Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 41454
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
21fvexi 6861 . . . . 5 𝑅 ∈ V
3 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
73, 4, 5, 6frlmbas 21177 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
82, 7mpan 689 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
9 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
108, 9eqtr4di 2795 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
11 eqid 2737 . . . 4 {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12 enrefg 8931 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
13 2nn 12233 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
141, 4znhash 20981 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16 hash2 14312 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
1715, 16eqtr4i 2768 . . . . . 6 (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18 2nn0 12437 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1915, 18eqeltri 2834 . . . . . . . 8 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
21 hashclb 14265 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
24 2onn 8593 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
25 nnfi 9118 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
27 hashen 14254 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
2823, 26, 27mp2an 691 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
2917, 28mpbi 229 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2o
3029a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
311zncrng 20967 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
32 crngring 19983 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3318, 31, 32mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
344, 5ring0cl 19997 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36 2on0 8433 . . . . . 6 2o ≠ ∅
37 2on 8431 . . . . . . 7 2o ∈ On
38 on0eln0 6378 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4036, 39mpbir 230 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
4140a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2o)
426, 11, 12, 30, 35, 41mapfien2 9352 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4310, 42eqbrtrrd 5134 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411pwfi2en 41453 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45 entr 8953 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4643, 44, 45syl2anc 585 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944  {crab 3410  Vcvv 3448  cin 3914  c0 4287  𝒫 cpw 4565   class class class wbr 5110  Oncon0 6322  cfv 6501  (class class class)co 7362  ωcom 7807  2oc2o 8411  m cmap 8772  cen 8887  Fincfn 8890   finSupp cfsupp 9312  cn 12160  2c2 12215  0cn0 12420  chash 14237  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Ringcrg 19971  CRingccrg 19972  ℤ/nczn 20919   freeLMod cfrlm 21168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-hash 14238  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-prds 17336  df-pws 17338  df-imas 17397  df-qus 17398  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-nsg 18933  df-eqg 18934  df-ghm 19013  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-rnghom 20155  df-subrg 20236  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-2idl 20718  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-zn 20923  df-dsmm 21154  df-frlm 21169
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  41461
  Copyright terms: Public domain W3C validator