld 20242  df-top 21200  df-topon 21217  df-topsp 21239  df-bases 21252  df-cn 21533  df-cnp 21534  df-cmp 21693  df-tx 21868  df-hmeo 22061  df-xms 22627  df-ms 22628  df-tms 22629  df-cncf 23183  df-ovol 23762  df-vol 23763  df-mbf 23917  df-itg1 23918  df-itg2 23919  df-ibl 23920  df-itg 23921  df-0p 23968  df-limc 24161
This theorem is referenced by:  ftc1  24336
  Copyright terms: Public domain W3C validator