Theorem pwfi2en 43686

Description: Finitely supported indicator functions are equinumerous to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwfi2en.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∣ 𝑦 finSupp ∅}

Assertion

Ref	Expression
pwfi2en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem pwfi2en

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfi2en.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∣ 𝑦 finSupp ∅}
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o}))
3	1, 2	pwfi2f1o 43685	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})):𝑆–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4		ovex 7433	. . . 4 ⊢ (2o ↑m 𝐴) ∈ V
5	1, 4	rabex2 5302	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
6	5	f1oen 8957	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})):𝑆–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7	3, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {crab 3417   ∩ cin 3906  ∅c0 4288  𝒫 cpw 4558  {csn 4585   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5186  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  –1-1-onto→wf1o 6524  (class class class)co 7400  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435   ↑_m cmap 8812   ≈ cen 8928  Fincfn 8931   finSupp cfsupp 9309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-1o 8441  df-2o 8442  df-map 8814  df-en 8932  df-fsupp 9310

This theorem is referenced by:  frlmpwfi  43687