Theorem pwsval 17444

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		elex 3454	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3		elex 3454	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
4		simpl 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑟 = 𝑅)
5	4	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
6		pwsval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
7	5, 6	eqtr4di 2794	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = 𝐹)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → 𝑖 = 𝐼)
9		sneq 4567	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {𝑟} = {𝑅})
10		xpeq12 5645	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ {𝑟} = {𝑅}) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
11	8, 9, 10	syl2anr 604	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
12	7, 11	oveq12d 7377	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		df-pws 17407	. . . 4 ⊢ ↑s = (𝑟 ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})))
14		ovex 7392	. . . 4 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V
15	12, 13, 14	ovmpoa 7514	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
16	2, 3, 15	syl2an 603	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
17	1, 16	eqtrid 2788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  {csn 4557   × cxp 5618  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Scalarcsca 17218  X_scprds 17403   ↑_s cpws 17404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pr 5364

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4264  df-if 4457  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5515  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fv 6496  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-pws 17407

This theorem is referenced by:  pwsbas  17445  pwsplusgval  17449  pwsmulrval  17450  pwsle  17451  pwsvscafval  17453  pwssca  17455  pwsmnd  18735  pws0g  18736  pwspjmhm  18793  pwsgrp  19023  pwsinvg  19024  pwscmn  19832  pwsabl  19833  pwsgsum  19951  pwsring  20297  pws1  20298  pwscrng  20299  pwsmgp  20300  pwslmod  20963  frlmpws  21728  frlmlss  21729  frlmpwsfi  21730  frlmbas  21733  frlmip  21756  pwstps  23616  resspwsds  24358  pwsxms  24518  pwsms  24519  rrxprds  25377  cnpwstotbnd  38177  repwsmet  38214  rrnequiv  38215