Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 41597
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
21fvexi 6889 . . . . 5 𝑅 ∈ V
3 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2731 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2731 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2731 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
73, 4, 5, 6frlmbas 21238 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
82, 7mpan 688 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
9 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
108, 9eqtr4di 2789 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
11 eqid 2731 . . . 4 {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12 enrefg 8960 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
13 2nn 12264 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
141, 4znhash 21042 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16 hash2 14344 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
1715, 16eqtr4i 2762 . . . . . 6 (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18 2nn0 12468 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1915, 18eqeltri 2828 . . . . . . . 8 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20 fvex 6888 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
21 hashclb 14297 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
24 2onn 8621 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
25 nnfi 9147 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
27 hashen 14286 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
2823, 26, 27mp2an 690 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
2917, 28mpbi 229 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2o
3029a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
311zncrng 21028 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
32 crngring 20023 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3318, 31, 32mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
344, 5ring0cl 20038 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36 2on0 8461 . . . . . 6 2o ≠ ∅
37 2on 8459 . . . . . . 7 2o ∈ On
38 on0eln0 6406 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4036, 39mpbir 230 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
4140a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2o)
426, 11, 12, 30, 35, 41mapfien2 9383 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4310, 42eqbrtrrd 5162 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411pwfi2en 41596 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45 entr 8982 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4643, 44, 45syl2anc 584 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  {crab 3429  Vcvv 3470  cin 3940  c0 4315  𝒫 cpw 4593   class class class wbr 5138  Oncon0 6350  cfv 6529  (class class class)co 7390  ωcom 7835  2oc2o 8439  m cmap 8800  cen 8916  Fincfn 8919   finSupp cfsupp 9341  cn 12191  2c2 12246  0cn0 12451  chash 14269  Basecbs 17123  0gc0g 17364  Ringcrg 20011  CRingccrg 20012  ℤ/nczn 20980   freeLMod cfrlm 21229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7705  ax-cnex 11145  ax-resscn 11146  ax-1cn 11147  ax-icn 11148  ax-addcl 11149  ax-addrcl 11150  ax-mulcl 11151  ax-mulrcl 11152  ax-mulcom 11153  ax-addass 11154  ax-mulass 11155  ax-distr 11156  ax-i2m1 11157  ax-1ne0 11158  ax-1rid 11159  ax-rnegex 11160  ax-rrecex 11161  ax-cnre 11162  ax-pre-lttri 11163  ax-pre-lttrn 11164  ax-pre-ltadd 11165  ax-pre-mulgt0 11166  ax-pre-sup 11167  ax-addf 11168  ax-mulf 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3430  df-v 3472  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4520  df-pw 4595  df-sn 4620  df-pr 4622  df-tp 4624  df-op 4626  df-uni 4899  df-int 4941  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6286  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6531  df-fn 6532  df-f 6533  df-f1 6534  df-fo 6535  df-f1o 6536  df-fv 6537  df-riota 7346  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7836  df-1st 7954  df-2nd 7955  df-supp 8126  df-tpos 8190  df-frecs 8245  df-wrecs 8276  df-recs 8350  df-rdg 8389  df-1o 8445  df-2o 8446  df-oadd 8449  df-er 8683  df-ec 8685  df-qs 8689  df-map 8802  df-ixp 8872  df-en 8920  df-dom 8921  df-sdom 8922  df-fin 8923  df-fsupp 9342  df-sup 9416  df-inf 9417  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11229  df-mnf 11230  df-xr 11231  df-ltxr 11232  df-le 11233  df-sub 11425  df-neg 11426  df-div 11851  df-nn 12192  df-2 12254  df-3 12255  df-4 12256  df-5 12257  df-6 12258  df-7 12259  df-8 12260  df-9 12261  df-n0 12452  df-z 12538  df-dec 12657  df-uz 12802  df-rp 12954  df-fz 13464  df-fzo 13607  df-fl 13736  df-mod 13814  df-seq 13946  df-hash 14270  df-dvds 16177  df-struct 17059  df-sets 17076  df-slot 17094  df-ndx 17106  df-base 17124  df-ress 17153  df-plusg 17189  df-mulr 17190  df-starv 17191  df-sca 17192  df-vsca 17193  df-ip 17194  df-tset 17195  df-ple 17196  df-ds 17198  df-unif 17199  df-hom 17200  df-cco 17201  df-0g 17366  df-prds 17372  df-pws 17374  df-imas 17433  df-qus 17434  df-mgm 18540  df-sgrp 18589  df-mnd 18600  df-mhm 18644  df-grp 18794  df-minusg 18795  df-sbg 18796  df-mulg 18920  df-subg 18972  df-nsg 18973  df-eqg 18974  df-ghm 19053  df-cmn 19611  df-abl 19612  df-mgp 19944  df-ur 19961  df-ring 20013  df-cring 20014  df-oppr 20099  df-dvdsr 20120  df-rnghom 20198  df-subrg 20305  df-lmod 20417  df-lss 20487  df-lsp 20527  df-sra 20729  df-rgmod 20730  df-lidl 20731  df-rsp 20732  df-2idl 20798  df-cnfld 20874  df-zring 20947  df-zrh 20981  df-zn 20984  df-dsmm 21215  df-frlm 21230
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  41604
  Copyright terms: Public domain W3C validator