Theorem pssinf 9253

Description: A set equinumerous to a proper subset of itself is infinite. Corollary 6D(a) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
pssinf	⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem pssinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		php3 9209	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊊ 𝐵) → 𝐴 ≺ 𝐵)
2	1	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ Fin → (𝐴 ⊊ 𝐵 → 𝐴 ≺ 𝐵))
3		sdomnen 8974	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 𝐵 → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵)
4	2, 3	syl6com 37	. . 3 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → ¬ 𝐴 ≈ 𝐵))
5	4	con2d 134	. 2 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 → (𝐴 ≈ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   ⊊ wpss 3942   class class class wbr 5139   ≈ cen 8933   ≺ csdm 8935  Fincfn 8936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418  ax-un 7719

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-om 7850  df-1o 8462  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940

This theorem is referenced by:  fisseneq  9254  ominf  9255  ominfOLD  9256