Theorem frlmpwfi 44043

Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmpwfi.r	⊢ 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmpwfi	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmpwfi.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2	1	fvexi 6887	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
3		frlmpwfi.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)}
7	3, 4, 5, 6	frlmbas 22022	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑌))
8	2, 7	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑌))
9		frlmpwfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10	8, 9	eqtr4di 2813	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = 𝐵)
11		eqid 2760	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12		enrefg 8989	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ≈ 𝐼)
13		2nn 12385	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 4	znhash 21825	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16		hash2 14516	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
17	15, 16	eqtr4i 2786	. . . . . 6 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18		2nn0 12592	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	15, 18	eqeltri 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20		fvex 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
21		hashclb 14469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
23	19, 22	mpbir 234	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ Fin
24		2onn 8629	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
25		nnfi 9161	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
27		hashen 14458	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
28	23, 26, 27	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
29	17, 28	mpbi 233	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ≈ 2o
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
31	1	zncrng 21811	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ CRing)
32		crngring 20433	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	18, 31, 32	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Ring
34	4, 5	ring0cl 20457	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	33, 34	mp1i 14	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36		2on0 8469	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
37		2on 8468	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
38		on0eln0 6409	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
40	36, 39	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 2o)
42	6, 11, 12, 30, 35, 41	mapfien2 9379	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
43	10, 42	eqbrtrrd 5128	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
44	11	pwfi2en 44042	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45		entr 9011	. 2 ⊢ ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46	43, 44, 45	syl2anc 596	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  {crab 3412  Vcvv 3450   ∩ cin 3897  ∅c0 4278  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102  Oncon0 6351  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ωcom 7860  2_oc2o 8448   ↑_m cmap 8825   ≈ cen 8948  Fincfn 8951   finSupp cfsupp 9331  ℕcn 12304  2c2 12366  ℕ₀cn0 12575  ♯chash 14441  Basecbs 17348  0_gc0g 17571  Ringcrg 20420  CRingccrg 20421  ℤ/nℤczn 21769   freeLMod cfrlm 22013

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249  ax-addf 11250  ax-mulf 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8156  df-tpos 8221  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-er 8695  df-ec 8697  df-qs 8701  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9953  df-card 9991  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-4 12376  df-5 12377  df-6 12378  df-7 12379  df-8 12380  df-9 12381  df-n0 12576  df-z 12663  df-dec 12784  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fz 13609  df-fzo 13757  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-hash 14442  df-dvds 16390  df-struct 17286  df-sets 17303  df-slot 17321  df-ndx 17333  df-base 17349  df-ress 17370  df-plusg 17402  df-mulr 17403  df-starv 17404  df-sca 17405  df-vsca 17406  df-ip 17407  df-tset 17408  df-ple 17409  df-ds 17411  df-unif 17412  df-hom 17413  df-cco 17414  df-0g 17573  df-prds 17579  df-pws 17581  df-imas 17641  df-qus 17642  df-mgm 18777  df-sgrp 18869  df-mnd 18885  df-mhm 18939  df-grp 19108  df-minusg 19109  df-sbg 19110  df-mulg 19239  df-subg 19294  df-nsg 19295  df-eqg 19296  df-ghm 19389  df-cmn 19957  df-abl 19958  df-mgp 20322  df-rng 20336  df-ur 20369  df-ring 20422  df-cring 20423  df-oppr 20528  df-dvdsr 20548  df-rhm 20663  df-subrng 20759  df-subrg 20783  df-lmod 21098  df-lss 21168  df-lsp 21208  df-sra 21409  df-rgmod 21410  df-lidl 21447  df-rsp 21448  df-2idl 21504  df-cnfld 21640  df-zring 21714  df-zrh 21770  df-zn 21773  df-dsmm 21999  df-frlm 22014

This theorem is used by:  isnumbasgrplem3  44050