Theorem tmsxpsval 24433

Description: Value of the product of two metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tmsxps.p	⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
tmsxps.1	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
tmsxps.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
tmsxpsval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
tmsxpsval.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
tmsxpsval.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
tmsxpsval	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem tmsxpsval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)) = ((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁))
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) = (Base‘(toMetSp‘𝑀))
3		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) = (Base‘(toMetSp‘𝑁))
4		tmsxps.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋))
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (toMetSp‘𝑀) = (toMetSp‘𝑀)
6	5	tmsxms 24381	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
7	4, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑀) ∈ ∞MetSp)
8		tmsxps.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌))
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (toMetSp‘𝑁) = (toMetSp‘𝑁)
10	9	tmsxms 24381	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (toMetSp‘𝑁) ∈ ∞MetSp)
12		tmsxps.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (dist‘((toMetSp‘𝑀) ×s (toMetSp‘𝑁)))
13		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))
14		eqid 2730	. . 3 ⊢ ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) = ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))
15	5	tmsds 24379	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
16	4, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 = (dist‘(toMetSp‘𝑀)))
17	5	tmsbas 24378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
18	4, 17	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
19	18	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑋) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
20	4, 16, 19	3eltr3d 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
21		ssid 3972	. . . 4 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))
22		xmetres2 24256	. . . 4 ⊢ (((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑀)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑀))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
23	20, 21, 22	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑀))))
24	9	tmsds 24379	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
25	8, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (dist‘(toMetSp‘𝑁)))
26	9	tmsbas 24378	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
27	8, 26	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
28	27	fveq2d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∞Met‘𝑌) = (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
29	8, 25, 28	3eltr3d 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
30		ssid 3972	. . . 4 ⊢ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))
31		xmetres2 24256	. . . 4 ⊢ (((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))) ∧ (Base‘(toMetSp‘𝑁)) ⊆ (Base‘(toMetSp‘𝑁))) → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
32	29, 30, 31	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁)))) ∈ (∞Met‘(Base‘(toMetSp‘𝑁))))
33		tmsxpsval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
34	33, 18	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
35		tmsxpsval.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
36	35, 27	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
37		tmsxpsval.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
38	37, 18	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑀)))
39		tmsxpsval.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
40	39, 27	eleqtrd 2831	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (Base‘(toMetSp‘𝑁)))
41	1, 2, 3, 7, 11, 12, 13, 14, 23, 32, 34, 36, 38, 40	xpsdsval 24276	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ))
42	34, 38	ovresd 7559	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
43	16	oveqd 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝑀𝐶) = (𝐴(dist‘(toMetSp‘𝑀))𝐶))
44	42, 43	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶) = (𝐴𝑀𝐶))
45	36, 40	ovresd 7559	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
46	25	oveqd 7407	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵𝑁𝐷) = (𝐵(dist‘(toMetSp‘𝑁))𝐷))
47	45, 46	eqtr4d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷) = (𝐵𝑁𝐷))
48	44, 47	preq12d 4708	. . 3 ⊢ (𝜑 → {(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)} = {(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)})
49	48	supeq1d 9404	. 2 ⊢ (𝜑 → sup({(𝐴((dist‘(toMetSp‘𝑀)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑀)) × (Base‘(toMetSp‘𝑀))))𝐶), (𝐵((dist‘(toMetSp‘𝑁)) ↾ ((Base‘(toMetSp‘𝑁)) × (Base‘(toMetSp‘𝑁))))𝐷)}, ℝ*, < ) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))
50	41, 49	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩𝑃⟨𝐶, 𝐷⟩) = sup({(𝐴𝑀𝐶), (𝐵𝑁𝐷)}, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3917  {cpr 4594  ⟨cop 4598   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  supcsup 9398  ℝ^*cxr 11214   < clt 11215  Basecbs 17186  distcds 17236   ×_s cxps 17476  ∞Metcxmet 21256  ∞MetSpcxms 24212  toMetSpctms 24214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-xms 24215  df-tms 24217

This theorem is referenced by:  tmsxpsval2  24434