Theorem pmodN 40723

Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmodN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Proof of Theorem pmodN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4155	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2		hllat 40236	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		inss2 4183	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
6		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	5, 6	sstrid 3942	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
8		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddcom 40686	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
12	11	ineq2d 4166	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)))
13		incom 4155	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
14	13	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))
15		inss2 4183	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
16	15, 4	sstrid 3942	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴)
17	8, 9	paddcom 40686	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
18	3, 16, 7, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
19		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
20	7, 4, 19	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
21		inss1 4182	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋
22		pmod.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
23	8, 22, 9	pmod1i 40721	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))))
24	21, 23	mpi 21	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
25	20, 24	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
26	14, 18, 25	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
27	1, 12, 26	3eqtr4a 2821	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Latclat 18519  Atomscatm 40136  HLchlt 40223  PSubSpcpsubsp 40369  +_𝑃cpadd 40668

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-proset 18382  df-poset 18401  df-plt 18416  df-lub 18432  df-glb 18433  df-join 18434  df-meet 18435  df-p0 18511  df-lat 18520  df-covers 40139  df-ats 40140  df-atl 40171  df-cvlat 40195  df-hlat 40224  df-psubsp 40376  df-padd 40669

This theorem is used by: (None)