Theorem pwfi2en 43865

Description: Finitely supported indicator functions are equinumerous to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwfi2en.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∣ 𝑦 finSupp ∅}

Assertion

Ref	Expression
pwfi2en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem pwfi2en

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfi2en.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∣ 𝑦 finSupp ∅}
2		eqid 2766	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o}))
3	1, 2	pwfi2f1o 43864	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})):𝑆–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4		ovex 7456	. . . 4 ⊢ (2o ↑m 𝐴) ∈ V
5	1, 4	rabex2 5316	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
6	5	f1oen 8978	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})):𝑆–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7	3, 6	syl 18	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {crab 3419   ∩ cin 3907  ∅c0 4289  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197  ^◡ccnv 5665   “ cima 5669  –1-1-onto→wf1o 6542  (class class class)co 7423  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   ↑_m cmap 8833   ≈ cen 8949  Fincfn 8952   finSupp cfsupp 9331

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-1o 8462  df-2o 8463  df-map 8835  df-en 8953  df-fsupp 9332

This theorem is used by:  frlmpwfi  43866