Theorem padd12N 40332

Description: Commutative/associative law for projective subspace sum. (Contributed by NM, 14-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
paddass.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
paddass.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
padd12N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))

Proof of Theorem padd12N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39856	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
3		simpr1 1201	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
4		simpr2 1202	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		paddass.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		paddass.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
7	5, 6	paddcom 40306	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
8	2, 3, 4, 7	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
9	8	oveq1d 7378	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍))
10	5, 6	paddass 40331	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
11		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
12		simpr3 1203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
13	5, 6	paddass 40331	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))
14	11, 4, 3, 12, 13	syl13anc 1380	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑌 + 𝑋) + 𝑍) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))
15	9, 10, 14	3eqtr3d 2783	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)) = (𝑌 + (𝑋 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Latclat 18395  Atomscatm 39756  HLchlt 39843  +_𝑃cpadd 40288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-lat 18396  df-clat 18463  df-oposet 39669  df-ol 39671  df-oml 39672  df-covers 39759  df-ats 39760  df-atl 39791  df-cvlat 39815  df-hlat 39844  df-padd 40289

This theorem is referenced by:  padd4N  40333  pmodl42N  40344