MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tmsxpsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tmsxpsval 24268
Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tmsxps.p 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a (𝜑𝐴𝑋)
tmsxpsval.b (𝜑𝐵𝑌)
tmsxpsval.c (𝜑𝐶𝑋)
tmsxpsval.d (𝜑𝐷𝑌)
Assertion
Ref Expression
tmsxpsval (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem tmsxpsval
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2 eqid 2731 . . 3 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3 eqid 2731 . . 3 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4 tmsxps.1 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 eqid 2731 . . . . 5 (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
65tmsxms 24216 . . . 4 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
74, 6syl 17 . . 3 (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8 tmsxps.2 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9 eqid 2731 . . . . 5 (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
109tmsxms 24216 . . . 4 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
118, 10syl 17 . . 3 (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12 tmsxps.p . . 3 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
13 eqid 2731 . . 3 ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))
14 eqid 2731 . . 3 ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
155tmsds 24214 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
164, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
175tmsbas 24213 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
184, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
1918fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
204, 16, 193eltr3d 2846 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
21 ssid 4004 . . . 4 (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))
22 xmetres2 24088 . . . 4 (((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
2320, 21, 22sylancl 585 . . 3 (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
249tmsds 24214 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
258, 24syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
269tmsbas 24213 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
278, 26syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
2827fveq2d 6895 . . . . 5 (𝜑 → (∞Met‘𝑌) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
298, 25, 283eltr3d 2846 . . . 4 (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
30 ssid 4004 . . . 4 (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))
31 xmetres2 24088 . . . 4 (((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
3229, 30, 31sylancl 585 . . 3 (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
33 tmsxpsval.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑋)
3433, 18eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
35 tmsxpsval.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑌)
3635, 27eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
37 tmsxpsval.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑋)
3837, 18eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
39 tmsxpsval.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑌)
4039, 27eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
411, 2, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 23, 32, 34, 36, 38, 40xpsdsval 24108 . 2 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ))
4234, 38ovresd 7578 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
4316oveqd 7429 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
4442, 43eqtr4d 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴𝑀𝐶))
4536, 40ovresd 7578 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
4625oveqd 7429 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
4745, 46eqtr4d 2774 . . . 4 (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵𝑁𝐷))
4844, 47preq12d 4745 . . 3 (𝜑 → {(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)} = {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)})
4948supeq1d 9445 . 2 (𝜑 → sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
5041, 49eqtrd 2771 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝑃𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2105  wss 3948  {cpr 4630  cop 4634   × cxp 5674  cres 5678  cfv 6543  (class class class)co 7412  supcsup 9439  *cxr 11252   < clt 11253  Basecbs 17149  distcds 17211   ×s cxps 17457  ∞Metcxmet 21130  ∞MetSpcxms 24044  toMetSpctms 24046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-hash 14296  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-prds 17398  df-xrs 17453  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707  df-mulg 18988  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-xms 24047  df-tms 24049
This theorem is referenced by:  tmsxpsval2  24269
  Copyright terms: Public domain W3C validator