MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxpsval 24567
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a (𝜑𝐴𝑋)
tmsxpsval.b (𝜑𝐵𝑌)
tmsxpsval.c (𝜑𝐶𝑋)
tmsxpsval.d (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem tmsxpsval
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2 eqid 2735 . . 3 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3 eqid 2735 . . 3 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4 tmsxps.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2735 . . . . 5 (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
65tmsxms 24515 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8 tmsxps.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9 eqid 2735 . . . . 5 (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
109tmsxms 24515 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12 tmsxps.p . . 3 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
13 eqid 2735 . . 3 ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))
14 eqid 2735 . . 3 ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
155tmsds 24513 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
164, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
175tmsbas 24512 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
184, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
1918fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
204, 16, 193eltr3d 2853 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
21 ssid 4018 . . . 4 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))
22 xmetres2 24387 . . . 4 (((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
2320, 21, 22sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
249tmsds 24513 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
258, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
269tmsbas 24512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
278, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
2827fveq2d 6911 . . . . 5 (𝜑 → (∞Met‘𝑌) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
298, 25, 283eltr3d 2853 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
30 ssid 4018 . . . 4 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))
31 xmetres2 24387 . . . 4 (((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
3229, 30, 31sylancl 586 . . 3 (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
33 tmsxpsval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
3433, 18eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
35 tmsxpsval.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑌)
3635, 27eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
37 tmsxpsval.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3837, 18eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
39 tmsxpsval.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑌)
4039, 27eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
411, 2, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 23, 32, 34, 36, 38, 40xpsdsval 24407 . 2 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ))
4234, 38ovresd 7600 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
4316oveqd 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
4442, 43eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴𝑀𝐶))
4536, 40ovresd 7600 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
4625oveqd 7448 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
4745, 46eqtr4d 2778 . . . 4 (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵𝑁𝐷))
4844, 47preq12d 4746 . . 3 (𝜑 → {(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)} = {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)})
4948supeq1d 9484 . 2 (𝜑 → sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
5041, 49eqtrd 2775 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963  {cpr 4633  cop 4637   × cxp 5687  cres 5691  cfv 6563  (class class class)co 7431  supcsup 9478  *cxr 11292   < clt 11293  Basecbs 17245  distcds 17307   ×s cxps 17553  ∞Metcxmet 21367  ∞MetSpcxms 24343  toMetSpctms 24345
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-xms 24346  df-tms 24348
This theorem is referenced by:  tmsxpsval2  24568
  Copyright terms: Public domain W3C validator