Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mstri Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mstri 23171
 Description: Triangle inequality for the distance function of a metric space. Definition 14-1.1(d) of [Gleason] p. 223. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mscl.x 𝑋 = (Base‘𝑀)
mscl.d 𝐷 = (dist‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
mstri ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))

Proof of Theorem mstri
StepHypRef Expression
1 mscl.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑀)
2 mscl.d . . . 4 𝐷 = (dist‘𝑀)
31, 2msmet2 23162 . . 3 (𝑀 ∈ MetSp → (𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋))
4 mettri 23054 . . 3 (((𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) + (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
53, 4sylan 583 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) ≤ ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) + (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)))
6 simpr1 1191 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑋)
7 simpr2 1192 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
86, 7ovresd 7311 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐴𝐷𝐵))
9 simpr3 1193 . . . 4 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
106, 9ovresd 7311 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) = (𝐴𝐷𝐶))
119, 7ovresd 7311 . . 3 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵) = (𝐶𝐷𝐵))
1210, 11oveq12d 7168 . 2 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐴(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐶) + (𝐶(𝐷 ↾ (𝑋 × 𝑋))𝐵)) = ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))
135, 8, 123brtr3d 5063 1 ((𝑀 ∈ MetSp ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐴𝐷𝐵) ≤ ((𝐴𝐷𝐶) + (𝐶𝐷𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5032   × cxp 5522   ↾ cres 5526  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150   + caddc 10578   ≤ cle 10714  Basecbs 16541  distcds 16632  Metcmet 20152  MetSpcms 23020 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-sup 8939  df-inf 8940  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-q 12389  df-rp 12431  df-xneg 12548  df-xadd 12549  df-xmul 12550  df-topgen 16775  df-psmet 20158  df-xmet 20159  df-met 20160  df-bl 20161  df-mopn 20162  df-top 21594  df-topon 21611  df-topsp 21633  df-bases 21646  df-xms 23022  df-ms 23023 This theorem is referenced by:  ngptgp  23338  nlmvscnlem2  23387
 Copyright terms: Public domain W3C validator