MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisseneq 9291
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3967 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 pssinf 9290 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
32expcom 412 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
41, 3biimtrrid 242 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
54expdimp 451 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
65necon4ad 2949 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
763impia 1114 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
873com13 1121 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wss 3947  wpss 3948   class class class wbr 5153  cen 8971  Fincfn 8974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1o 8496  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978
This theorem is referenced by:  en1eqsnOLD  9309  en2eqpr  10050  en2eleq  10051  psgnunilem1  19491  sylow2blem1  19618  fislw  19623  sylow2  19624  cyggenod  19882  ablfac1c  20071  ablfac1eu  20073  fta1blem  26198  vieta1  26340  upgrex  29028  fisshasheq  34942  poimirlem26  37347  fiuneneq  42857
  Copyright terms: Public domain W3C validator