Theorem pmodN 37890

Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmodN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Proof of Theorem pmodN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4138	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2		hllat 37403	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr2 1193	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		inss2 4166	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
6		simpr3 1194	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	5, 6	sstrid 3934	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
8		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddcom 37853	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
12	11	ineq2d 4149	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)))
13		incom 4138	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
14	13	oveq2i 7306	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))
15		inss2 4166	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
16	15, 4	sstrid 3934	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴)
17	8, 9	paddcom 37853	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
18	3, 16, 7, 17	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
19		simpr1 1192	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
20	7, 4, 19	3jca 1126	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
21		inss1 4165	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋
22		pmod.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
23	8, 22, 9	pmod1i 37888	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))))
24	21, 23	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
25	20, 24	syldan 590	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
26	14, 18, 25	3eqtr4a 2799	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
27	1, 12, 26	3eqtr4a 2799	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Latclat 18177  Atomscatm 37303  HLchlt 37390  PSubSpcpsubsp 37536  +_𝑃cpadd 37835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-id 5491  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-proset 18041  df-poset 18059  df-plt 18076  df-lub 18092  df-glb 18093  df-join 18094  df-meet 18095  df-p0 18171  df-lat 18178  df-covers 37306  df-ats 37307  df-atl 37338  df-cvlat 37362  df-hlat 37391  df-psubsp 37543  df-padd 37836

This theorem is referenced by: (None)