MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pssinf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pssinf 8410
Description: A set equinumerous to a proper subset of itself is infinite. Corollary 6D(a) of [Enderton] p. 136. (Contributed by NM, 2-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
pssinf ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem pssinf
StepHypRef Expression
1 php3 8386 . . . . 5 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
21ex 402 . . . 4 (𝐵 ∈ Fin → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
3 sdomnen 8222 . . . 4 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐴𝐵)
42, 3syl6com 37 . . 3 (𝐴𝐵 → (𝐵 ∈ Fin → ¬ 𝐴𝐵))
54con2d 132 . 2 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
65imp 396 1 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 385  wcel 2157  wpss 3768   class class class wbr 4841  cen 8190  csdm 8192  Fincfn 8193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-om 7298  df-er 7980  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197
This theorem is referenced by:  fisseneq  8411  ominf  8412
  Copyright terms: Public domain W3C validator