Theorem pcl0bN 40960

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pcl0b.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pcl0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
3	1, 2	pclssidN 40932	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ⊆ (𝑈‘𝑃))
4		eqimss 3989	. . . 4 ⊢ ((𝑈‘𝑃) = ∅ → (𝑈‘𝑃) ⊆ ∅)
5	3, 4	sylan9ss 3944	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 ⊆ ∅)
6		ss0 4352	. . 3 ⊢ (𝑃 ⊆ ∅ → 𝑃 = ∅)
7	5, 6	syl 18	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 = ∅)
8		fveq2 6883	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑈‘𝑃) = (𝑈‘∅))
9	2	pcl0N 40959	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	sylan9eqr 2818	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
11	10	adantlr 728	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
12	7, 11	impbida 813	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6537  Atomscatm 40300  HLchlt 40387  PClcpclN 40924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-proset 18461  df-poset 18480  df-plt 18495  df-lub 18511  df-glb 18512  df-join 18513  df-meet 18514  df-p0 18590  df-p1 18591  df-lat 18599  df-clat 18666  df-oposet 40213  df-ol 40215  df-oml 40216  df-covers 40303  df-ats 40304  df-atl 40335  df-cvlat 40359  df-hlat 40388  df-psubsp 40540  df-pmap 40541  df-pclN 40925  df-polarityN 40940

This theorem is used by:  pclfinclN  40987