Theorem frlmpwfi 40042

Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmpwfi.r	⊢ 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmpwfi	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmpwfi.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2	1	fvexi 6659	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
3		frlmpwfi.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2798	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)}
7	3, 4, 5, 6	frlmbas 20444	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑌))
8	2, 7	mpan 689	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑌))
9		frlmpwfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10	8, 9	eqtr4di 2851	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = 𝐵)
11		eqid 2798	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12		enrefg 8524	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ≈ 𝐼)
13		2nn 11698	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 4	znhash 20250	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16		hash2 13762	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
17	15, 16	eqtr4i 2824	. . . . . 6 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18		2nn0 11902	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	15, 18	eqeltri 2886	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20		fvex 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
21		hashclb 13715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
23	19, 22	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ Fin
24		2onn 8249	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
25		nnfi 8696	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
27		hashen 13703	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
28	23, 26, 27	mp2an 691	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
29	17, 28	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ≈ 2o
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
31	1	zncrng 20236	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ CRing)
32		crngring 19302	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	18, 31, 32	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Ring
34	4, 5	ring0cl 19315	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36		2on0 8096	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
37		2on 8094	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
38		on0eln0 6214	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
40	36, 39	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 2o)
42	6, 11, 12, 30, 35, 41	mapfien2 8856	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
43	10, 42	eqbrtrrd 5054	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
44	11	pwfi2en 40041	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45		entr 8544	. 2 ⊢ ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46	43, 44, 45	syl2anc 587	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  {crab 3110  Vcvv 3441   ∩ cin 3880  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497   class class class wbr 5030  Oncon0 6159  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560  2_oc2o 8079   ↑_m cmap 8389   ≈ cen 8489  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ♯chash 13686  Basecbs 16475  0_gc0g 16705  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291  ℤ/nℤczn 20196   freeLMod cfrlm 20435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-inf 8891  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-hash 13687  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200  df-dsmm 20421  df-frlm 20436

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  40049