MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 25920
Description: Lemma for ftc1 25921. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
ftc1.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑑,𝑧,𝐢   𝑑,𝐷,π‘₯,𝑧   𝑧,𝐺   𝑑,𝐴,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐡,π‘₯,𝑧   πœ‘,𝑑,π‘₯,𝑧   𝑑,𝐹,π‘₯,𝑧   π‘₯,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)   𝐻(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑧,𝑑)   𝐿(𝑑)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑒 𝑣 𝑀 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
2 ftc1.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
5 ftc1.s . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
9 ftc1.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿 β†Ύt ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿 β†Ύt 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 25917 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
145, 8sseldd 3976 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
1513, 14ffvelcdmd 7078 . 2 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
16 cnxmet 24633 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
17 ax-resscn 11164 . . . . . . . 8 ℝ βŠ† β„‚
186, 17sstrdi 3987 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
1918adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
20 xmetres2 24211 . . . . . 6 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2116, 19, 20sylancr 586 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2216a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
23 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))
2412cnfldtopn 24642 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
25 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 24377 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐿 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐿 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2811, 27eqtrid 2776 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2928oveq1d 7417 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6884 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
319, 30eleqtrd 2827 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
3231adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ))
33 simpr 484 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 24398 . . . . 5 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) CnP 𝐿)β€˜πΆ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ+)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 836 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀))
36 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
3714ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
3836, 37ovresd 7568 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) = (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢))
3918adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
4039sselda 3975 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
41 iccssre 13407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
422, 3, 41syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
4342, 17sstrdi 3987 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† β„‚)
44 ioossicc 13411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐡) βŠ† (𝐴[,]𝐡)
4544, 8sselid 3973 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐴[,]𝐡))
4643, 45sseldd 3976 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
4746ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
48 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
4948cnmetdval 24631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ β„‚) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5040, 47, 49syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦(abs ∘ βˆ’ )𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5138, 50eqtrd 2764 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) = (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)))
5251breq1d 5149 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣))
5313adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
5453ffvelcdmda 7077 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
5515ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
5648cnmetdval 24631 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
5754, 55, 56syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))))
5857breq1d 5149 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
5952, 58imbi12d 344 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐷) β†’ (((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
6059ralbidva 3167 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
61 simprll 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}))
62 eldifsni 4786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) β†’ 𝑠 β‰  𝐢)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 β‰  𝐢)
642ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
664ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
675ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
686ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
697ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐢 ∈ (𝐴(,)𝐡))
719ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)β€˜πΆ))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ↦ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)))
73 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ+)
74 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
76 fvoveq1 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑒 β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)))
7776breq1d 5149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑒 β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣))
7877imbrov2fvoveq 7427 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑒 β†’ (((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
7978rspccva 3603 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8075, 79sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) ∧ 𝑒 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘’) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8161eldifad 3953 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
82 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)
831, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 80, 81, 82ftc1lem5 25919 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) ∧ 𝑠 β‰  𝐢) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)
8463, 83mpdan 684 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣)) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)
8584expr 456 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))) β†’ ((absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8685adantld 490 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))) β†’ ((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
8786expr 456 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) β†’ ((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
8887ralrimdva 3146 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘¦) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
8960, 88sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9089anassrs 467 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9190reximdva 3160 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐷 ((𝑦((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝐢) < 𝑣 β†’ ((πΉβ€˜π‘¦)(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜πΆ)) < 𝑀) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀)))
9235, 91mpd 15 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
9392ralrimiva 3138 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 25915 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
9594, 43, 45dvlem 25769 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})) β†’ (((πΊβ€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ)) / (𝑧 βˆ’ 𝐢)) ∈ β„‚)
9695, 72fmptd 7106 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})βŸΆβ„‚)
9743ssdifssd 4135 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢}) βŠ† β„‚)
9896, 97, 46ellimc3 25752 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢) ↔ ((πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘€ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘£ ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ ((𝐴[,]𝐡) βˆ– {𝐢})((𝑠 β‰  𝐢 ∧ (absβ€˜(𝑠 βˆ’ 𝐢)) < 𝑣) β†’ (absβ€˜((π»β€˜π‘ ) βˆ’ (πΉβ€˜πΆ))) < 𝑀))))
9915, 93, 98mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ (𝐻 limβ„‚ 𝐢))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  {csn 4621   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222   Γ— cxp 5665   β†Ύ cres 5669   ∘ ccom 5671  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  β„‚cc 11105  β„cr 11106   < clt 11247   ≀ cle 11248   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„+crp 12975  (,)cioo 13325  [,]cicc 13328  abscabs 15183   β†Ύt crest 17371  TopOpenctopn 17372  βˆžMetcxmet 21219  MetOpencmopn 21224  β„‚fldccnfld 21234   CnP ccnp 23073  πΏ1cibl 25490  βˆ«citg 25491   limβ„‚ climc 25735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-symdif 4235  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-disj 5105  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-ioo 13329  df-ioc 13330  df-ico 13331  df-icc 13332  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-fl 13758  df-mod 13836  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-submnd 18710  df-mulg 18992  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-cnfld 21235  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-cn 23075  df-cnp 23076  df-cmp 23235  df-tx 23410  df-hmeo 23603  df-xms 24170  df-ms 24171  df-tms 24172  df-cncf 24742  df-ovol 25337  df-vol 25338  df-mbf 25492  df-itg1 25493  df-itg2 25494  df-ibl 25495  df-itg 25496  df-0p 25543  df-limc 25739
This theorem is referenced by:  ftc1  25921
  Copyright terms: Public domain W3C validator