MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 25428
Description: Lemma for ftc1 25429. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
ftc1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝑧,𝐢   𝑑,𝐷,π‘₯,𝑧   𝑧,𝐺   𝑑,𝐴,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐡,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐹,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐿(𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
2 ftc1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
5 ftc1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
9 ftc1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 25425 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
145, 8sseldd 3949 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
1513, 14ffvelcdmd 7040 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
16 cnxmet 24159 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
17 ax-resscn 11116 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
186, 17sstrdi 3960 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
1918adantr 482 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
20 xmetres2 23737 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2116, 19, 20sylancr 588 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2216a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
23 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))
2412cnfldtopn 24168 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 23903 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐿 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐿 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2811, 27eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2928oveq1d 7376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6848 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
319, 30eleqtrd 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
3231adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
33 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 23924 . . . . 5 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 838 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀))
36 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
3714ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
3836, 37ovresd 7525 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) = (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
3918adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
4039sselda 3948 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
41 iccssre 13355 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
422, 3, 41syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
4342, 17sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
44 ioossicc 13359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4544, 8sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4643, 45sseldd 3949 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4746ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
48 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
4948cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5040, 47, 49syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5138, 50eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5251breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣))
5313adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
5453ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
5515ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
5648cnmetdval 24157 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
5754, 55, 56syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
5857breq1d 5119 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
5952, 58imbi12d 345 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
6059ralbidva 3169 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
61 simprll 778 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
62 eldifsni 4754 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑠 β‰  𝐢)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 β‰  𝐢)
642ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
664ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
675ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
686ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
697ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
719ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
73 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
74 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
76 fvoveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑒 β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)))
7776breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣))
7877imbrov2fvoveq 7386 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
7978rspccva 3582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8075, 79sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8161eldifad 3926 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
82 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)
831, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 80, 81, 82ftc1lem5 25427 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) ∧ 𝑠 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)
8463, 83mpdan 686 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)
8584expr 458 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8685adantld 492 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))) β†’ ((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8786expr 458 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) β†’ ((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
8887ralrimdva 3148 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
8960, 88sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9089anassrs 469 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9190reximdva 3162 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9235, 91mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
9392ralrimiva 3140 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 25423 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
9594, 43, 45dvlem 25283 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
9695, 72fmptd 7066 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
9743ssdifssd 4106 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
9896, 97, 46ellimc3 25266 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))))
9915, 93, 98mpbir2and 712 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3911   βŠ† wss 3914  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128   β†Ύt crest 17310  TopOpenctopn 17311  βˆžMetcxmet 20804  MetOpencmopn 20809  β„‚fldccnfld 20819   CnP ccnp 22599  πΏ1cibl 25004  βˆ«citg 25005   limβ„‚ climc 25249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-symdif 4206  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-ofr 7622  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007  df-itg2 25008  df-ibl 25009  df-itg 25010  df-0p 25057  df-limc 25253
This theorem is referenced by:  ftc1  25429
  Copyright terms: Public domain W3C validator