Theorem fisseneq 8380

Description: A finite set is equal to its subset if they are equinumerous. (Contributed by FL, 11-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
fisseneq	⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem fisseneq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pss 3750	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ⊊ 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		pssinf 8379	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ⊊ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin)
3	2	expcom 402	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → (𝐴 ⊊ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
4	1, 3	syl5bir 234	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≈ 𝐵 → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
5	4	expdimp 444	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ Fin))
6	5	necon4ad 2956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐵 ∈ Fin → 𝐴 = 𝐵))
7	6	3impia 1145	. 2 ⊢ ((𝐴 ≈ 𝐵 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ Fin) → 𝐴 = 𝐵)
8	7	3com13 1154	1 ⊢ ((𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 ≈ 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3734   ⊊ wpss 3735   class class class wbr 4811   ≈ cen 8159  Fincfn 8162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-om 7266  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-fin 8166

This theorem is referenced by:  en1eqsn  8399  en2eqpr  9083  en2eleq  9084  psgnunilem1  18179  sylow2blem1  18302  fislw  18307  sylow2  18308  cyggenod  18555  ablfac1c  18740  ablfac1eu  18742  fta1blem  24222  vieta1  24361  upgrex  26267  poimirlem26  33862  fiuneneq  38455