MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisseneq 9208
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3934 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 pssinf 9207 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
32expcom 415 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
41, 3biimtrrid 242 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
54expdimp 454 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
65necon4ad 2963 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
763impia 1118 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
873com13 1125 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  wss 3915  wpss 3916   class class class wbr 5110  cen 8887  Fincfn 8890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-om 7808  df-1o 8417  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894
This theorem is referenced by:  en1eqsnOLD  9226  en2eqpr  9950  en2eleq  9951  psgnunilem1  19282  sylow2blem1  19409  fislw  19414  sylow2  19415  cyggenod  19668  ablfac1c  19857  ablfac1eu  19859  fta1blem  25549  vieta1  25688  upgrex  28085  fisshasheq  33745  poimirlem26  36133  fiuneneq  41553
  Copyright terms: Public domain W3C validator