Theorem fisseneq 9152

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3923	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		pssinf 9151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
3	2	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
4	1, 3	biimtrrid 243	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	expdimp 452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	necon4ad 2944	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
7	6	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3com13 1124	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ⊆ wss 3903   ⊊ wpss 3904   class class class wbr 5092   ≈ cen 8869  Fincfn 8872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876

This theorem is referenced by:  en2eqpr  9901  en2eleq  9902  psgnunilem1  19372  sylow2blem1  19499  fislw  19504  sylow2  19505  cyggenod  19763  ablfac1c  19952  ablfac1eu  19954  fta1blem  26074  vieta1  26218  upgrex  29037  hashpss  32755  fisshasheq  35098  poimirlem26  37636  fiuneneq  43175