Theorem pmodN 40605

Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmodN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Proof of Theorem pmodN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4163	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2		hllat 40118	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr2 1214	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		inss2 4191	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
6		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	5, 6	sstrid 3949	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
8		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddcom 40568	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
12	11	ineq2d 4174	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)))
13		incom 4163	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
14	13	oveq2i 7423	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))
15		inss2 4191	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
16	15, 4	sstrid 3949	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴)
17	8, 9	paddcom 40568	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
18	3, 16, 7, 17	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
19		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
20	7, 4, 19	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
21		inss1 4190	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋
22		pmod.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
23	8, 22, 9	pmod1i 40603	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))))
24	21, 23	mpi 21	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
25	20, 24	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
26	14, 18, 25	3eqtr4a 2824	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
27	1, 12, 26	3eqtr4a 2824	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Latclat 18488  Atomscatm 40018  HLchlt 40105  PSubSpcpsubsp 40251  +_𝑃cpadd 40550

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-lat 18489  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-psubsp 40258  df-padd 40551

This theorem is referenced by: (None)