Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pmodN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmodN 37487
Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p + = (+𝑃𝐾)
Assertion
Ref Expression
pmodN ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)))

Proof of Theorem pmodN
StepHypRef Expression
1 incom 4091 . 2 (𝑋 ∩ ((𝑋𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2 hllat 37000 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
32adantr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simpr2 1196 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑌𝐴)
5 inss2 4120 . . . . 5 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑍
6 simpr3 1197 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑍𝐴)
75, 6sstrid 3888 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴)
8 pmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 pmod.p . . . . 5 + = (+𝑃𝐾)
108, 9paddcom 37450 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐴 ∧ (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + 𝑌))
113, 4, 7, 10syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑌 + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + 𝑌))
1211ineq2d 4103 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋𝑍) + 𝑌)))
13 incom 4091 . . . 4 (𝑋𝑌) = (𝑌𝑋)
1413oveq2i 7181 . . 3 ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋))
15 inss2 4120 . . . . 5 (𝑋𝑌) ⊆ 𝑌
1615, 4sstrid 3888 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴)
178, 9paddcom 37450 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)))
183, 16, 7, 17syl3anc 1372 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = ((𝑋𝑍) + (𝑋𝑌)))
19 simpr1 1195 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → 𝑋𝑆)
207, 4, 193jca 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆))
21 inss1 4119 . . . . 5 (𝑋𝑍) ⊆ 𝑋
22 pmod.s . . . . . 6 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
238, 22, 9pmod1i 37485 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → ((𝑋𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋))))
2421, 23mpi 20 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋𝑍) ⊆ 𝐴𝑌𝐴𝑋𝑆)) → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋)))
2520, 24syldan 594 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋𝑍) + (𝑌𝑋)))
2614, 18, 253eqtr4a 2799 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)) = (((𝑋𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
271, 12, 263eqtr4a 2799 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑆𝑌𝐴𝑍𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋𝑍))) = ((𝑋𝑌) + (𝑋𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  cin 3842  wss 3843  cfv 6339  (class class class)co 7170  Latclat 17771  Atomscatm 36900  HLchlt 36987  PSubSpcpsubsp 37133  +𝑃cpadd 37432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5429  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-proset 17654  df-poset 17672  df-plt 17684  df-lub 17700  df-glb 17701  df-join 17702  df-meet 17703  df-p0 17765  df-lat 17772  df-covers 36903  df-ats 36904  df-atl 36935  df-cvlat 36959  df-hlat 36988  df-psubsp 37140  df-padd 37433
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator