Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 43087
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
21fvexi 6921 . . . . 5 𝑅 ∈ V
3 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2735 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2735 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
73, 4, 5, 6frlmbas 21793 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
82, 7mpan 690 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
9 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
108, 9eqtr4di 2793 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
11 eqid 2735 . . . 4 {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12 enrefg 9023 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
13 2nn 12337 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
141, 4znhash 21595 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16 hash2 14441 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
1715, 16eqtr4i 2766 . . . . . 6 (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18 2nn0 12541 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1915, 18eqeltri 2835 . . . . . . . 8 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
21 hashclb 14394 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2319, 22mpbir 231 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
24 2onn 8679 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
25 nnfi 9206 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
27 hashen 14383 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
2823, 26, 27mp2an 692 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
2917, 28mpbi 230 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2o
3029a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
311zncrng 21581 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
32 crngring 20263 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3318, 31, 32mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
344, 5ring0cl 20281 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36 2on0 8521 . . . . . 6 2o ≠ ∅
37 2on 8519 . . . . . . 7 2o ∈ On
38 on0eln0 6442 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4036, 39mpbir 231 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
4140a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2o)
426, 11, 12, 30, 35, 41mapfien2 9447 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4310, 42eqbrtrrd 5172 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411pwfi2en 43086 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45 entr 9045 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4643, 44, 45syl2anc 584 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478  cin 3962  c0 4339  𝒫 cpw 4605   class class class wbr 5148  Oncon0 6386  cfv 6563  (class class class)co 7431  ωcom 7887  2oc2o 8499  m cmap 8865  cen 8981  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  chash 14366  Basecbs 17245  0gc0g 17486  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  ℤ/nczn 21531   freeLMod cfrlm 21784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-hash 14367  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535  df-dsmm 21770  df-frlm 21785
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  43094
  Copyright terms: Public domain W3C validator