MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisseneq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisseneq 8327
Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
fisseneq ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq
StepHypRef Expression
1 df-pss 3739 . . . . . 6 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴𝐵))
2 pssinf 8326 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
32expcom 398 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
41, 3syl5bir 233 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
54expdimp 440 . . . 4 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
65necon4ad 2962 . . 3 ((𝐴𝐵𝐴𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
763impia 1109 . 2 ((𝐴𝐵𝐴𝐵𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
873com13 1118 1 ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴𝐵𝐴𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wss 3723  wpss 3724   class class class wbr 4786  cen 8106  Fincfn 8109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-om 7213  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113
This theorem is referenced by:  en1eqsn  8346  en2eqpr  9030  en2eleq  9031  psgnunilem1  18120  sylow2blem1  18242  fislw  18247  sylow2  18248  cyggenod  18493  ablfac1c  18678  ablfac1eu  18680  fta1blem  24148  vieta1  24287  upgrex  26208  poimirlem26  33768  fiuneneq  38301
  Copyright terms: Public domain W3C validator