Theorem fisseneq 9034

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		pssinf 9033	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
3	2	expcom 414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
4	1, 3	syl5bir 242	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	expdimp 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	necon4ad 2962	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
7	6	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3com13 1123	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887   ⊊ wpss 3888   class class class wbr 5074   ≈ cen 8730  Fincfn 8733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-om 7713  df-1o 8297  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737

This theorem is referenced by:  en1eqsn  9048  en2eqpr  9763  en2eleq  9764  psgnunilem1  19101  sylow2blem1  19225  fislw  19230  sylow2  19231  cyggenod  19484  ablfac1c  19674  ablfac1eu  19676  fta1blem  25333  vieta1  25472  upgrex  27462  fisshasheq  33073  poimirlem26  35803  fiuneneq  41022