Theorem pcl0bN 41246

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pcl0b.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pcl0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
3	1, 2	pclssidN 41218	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ⊆ (𝑈‘𝑃))
4		eqimss 3971	. . . 4 ⊢ ((𝑈‘𝑃) = ∅ → (𝑈‘𝑃) ⊆ ∅)
5	3, 4	sylan9ss 3926	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 ⊆ ∅)
6		ss0 4355	. . 3 ⊢ (𝑃 ⊆ ∅ → 𝑃 = ∅)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 = ∅)
8		fveq2 6916	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑈‘𝑃) = (𝑈‘∅))
9	2	pcl0N 41245	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	sylan9eqr 2820	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
11	10	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
12	7, 11	impbida 813	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ‘cfv 6566  Atomscatm 40586  HLchlt 40673  PClcpclN 41210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-proset 18518  df-poset 18537  df-plt 18552  df-lub 18568  df-glb 18569  df-join 18570  df-meet 18571  df-p0 18647  df-p1 18648  df-lat 18656  df-clat 18723  df-oposet 40499  df-ol 40501  df-oml 40502  df-covers 40589  df-ats 40590  df-atl 40621  df-cvlat 40645  df-hlat 40674  df-psubsp 40826  df-pmap 40827  df-pclN 41211  df-polarityN 41226

This theorem is used by:  pclfinclN  41273