Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0bN Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pcl0bN 39305
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pcl0b.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pcl0b.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pcl0bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… ↔ 𝑃 = βˆ…))
Proof of Theorem pcl0bN
StepHypRef Expression
1 pcl0b.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 pcl0b.c . . . . 5 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
31, 2pclssidN 39277 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑃 βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘ƒ))
4 eqimss 4035 . . . 4 ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) βŠ† βˆ…)
53, 4sylan9ss 3990 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…) β†’ 𝑃 βŠ† βˆ…)
6 ss0 4393 . . 3 (𝑃 βŠ† βˆ… β†’ 𝑃 = βˆ…)
75, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…) β†’ 𝑃 = βˆ…)
8 fveq2 6884 . . . 4 (𝑃 = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = (π‘ˆβ€˜βˆ…))
92pcl0N 39304 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)
108, 9sylan9eqr 2788 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…)
1110adantlr 712 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑃 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…)
127, 11impbida 798 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… ↔ 𝑃 = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317  β€˜cfv 6536  Atomscatm 38644  HLchlt 38731  PClcpclN 39269
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-pclN 39270  df-polarityN 39285
This theorem is referenced by:  pclfinclN  39332
  Copyright terms: Public domain W3C validator