Theorem pmodN 40548

Description: The modular law for projective subspaces. (Contributed by NM, 26-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pmod.s	⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
pmod.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pmodN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Proof of Theorem pmodN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 4170	. 2 ⊢ (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋)
2		hllat 40061	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
3	2	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
4		simpr2 1212	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
5		inss2 4198	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑍
6		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑍 ⊆ 𝐴)
7	5, 6	sstrid 3956	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴)
8		pmod.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		pmod.p	. . . . 5 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
10	8, 9	paddcom 40511	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌))
12	11	ineq2d 4181	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = (𝑋 ∩ ((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌)))
13		incom 4170	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) = (𝑌 ∩ 𝑋)
14	13	oveq2i 7422	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))
15		inss2 4198	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝑌
16	15, 4	sstrid 3956	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴)
17	8, 9	paddcom 40511	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∩ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
18	3, 16, 7, 17	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑋 ∩ 𝑌)))
19		simpr1 1211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
20	7, 4, 19	3jca 1144	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
21		inss1 4197	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋
22		pmod.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (PSubSp‘𝐾)
23	8, 22, 9	pmod1i 40546	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝑋 → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋))))
24	21, 23	mpi 21	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑋 ∩ 𝑍) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
25	20, 24	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋) = ((𝑋 ∩ 𝑍) + (𝑌 ∩ 𝑋)))
26	14, 18, 25	3eqtr4a 2830	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)) = (((𝑋 ∩ 𝑍) + 𝑌) ∩ 𝑋))
27	1, 12, 26	3eqtr4a 2830	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑍 ⊆ 𝐴)) → (𝑋 ∩ (𝑌 + (𝑋 ∩ 𝑍))) = ((𝑋 ∩ 𝑌) + (𝑋 ∩ 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∩ cin 3912   ⊆ wss 3913  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Latclat 18487  Atomscatm 39961  HLchlt 40048  PSubSpcpsubsp 40194  +_𝑃cpadd 40493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-proset 18350  df-poset 18369  df-plt 18384  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-p0 18479  df-lat 18488  df-covers 39964  df-ats 39965  df-atl 39996  df-cvlat 40020  df-hlat 40049  df-psubsp 40201  df-padd 40494

This theorem is referenced by: (None)