Theorem pmodN 39833

Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmodN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Proof of Theorem pmodN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4217	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2		hllat 39345	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr2 1194	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		inss2 4246	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
6		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	5, 6	sstrid 4007	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
8		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddcom 39796	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
12	11	ineq2d 4228	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)))
13		incom 4217	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
14	13	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))
15		inss2 4246	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
16	15, 4	sstrid 4007	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴)
17	8, 9	paddcom 39796	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
18	3, 16, 7, 17	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
19		simpr1 1193	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
20	7, 4, 19	3jca 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
21		inss1 4245	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋
22		pmod.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
23	8, 22, 9	pmod1i 39831	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))))
24	21, 23	mpi 20	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
25	20, 24	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
26	14, 18, 25	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
27	1, 12, 26	3eqtr4a 2801	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  PSubSpcpsubsp 39479  +_𝑃cpadd 39778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-padd 39779

This theorem is referenced by: (None)