Theorem sspmaplubN 40030

Description: A set of atoms is a subset of the projective map of its LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
sspmaplub.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m	⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
sspmaplubN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Proof of Theorem sspmaplubN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspmaplub.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (⊥𝑃‘𝐾) = (⊥𝑃‘𝐾)
3	1, 2	2polssN 40020	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)))
4		sspmaplub.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
5		sspmaplub.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (pmap‘𝐾)
6	4, 1, 5, 2	2polvalN 40019	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → ((⊥𝑃‘𝐾)‘((⊥𝑃‘𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))
7	3, 6	sseqtrd 3966	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ⊆ 𝐴) → 𝑆 ⊆ (𝑀‘(𝑈‘𝑆)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6487  lubclub 18221  Atomscatm 39368  HLchlt 39455  pmapcpmap 39602  ⊥_𝑃cpolN 40007

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-proset 18206  df-poset 18225  df-plt 18240  df-lub 18256  df-glb 18257  df-join 18258  df-meet 18259  df-p0 18335  df-p1 18336  df-lat 18344  df-clat 18411  df-oposet 39281  df-ol 39283  df-oml 39284  df-covers 39371  df-ats 39372  df-atl 39403  df-cvlat 39427  df-hlat 39456  df-pmap 39609  df-polarityN 40008

This theorem is referenced by: (None)