Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  frlmpwfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frlmpwfi 41327
Description: Formal linear combinations over Z/2Z are equivalent to finite subsets. MOVABLE (Contributed by Stefan O'Rear, 10-Jul-2015.) (Proof shortened by AV, 14-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
frlmpwfi.r 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
frlmpwfi.y 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpwfi.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
frlmpwfi (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))

Proof of Theorem frlmpwfi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frlmpwfi.r . . . . . 6 𝑅 = (ℤ/nℤ‘2)
21fvexi 6853 . . . . 5 𝑅 ∈ V
3 frlmpwfi.y . . . . . 6 𝑌 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
4 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5 eqid 2737 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)}
73, 4, 5, 6frlmbas 21113 . . . . 5 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
82, 7mpan 688 . . . 4 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑌))
9 frlmpwfi.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
108, 9eqtr4di 2795 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} = 𝐵)
11 eqid 2737 . . . 4 {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} = {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅}
12 enrefg 8882 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝐼)
13 2nn 12184 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
141, 4znhash 20917 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℕ → (♯‘(Base‘𝑅)) = 2)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7 (♯‘(Base‘𝑅)) = 2
16 hash2 14258 . . . . . . 7 (♯‘2o) = 2
1715, 16eqtr4i 2768 . . . . . 6 (♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o)
18 2nn0 12388 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ0
1915, 18eqeltri 2834 . . . . . . . 8 (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0
20 fvex 6852 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
21 hashclb 14211 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0))
2220, 21ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ Fin ↔ (♯‘(Base‘𝑅)) ∈ ℕ0)
2319, 22mpbir 230 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ Fin
24 2onn 8580 . . . . . . . 8 2o ∈ ω
25 nnfi 9069 . . . . . . . 8 (2o ∈ ω → 2o ∈ Fin)
2624, 25ax-mp 5 . . . . . . 7 2o ∈ Fin
27 hashen 14200 . . . . . . 7 (((Base‘𝑅) ∈ Fin ∧ 2o ∈ Fin) → ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o))
2823, 26, 27mp2an 690 . . . . . 6 ((♯‘(Base‘𝑅)) = (♯‘2o) ↔ (Base‘𝑅) ≈ 2o)
2917, 28mpbi 229 . . . . 5 (Base‘𝑅) ≈ 2o
3029a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑅) ≈ 2o)
311zncrng 20903 . . . . . 6 (2 ∈ ℕ0𝑅 ∈ CRing)
32 crngring 19929 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
3318, 31, 32mp2b 10 . . . . 5 𝑅 ∈ Ring
344, 5ring0cl 19943 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝐼𝑉 → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
36 2on0 8420 . . . . . 6 2o ≠ ∅
37 2on 8418 . . . . . . 7 2o ∈ On
38 on0eln0 6371 . . . . . . 7 (2o ∈ On → (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅))
3937, 38ax-mp 5 . . . . . 6 (∅ ∈ 2o ↔ 2o ≠ ∅)
4036, 39mpbir 230 . . . . 5 ∅ ∈ 2o
4140a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ∅ ∈ 2o)
426, 11, 12, 30, 35, 41mapfien2 9303 . . 3 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp (0g𝑅)} ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4310, 42eqbrtrrd 5127 . 2 (𝐼𝑉𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅})
4411pwfi2en 41326 . 2 (𝐼𝑉 → {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
45 entr 8904 . 2 ((𝐵 ≈ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ∧ {𝑥 ∈ (2om 𝐼) ∣ 𝑥 finSupp ∅} ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin)) → 𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
4643, 44, 45syl2anc 584 1 (𝐼𝑉𝐵 ≈ (𝒫 𝐼 ∩ Fin))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  {crab 3405  Vcvv 3443  cin 3907  c0 4280  𝒫 cpw 4558   class class class wbr 5103  Oncon0 6315  cfv 6493  (class class class)co 7351  ωcom 7794  2oc2o 8398  m cmap 8723  cen 8838  Fincfn 8841   finSupp cfsupp 9263  cn 12111  2c2 12166  0cn0 12371  chash 14183  Basecbs 17042  0gc0g 17280  Ringcrg 19917  CRingccrg 19918  ℤ/nczn 20855   freeLMod cfrlm 21104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-oadd 8408  df-er 8606  df-ec 8608  df-qs 8612  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-inf 9337  df-dju 9795  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-fl 13651  df-mod 13729  df-seq 13861  df-hash 14184  df-dvds 16096  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-starv 17107  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-unif 17115  df-hom 17116  df-cco 17117  df-0g 17282  df-prds 17288  df-pws 17290  df-imas 17349  df-qus 17350  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mhm 18560  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-mulg 18831  df-subg 18883  df-nsg 18884  df-eqg 18885  df-ghm 18964  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919  df-cring 19920  df-oppr 20001  df-dvdsr 20022  df-rnghom 20098  df-subrg 20172  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-sra 20585  df-rgmod 20586  df-lidl 20587  df-rsp 20588  df-2idl 20654  df-cnfld 20749  df-zring 20822  df-zrh 20856  df-zn 20859  df-dsmm 21090  df-frlm 21105
This theorem is referenced by:  isnumbasgrplem3  41334
  Copyright terms: Public domain W3C validator