MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisseneq 8565
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3871 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 pssinf 8564 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
32expcom 414 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
41, 3syl5bir 244 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
54expdimp 453 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
65necon4ad 3001 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
763impia 1108 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
873com13 1115 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1078   = wceq 1520  wcel 2079  wne 2982  wss 3854  wpss 3855   class class class wbr 4956  cen 8344  Fincfn 8347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-ral 3108  df-rex 3109  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-br 4957  df-opab 5019  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-om 7428  df-er 8130  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351
This theorem is referenced by:  en1eqsn  8584  en2eqpr  9268  en2eleq  9269  psgnunilem1  18340  sylow2blem1  18463  fislw  18468  sylow2  18469  cyggenod  18714  ablfac1c  18898  ablfac1eu  18900  fta1blem  24433  vieta1  24572  upgrex  26548  fisshasheq  31922  poimirlem26  34395  fiuneneq  39233
  Copyright terms: Public domain W3C validator