Theorem pwfi2en 41824

Description: Finitely supported indicator functions are equinumerous to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Revised by AV, 14-Jun-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwfi2en.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∣ 𝑦 finSupp ∅}

Assertion

Ref	Expression
pwfi2en	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑆(𝑦)

Proof of Theorem pwfi2en

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwfi2en.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ (2o ↑m 𝐴) ∣ 𝑦 finSupp ∅}
2		eqid 2732	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o}))
3	1, 2	pwfi2f1o 41823	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})):𝑆–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin))
4		ovex 7438	. . . 4 ⊢ (2o ↑m 𝐴) ∈ V
5	1, 4	rabex2 5333	. . 3 ⊢ 𝑆 ∈ V
6	5	f1oen 8965	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (◡𝑥 “ {1o})):𝑆–1-1-onto→(𝒫 𝐴 ∩ Fin) → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))
7	3, 6	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝑆 ≈ (𝒫 𝐴 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ∩ cin 3946  ∅c0 4321  𝒫 cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  –1-1-onto→wf1o 6539  (class class class)co 7405  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   ↑_m cmap 8816   ≈ cen 8932  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-1o 8462  df-2o 8463  df-map 8818  df-en 8936  df-fsupp 9358

This theorem is referenced by:  frlmpwfi  41825