Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sspmaplubN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sspmaplubN 37103
Description: A set of atoms is a subset of the projective map of its LUB. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
sspmaplub.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
sspmaplub.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
sspmaplub.m 𝑀 = (pmap‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
sspmaplubN ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ⊆ (𝑀‘(𝑈𝑆)))

Proof of Theorem sspmaplubN
StepHypRef Expression
1 sspmaplub.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2 eqid 2821 . . 3 (⊥𝑃𝐾) = (⊥𝑃𝐾)
31, 22polssN 37093 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ⊆ ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)))
4 sspmaplub.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
5 sspmaplub.m . . 3 𝑀 = (pmap‘𝐾)
64, 1, 5, 22polvalN 37092 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → ((⊥𝑃𝐾)‘((⊥𝑃𝐾)‘𝑆)) = (𝑀‘(𝑈𝑆)))
73, 6sseqtrd 3983 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴) → 𝑆 ⊆ (𝑀‘(𝑈𝑆)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3910  cfv 6328  lubclub 17531  Atomscatm 36441  HLchlt 36528  pmapcpmap 36675  𝑃cpolN 37080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-riotaBAD 36131
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-id 5433  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-undef 7914  df-proset 17517  df-poset 17535  df-plt 17547  df-lub 17563  df-glb 17564  df-join 17565  df-meet 17566  df-p0 17628  df-p1 17629  df-lat 17635  df-clat 17697  df-oposet 36354  df-ol 36356  df-oml 36357  df-covers 36444  df-ats 36445  df-atl 36476  df-cvlat 36500  df-hlat 36529  df-pmap 36682  df-polarityN 37081
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator