MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsval 17369
Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsval.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pwsval ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))

Proof of Theorem pwsval
Dummy variables 𝑖 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsval.y . 2 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 elex 3464 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 ∈ V)
3 elex 3464 . . 3 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
4 simpl 484 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ π‘Ÿ = 𝑅)
54fveq2d 6847 . . . . . 6 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜π‘Ÿ) = (Scalarβ€˜π‘…))
6 pwsval.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
75, 6eqtr4di 2795 . . . . 5 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜π‘Ÿ) = 𝐹)
8 id 22 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ 𝑖 = 𝐼)
9 sneq 4597 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {π‘Ÿ} = {𝑅})
10 xpeq12 5659 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝐼 ∧ {π‘Ÿ} = {𝑅}) β†’ (𝑖 Γ— {π‘Ÿ}) = (𝐼 Γ— {𝑅}))
118, 9, 10syl2anr 598 . . . . 5 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑖 Γ— {π‘Ÿ}) = (𝐼 Γ— {𝑅}))
127, 11oveq12d 7376 . . . 4 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Ÿ)Xs(𝑖 Γ— {π‘Ÿ})) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
13 df-pws 17332 . . . 4 ↑s = (π‘Ÿ ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ ((Scalarβ€˜π‘Ÿ)Xs(𝑖 Γ— {π‘Ÿ})))
14 ovex 7391 . . . 4 (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ V
1512, 13, 14ovmpoa 7511 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
162, 3, 15syl2an 597 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
171, 16eqtrid 2789 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  {csn 4587   Γ— cxp 5632  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Scalarcsca 17137  Xscprds 17328   ↑s cpws 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-pws 17332
This theorem is referenced by:  pwsbas  17370  pwsplusgval  17373  pwsmulrval  17374  pwsle  17375  pwsvscafval  17377  pwssca  17379  pwsmnd  18592  pws0g  18593  pwspjmhm  18641  pwsgrp  18860  pwsinvg  18861  pwscmn  19642  pwsabl  19643  pwsgsum  19760  pwsring  20040  pws1  20041  pwscrng  20042  pwsmgp  20043  pwslmod  20434  frlmpws  21159  frlmlss  21160  frlmpwsfi  21161  frlmbas  21164  frlmip  21187  pwstps  22984  resspwsds  23728  pwsxms  23891  pwsms  23892  rrxprds  24756  cnpwstotbnd  36259  repwsmet  36296  rrnequiv  36297
  Copyright terms: Public domain W3C validator