Theorem tmsxpsval 23894

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
tmsxpsval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem tmsxpsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4		tmsxps.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
6	5	tmsxms 23842	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8		tmsxps.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
10	9	tmsxms 23842	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12		tmsxps.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
15	5	tmsds 23840	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
16	4, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
17	5	tmsbas 23839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
18	4, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
19	18	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
20	4, 16, 19	3eltr3d 2852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
21		ssid 3966	. . . 4 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))
22		xmetres2 23714	. . . 4 ⊢ (((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
24	9	tmsds 23840	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
25	8, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
26	9	tmsbas 23839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
27	8, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
28	27	fveq2d 6846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑌) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
29	8, 25, 28	3eltr3d 2852	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
30		ssid 3966	. . . 4 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))
31		xmetres2 23714	. . . 4 ⊢ (((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
32	29, 30, 31	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
33		tmsxpsval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	33, 18	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
35		tmsxpsval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
36	35, 27	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
37		tmsxpsval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	37, 18	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
39		tmsxpsval.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
40	39, 27	eleqtrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
41	1, 2, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 23, 32, 34, 36, 38, 40	xpsdsval 23734	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ))
42	34, 38	ovresd 7521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
43	16	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
44	42, 43	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴𝑀𝐶))
45	36, 40	ovresd 7521	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
46	25	oveqd 7374	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
47	45, 46	eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵𝑁𝐷))
48	44, 47	preq12d 4702	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)} = {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)})
49	48	supeq1d 9382	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
50	41, 49	eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3910  {cpr 4588  ⟨cop 4592   × cxp 5631   ↾ cres 5635  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  supcsup 9376  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189  Basecbs 17083  distcds 17142   ×_s cxps 17388  ∞Metcxmet 20781  ∞MetSpcxms 23670  toMetSpctms 23672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-xms 23673  df-tms 23675

This theorem is referenced by:  tmsxpsval2  23895