Theorem pwsval 17456

Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pwsval	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Proof of Theorem pwsval

Dummy variables 𝑖 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsval.y	. 2 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
3		elex 3471	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → 𝐼 ∈ V)
4		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝑟 = 𝑅)
5	4	fveq2d 6865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = (Scalar‘𝑅))
6		pwsval.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
7	5, 6	eqtr4di 2783	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (Scalar‘𝑟) = 𝐹)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 𝐼 → 𝑖 = 𝐼)
9		sneq 4602	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {𝑟} = {𝑅})
10		xpeq12 5666	. . . . . 6 ⊢ ((𝑖 = 𝐼 ∧ {𝑟} = {𝑅}) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
11	8, 9, 10	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → (𝑖 × {𝑟}) = (𝐼 × {𝑅}))
12	7, 11	oveq12d 7408	. . . 4 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) → ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		df-pws 17419	. . . 4 ⊢ ↑s = (𝑟 ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ ((Scalar‘𝑟)Xs(𝑖 × {𝑟})))
14		ovex 7423	. . . 4 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ V
15	12, 13, 14	ovmpoa 7547	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
16	2, 3, 15	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
17	1, 16	eqtrid 2777	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  {csn 4592   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Scalarcsca 17230  X_scprds 17415   ↑_s cpws 17416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-pws 17419

This theorem is referenced by:  pwsbas  17457  pwsplusgval  17460  pwsmulrval  17461  pwsle  17462  pwsvscafval  17464  pwssca  17466  pwsmnd  18706  pws0g  18707  pwspjmhm  18764  pwsgrp  18991  pwsinvg  18992  pwscmn  19800  pwsabl  19801  pwsgsum  19919  pwsring  20240  pws1  20241  pwscrng  20242  pwsmgp  20243  pwslmod  20883  frlmpws  21666  frlmlss  21667  frlmpwsfi  21668  frlmbas  21671  frlmip  21694  pwstps  23524  resspwsds  24267  pwsxms  24427  pwsms  24428  rrxprds  25296  cnpwstotbnd  37798  repwsmet  37835  rrnequiv  37836