Theorem frlmpwfi 43680

Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmpwfi.r	⊢ 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
frlmpwfi	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmpwfi.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
2	1	fvexi 6883	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ V
3		frlmpwfi.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2764	. . . . . 6 ⊢ {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)}
7	3, 4, 5, 6	frlmbas 21809	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑌))
8	2, 7	mpan 700	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑌))
9		frlmpwfi.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10	8, 9	eqtr4di 2817	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} = 𝐵)
11		eqid 2764	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12		enrefg 8967	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ≈ 𝐼)
13		2nn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
14	1, 4	znhash 21612	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
15	13, 14	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16		hash2 14420	. . . . . . 7 ⊢ (♯‘2o) = 2
17	15, 16	eqtr4i 2790	. . . . . 6 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18		2nn0 12500	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ0
19	15, 18	eqeltri 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20		fvex 6882	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
21		hashclb 14373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
22	20, 21	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
23	19, 22	mpbir 233	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ Fin
24		2onn 8614	. . . . . . . 8 ⊢ 2o ∈ ω
25		nnfi 9138	. . . . . . . 8 ⊢ (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ Fin
27		hashen 14362	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
28	23, 26, 27	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
29	17, 28	mpbi 232	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) ≈ 2o
30	29	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
31	1	zncrng 21598	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℕ0 → 𝑅 ∈ CRing)
32		crngring 20297	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
33	18, 31, 32	mp2b 10	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Ring
34	4, 5	ring0cl 20319	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36		2on0 8454	. . . . . 6 ⊢ 2o ≠ ∅
37		2on 8453	. . . . . . 7 ⊢ 2o ∈ On
38		on0eln0 6405	. . . . . . 7 ⊢ (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
39	37, 38	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
40	36, 39	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 2o
41	40	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ 2o)
42	6, 11, 12, 30, 35, 41	mapfien2 9357	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g‘𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
43	10, 42	eqbrtrrd 5126	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
44	11	pwfi2en 43679	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45		entr 8989	. 2 ⊢ ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2o ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
46	43, 44, 45	syl2anc 593	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  {crab 3416  Vcvv 3456   ∩ cin 3905  ∅c0 4287  𝒫 cpw 4557   class class class wbr 5102  Oncon0 6348  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ωcom 7848  2_oc2o 8433   ↑_m cmap 8810   ≈ cen 8926  Fincfn 8929   finSupp cfsupp 9309  ℕcn 12212  2c2 12274  ℕ₀cn0 12483  ♯chash 14345  Basecbs 17247  0_gc0g 17470  Ringcrg 20285  CRingccrg 20286  ℤ/nℤczn 21556   freeLMod cfrlm 21800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-oadd 8443  df-er 8680  df-ec 8682  df-qs 8686  df-map 8812  df-ixp 8882  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14017  df-hash 14346  df-dvds 16289  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-starv 17303  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-unif 17311  df-hom 17312  df-cco 17313  df-0g 17472  df-prds 17478  df-pws 17480  df-imas 17540  df-qus 17541  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-mhm 18819  df-grp 18980  df-minusg 18981  df-sbg 18982  df-mulg 19112  df-subg 19167  df-nsg 19168  df-eqg 19169  df-ghm 19256  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20189  df-rng 20201  df-ur 20234  df-ring 20287  df-cring 20288  df-oppr 20388  df-dvdsr 20408  df-rhm 20523  df-subrng 20598  df-subrg 20622  df-lmod 20931  df-lss 21001  df-lsp 21041  df-sra 21242  df-rgmod 21243  df-lidl 21280  df-rsp 21281  df-2idl 21322  df-cnfld 21427  df-zring 21501  df-zrh 21557  df-zn 21560  df-dsmm 21786  df-frlm 21801

This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  43687