Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0bN 39396
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pcl0b.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pcl0b.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pcl0bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… ↔ 𝑃 = βˆ…))

Proof of Theorem pcl0bN
StepHypRef Expression
1 pcl0b.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 pcl0b.c . . . . 5 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
31, 2pclssidN 39368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑃 βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘ƒ))
4 eqimss 4038 . . . 4 ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) βŠ† βˆ…)
53, 4sylan9ss 3993 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…) β†’ 𝑃 βŠ† βˆ…)
6 ss0 4399 . . 3 (𝑃 βŠ† βˆ… β†’ 𝑃 = βˆ…)
75, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…) β†’ 𝑃 = βˆ…)
8 fveq2 6897 . . . 4 (𝑃 = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = (π‘ˆβ€˜βˆ…))
92pcl0N 39395 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)
108, 9sylan9eqr 2790 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…)
1110adantlr 714 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑃 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…)
127, 11impbida 800 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… ↔ 𝑃 = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323  β€˜cfv 6548  Atomscatm 38735  HLchlt 38822  PClcpclN 39360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-pclN 39361  df-polarityN 39376
This theorem is referenced by:  pclfinclN  39423
  Copyright terms: Public domain W3C validator