Theorem pcl0bN 39288

Description: The projective subspace closure of the empty subspace. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pcl0b.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pcl0b.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pcl0bN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Proof of Theorem pcl0bN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pcl0b.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		pcl0b.c	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
3	1, 2	pclssidN 39260	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → 𝑃 ⊆ (𝑈‘𝑃))
4		eqimss 4033	. . . 4 ⊢ ((𝑈‘𝑃) = ∅ → (𝑈‘𝑃) ⊆ ∅)
5	3, 4	sylan9ss 3988	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 ⊆ ∅)
6		ss0 4391	. . 3 ⊢ (𝑃 ⊆ ∅ → 𝑃 = ∅)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑃) = ∅) → 𝑃 = ∅)
8		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ∅ → (𝑈‘𝑃) = (𝑈‘∅))
9	2	pcl0N 39287	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
10	8, 9	sylan9eqr 2786	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
11	10	adantlr 712	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑃 = ∅) → (𝑈‘𝑃) = ∅)
12	7, 11	impbida 798	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑃) = ∅ ↔ 𝑃 = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3941  ∅c0 4315  ‘cfv 6534  Atomscatm 38627  HLchlt 38714  PClcpclN 39252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38540  df-ol 38542  df-oml 38543  df-covers 38630  df-ats 38631  df-atl 38662  df-cvlat 38686  df-hlat 38715  df-psubsp 38868  df-pmap 38869  df-pclN 39253  df-polarityN 39268

This theorem is referenced by:  pclfinclN  39315