MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 25975
Description: Lemma for ftc1 25976. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
ftc1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝑧,𝐢   𝑑,𝐷,π‘₯,𝑧   𝑧,𝐺   𝑑,𝐴,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐡,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐹,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐿(𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
2 ftc1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
5 ftc1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
9 ftc1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 25972 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
145, 8sseldd 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
1513, 14ffvelcdmd 7095 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
16 cnxmet 24688 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
17 ax-resscn 11195 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
186, 17sstrdi 3992 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
20 xmetres2 24266 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2116, 19, 20sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2216a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
23 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))
2412cnfldtopn 24697 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
25 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 24432 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐿 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐿 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2811, 27eqtrid 2780 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2928oveq1d 7435 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6899 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
319, 30eleqtrd 2831 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
3231adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
33 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 24453 . . . . 5 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
3714ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
3836, 37ovresd 7588 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) = (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
3918adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
4039sselda 3980 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
41 iccssre 13438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
422, 3, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
4342, 17sstrdi 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
44 ioossicc 13442 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4544, 8sselid 3978 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4643, 45sseldd 3981 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
48 eqid 2728 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
4948cnmetdval 24686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5040, 47, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5138, 50eqtrd 2768 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5251breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣))
5313adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
5453ffvelcdmda 7094 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
5648cnmetdval 24686 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
5754, 55, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
5857breq1d 5158 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
5952, 58imbi12d 344 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
6059ralbidva 3172 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
61 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
62 eldifsni 4794 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑠 β‰  𝐢)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 β‰  𝐢)
642ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
664ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
686ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
697ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
73 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
74 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
76 fvoveq1 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑒 β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)))
7776breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣))
7877imbrov2fvoveq 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
7978rspccva 3608 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8075, 79sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8161eldifad 3959 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
82 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)
831, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 80, 81, 82ftc1lem5 25974 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) ∧ 𝑠 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)
8463, 83mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)
8584expr 456 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8685adantld 490 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))) β†’ ((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8786expr 456 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) β†’ ((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
8887ralrimdva 3151 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
8960, 88sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9089anassrs 467 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9190reximdva 3165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9235, 91mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
9392ralrimiva 3143 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 25970 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
9594, 43, 45dvlem 25824 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
9695, 72fmptd 7124 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
9743ssdifssd 4141 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
9896, 97, 46ellimc3 25807 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))))
9915, 93, 98mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  {csn 4629   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5676   β†Ύ cres 5680   ∘ ccom 5682  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11136  β„cr 11137   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  abscabs 15213   β†Ύt crest 17401  TopOpenctopn 17402  βˆžMetcxmet 21263  MetOpencmopn 21268  β„‚fldccnfld 21278   CnP ccnp 23128  πΏ1cibl 25545  βˆ«citg 25546   limβ„‚ climc 25790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4243  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8846  df-pm 8847  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-cnfld 21279  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-cmp 23290  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cncf 24797  df-ovol 25392  df-vol 25393  df-mbf 25547  df-itg1 25548  df-itg2 25549  df-ibl 25550  df-itg 25551  df-0p 25598  df-limc 25794
This theorem is referenced by:  ftc1  25976
  Copyright terms: Public domain W3C validator