MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ftc1lem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1lem6 25405
Description: Lemma for ftc1 25406. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
ftc1.f (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
ftc1.j 𝐽 = (𝐿t ℝ)
ftc1.k 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
ftc1.l 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
ftc1.h 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
Assertion
Ref Expression
ftc1lem6 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑡,𝑧,𝐶   𝑡,𝐷,𝑥,𝑧   𝑧,𝐺   𝑡,𝐴,𝑥,𝑧   𝑡,𝐵,𝑥,𝑧   𝜑,𝑡,𝑥,𝑧   𝑡,𝐹,𝑥,𝑧   𝑥,𝐿,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)   𝐻(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐽(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐾(𝑥,𝑧,𝑡)   𝐿(𝑡)

Proof of Theorem ftc1lem6
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑤 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ftc1.g . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1.b . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1.le . . . 4 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1.s . . . 4 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1.d . . . 4 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1.i . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
9 ftc1.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
10 ftc1.j . . . 4 𝐽 = (𝐿t ℝ)
11 ftc1.k . . . 4 𝐾 = (𝐿t 𝐷)
12 ftc1.l . . . 4 𝐿 = (TopOpen‘ℂfld)
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12ftc1lem3 25402 . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
145, 8sseldd 3945 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1513, 14ffvelcdmd 7036 . 2 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
16 cnxmet 24136 . . . . . 6 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
17 ax-resscn 11108 . . . . . . . 8 ℝ ⊆ ℂ
186, 17sstrdi 3956 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
1918adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐷 ⊆ ℂ)
20 xmetres2 23714 . . . . . 6 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2116, 19, 20sylancr 587 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2216a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
23 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
2412cnfldtopn 24145 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2623, 24, 25metrest 23880 . . . . . . . . . . 11 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2716, 18, 26sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐿t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2811, 27eqtrid 2788 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2928oveq1d 7372 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐾 CnP 𝐿) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿))
3029fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
319, 30eleqtrd 2840 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶))
33 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → 𝑤 ∈ ℝ+)
3425, 24metcnpi2 23901 . . . . 5 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐹 ∈ (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) CnP 𝐿)‘𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ℝ+)) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
3521, 22, 32, 33, 34syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤))
36 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦𝐷)
3714ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶𝐷)
3836, 37ovresd 7521 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (𝑦(abs ∘ − )𝐶))
3918adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐷 ⊆ ℂ)
4039sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝑦 ∈ ℂ)
41 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
422, 3, 41syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4342, 17sstrdi 3956 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℂ)
44 ioossicc 13350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴(,)𝐵) ⊆ (𝐴[,]𝐵)
4544, 8sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵))
4643, 45sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → 𝐶 ∈ ℂ)
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
4948cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5040, 47, 49syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦(abs ∘ − )𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5138, 50eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) = (abs‘(𝑦𝐶)))
5251breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣))
5313adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → 𝐹:𝐷⟶ℂ)
5453ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
5515ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
5648cnmetdval 24134 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹𝑦) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝐶) ∈ ℂ) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5754, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) = (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))))
5857breq1d 5115 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤 ↔ (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
5952, 58imbi12d 344 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑦𝐷) → (((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
6059ralbidva 3172 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) ↔ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
61 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}))
62 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) → 𝑠𝐶)
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠𝐶)
642ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴 ∈ ℝ)
653ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐵 ∈ ℝ)
664ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐴𝐵)
675ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
686ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
697ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
708ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐶 ∈ (𝐴(,)𝐵))
719ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝐹 ∈ ((𝐾 CnP 𝐿)‘𝐶))
72 ftc1.h . . . . . . . . . . . . 13 𝐻 = (𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ↦ (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)))
73 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑤 ∈ ℝ+)
74 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑣 ∈ ℝ+)
75 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
76 fvoveq1 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑢 → (abs‘(𝑦𝐶)) = (abs‘(𝑢𝐶)))
7776breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑢 → ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 ↔ (abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣))
7877imbrov2fvoveq 7382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑢 → (((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ↔ ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
7978rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8075, 79sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑢𝐷) → ((abs‘(𝑢𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑢) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8161eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐵))
82 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)
831, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 10, 11, 12, 72, 73, 74, 80, 81, 82ftc1lem5 25404 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) ∧ 𝑠𝐶) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8463, 83mpdan 685 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ ((𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)) ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣)) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)
8584expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8685adantld 491 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ∧ ∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
8786expr 457 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8887ralrimdva 3151 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((abs‘(𝑦𝐶)) < 𝑣 → (abs‘((𝐹𝑦) − (𝐹𝐶))) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
8960, 88sylbid 239 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+)) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9089anassrs 468 . . . . 5 (((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (∀𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∀𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9190reximdva 3165 . . . 4 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → (∃𝑣 ∈ ℝ+𝑦𝐷 ((𝑦((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝐶) < 𝑣 → ((𝐹𝑦)(abs ∘ − )(𝐹𝐶)) < 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤)))
9235, 91mpd 15 . . 3 ((𝜑𝑤 ∈ ℝ+) → ∃𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
9392ralrimiva 3143 . 2 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))
941, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13ftc1lem2 25400 . . . . 5 (𝜑𝐺:(𝐴[,]𝐵)⟶ℂ)
9594, 43, 45dvlem 25260 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})) → (((𝐺𝑧) − (𝐺𝐶)) / (𝑧𝐶)) ∈ ℂ)
9695, 72fmptd 7062 . . 3 (𝜑𝐻:((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})⟶ℂ)
9743ssdifssd 4102 . . 3 (𝜑 → ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶}) ⊆ ℂ)
9896, 97, 46ellimc3 25243 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶) ↔ ((𝐹𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑤 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ((𝐴[,]𝐵) ∖ {𝐶})((𝑠𝐶 ∧ (abs‘(𝑠𝐶)) < 𝑣) → (abs‘((𝐻𝑠) − (𝐹𝐶))) < 𝑤))))
9915, 93, 98mpbir2and 711 1 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ (𝐻 lim 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  +crp 12915  (,)cioo 13264  [,]cicc 13267  abscabs 15119  t crest 17302  TopOpenctopn 17303  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  fldccnfld 20796   CnP ccnp 22576  𝐿1cibl 24981  citg 24982   lim climc 25226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230
This theorem is referenced by:  ftc1  25406
  Copyright terms: Public domain W3C validator