Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pcl0bN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcl0bN 38389
Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pcl0b.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
pcl0b.c π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
pcl0bN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… ↔ 𝑃 = βˆ…))

Proof of Theorem pcl0bN
StepHypRef Expression
1 pcl0b.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2 pcl0b.c . . . . 5 π‘ˆ = (PClβ€˜πΎ)
31, 2pclssidN 38361 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ 𝑃 βŠ† (π‘ˆβ€˜π‘ƒ))
4 eqimss 4001 . . . 4 ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) βŠ† βˆ…)
53, 4sylan9ss 3958 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…) β†’ 𝑃 βŠ† βˆ…)
6 ss0 4359 . . 3 (𝑃 βŠ† βˆ… β†’ 𝑃 = βˆ…)
75, 6syl 17 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…) β†’ 𝑃 = βˆ…)
8 fveq2 6843 . . . 4 (𝑃 = βˆ… β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = (π‘ˆβ€˜βˆ…))
92pcl0N 38388 . . . 4 (𝐾 ∈ HL β†’ (π‘ˆβ€˜βˆ…) = βˆ…)
108, 9sylan9eqr 2799 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…)
1110adantlr 714 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) ∧ 𝑃 = βˆ…) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ…)
127, 11impbida 800 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 βŠ† 𝐴) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ƒ) = βˆ… ↔ 𝑃 = βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  β€˜cfv 6497  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  PClcpclN 38353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-p1 18316  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-pclN 38354  df-polarityN 38369
This theorem is referenced by:  pclfinclN  38416
  Copyright terms: Public domain W3C validator