Theorem fisseneq 9291

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3967	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		pssinf 9290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
3	2	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
4	1, 3	biimtrrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	expdimp 451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	necon4ad 2949	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
7	6	3impia 1114	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3com13 1121	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930   ⊆ wss 3947   ⊊ wpss 3948   class class class wbr 5153   ≈ cen 8971  Fincfn 8974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1o 8496  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978

This theorem is referenced by:  en1eqsnOLD  9309  en2eqpr  10050  en2eleq  10051  psgnunilem1  19491  sylow2blem1  19618  fislw  19623  sylow2  19624  cyggenod  19882  ablfac1c  20071  ablfac1eu  20073  fta1blem  26198  vieta1  26340  upgrex  29028  fisshasheq  34942  poimirlem26  37347  fiuneneq  42857