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Theorem php3 8353
Description: Corollary of Pigeonhole Principle. If 𝐴 is finite and 𝐵 is a proper subset of 𝐴, the 𝐵 is strictly less numerous than 𝐴. Stronger version of Corollary 6C of [Enderton] p. 135. (Contributed by NM, 22-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
php3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem php3
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfi 8184 . . 3 (𝐴 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥)
2 relen 8165 . . . . . . . . 9 Rel ≈
32brrelex1i 5328 . . . . . . . 8 (𝐴𝑥𝐴 ∈ V)
4 pssss 3863 . . . . . . . 8 (𝐵𝐴𝐵𝐴)
5 ssdomg 8206 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ V → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
65imp 395 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
73, 4, 6syl2an 589 . . . . . . 7 ((𝐴𝑥𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
87adantll 705 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
9 bren 8169 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑥 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥)
10 imass2 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝐴 → (𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴))
114, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵𝐴 → (𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴))
1211adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴))
13 pssnel 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵𝐴 → ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
14 eldif 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵))
15 f1ofn 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑓 Fn 𝐴)
16 difss 3899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴
17 fnfvima 6689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴𝑦 ∈ (𝐴𝐵)) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵)))
18173expia 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑓 Fn 𝐴 ∧ (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴) → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵))))
1915, 16, 18sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵))))
20 dff1o3 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 ↔ (𝑓:𝐴onto𝑥 ∧ Fun 𝑓))
2120simprbi 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → Fun 𝑓)
22 imadif 6151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝐴𝐵)) = ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑓 “ (𝐴𝐵)) = ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)))
2423eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝑦) ∈ (𝑓 “ (𝐴𝐵)) ↔ (𝑓𝑦) ∈ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵))))
2519, 24sylibd 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → (𝑓𝑦) ∈ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵))))
26 n0i 4084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑓𝑦) ∈ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
2725, 26syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅))
2814, 27syl5bir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ((𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅))
2928exlimdv 2028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅))
3029imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 ∧ ∃𝑦(𝑦𝐴 ∧ ¬ 𝑦𝐵)) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
3113, 30sylan2 586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → ¬ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
32 ssdif0 4106 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝐴) ⊆ (𝑓𝐵) ↔ ((𝑓𝐴) ∖ (𝑓𝐵)) = ∅)
3331, 32sylnibr 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → ¬ (𝑓𝐴) ⊆ (𝑓𝐵))
34 dfpss3 3854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴) ↔ ((𝑓𝐵) ⊆ (𝑓𝐴) ∧ ¬ (𝑓𝐴) ⊆ (𝑓𝐵)))
3512, 33, 34sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴))
36 imadmrn 5658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 “ dom 𝑓) = ran 𝑓
37 f1odm 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → dom 𝑓 = 𝐴)
3837imaeq2d 5648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑓 “ dom 𝑓) = (𝑓𝐴))
39 f1ofo 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑓:𝐴onto𝑥)
40 forn 6301 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓:𝐴onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ran 𝑓 = 𝑥)
4236, 38, 413eqtr3a 2823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝑓𝐴) = 𝑥)
4342psseq2d 3861 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → ((𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴) ↔ (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥))
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → ((𝑓𝐵) ⊊ (𝑓𝐴) ↔ (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥))
4535, 44mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥)
46 php 8351 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓𝐵) ⊊ 𝑥) → ¬ 𝑥 ≈ (𝑓𝐵))
4745, 46sylan2 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴)) → ¬ 𝑥 ≈ (𝑓𝐵))
48 f1of1 6319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝑓:𝐴1-1𝑥)
49 f1ores 6334 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓:𝐴1-1𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
5048, 4, 49syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
51 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑓 ∈ V
5251resex 5620 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝐵) ∈ V
53 f1oeq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑓𝐵) → (𝑦:𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵) ↔ (𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵)))
5452, 53spcev 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵) → ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
55 bren 8169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ≈ (𝑓𝐵) ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵))
5654, 55sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓𝐵):𝐵1-1-onto→(𝑓𝐵) → 𝐵 ≈ (𝑓𝐵))
5750, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → 𝐵 ≈ (𝑓𝐵))
58 entr 8212 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥𝐵𝐵 ≈ (𝑓𝐵)) → 𝑥 ≈ (𝑓𝐵))
5958expcom 402 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐵 ≈ (𝑓𝐵) → (𝑥𝐵𝑥 ≈ (𝑓𝐵)))
6057, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴) → (𝑥𝐵𝑥 ≈ (𝑓𝐵)))
6160adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵𝑥 ≈ (𝑓𝐵)))
6247, 61mtod 189 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥𝐵𝐴)) → ¬ 𝑥𝐵)
6362exp32 411 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ω → (𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝑥𝐵)))
6463exlimdv 2028 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ω → (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝑥𝐵)))
659, 64syl5bi 233 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐵𝐴 → ¬ 𝑥𝐵)))
6665imp31 408 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝑥𝐵)
67 entr 8212 . . . . . . . . . 10 ((𝐵𝐴𝐴𝑥) → 𝐵𝑥)
6867ex 401 . . . . . . . . 9 (𝐵𝐴 → (𝐴𝑥𝐵𝑥))
69 ensym 8209 . . . . . . . . 9 (𝐵𝑥𝑥𝐵)
7068, 69syl6com 37 . . . . . . . 8 (𝐴𝑥 → (𝐵𝐴𝑥𝐵))
7170ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → (𝐵𝐴𝑥𝐵))
7266, 71mtod 189 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐴)
73 brsdom 8183 . . . . . 6 (𝐵𝐴 ↔ (𝐵𝐴 ∧ ¬ 𝐵𝐴))
748, 72, 73sylanbrc 578 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝐴𝑥) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
7574exp31 410 . . . 4 (𝑥 ∈ ω → (𝐴𝑥 → (𝐵𝐴𝐵𝐴)))
7675rexlimiv 3174 . . 3 (∃𝑥 ∈ ω 𝐴𝑥 → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
771, 76sylbi 208 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐵𝐴𝐵𝐴))
7877imp 395 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wex 1874  wcel 2155  wrex 3056  Vcvv 3350  cdif 3729  wss 3732  wpss 3733  c0 4079   class class class wbr 4809  ccnv 5276  dom cdm 5277  ran crn 5278  cres 5279  cima 5280  Fun wfun 6062   Fn wfn 6063  1-1wf1 6065  ontowfo 6066  1-1-ontowf1o 6067  cfv 6068  ωcom 7263  cen 8157  cdom 8158  csdm 8159  Fincfn 8160
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-om 7264  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164
This theorem is referenced by:  pssinf  8377  f1finf1o  8394  findcard3  8410  fofinf1o  8448  ackbij1b  9314  fincssdom  9398  fin23lem25  9399  canthp1lem2  9728  pwfseqlem4  9737  uzindi  12989  symggen  18153  pgpssslw  18293  pgpfaclem2  18748  ppiltx  25194  finminlem  32756  lindsenlbs  33828
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