MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsval 17473
Description: Value of a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsval.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pwsval ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))

Proof of Theorem pwsval
Dummy variables 𝑖 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsval.y . 2 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 elex 3490 . . 3 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 ∈ V)
3 elex 3490 . . 3 (𝐼 ∈ π‘Š β†’ 𝐼 ∈ V)
4 simpl 481 . . . . . . 7 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ π‘Ÿ = 𝑅)
54fveq2d 6904 . . . . . 6 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜π‘Ÿ) = (Scalarβ€˜π‘…))
6 pwsval.f . . . . . 6 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
75, 6eqtr4di 2785 . . . . 5 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜π‘Ÿ) = 𝐹)
8 id 22 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 β†’ 𝑖 = 𝐼)
9 sneq 4640 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {π‘Ÿ} = {𝑅})
10 xpeq12 5705 . . . . . 6 ((𝑖 = 𝐼 ∧ {π‘Ÿ} = {𝑅}) β†’ (𝑖 Γ— {π‘Ÿ}) = (𝐼 Γ— {𝑅}))
118, 9, 10syl2anr 595 . . . . 5 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ (𝑖 Γ— {π‘Ÿ}) = (𝐼 Γ— {𝑅}))
127, 11oveq12d 7442 . . . 4 ((π‘Ÿ = 𝑅 ∧ 𝑖 = 𝐼) β†’ ((Scalarβ€˜π‘Ÿ)Xs(𝑖 Γ— {π‘Ÿ})) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
13 df-pws 17436 . . . 4 ↑s = (π‘Ÿ ∈ V, 𝑖 ∈ V ↦ ((Scalarβ€˜π‘Ÿ)Xs(𝑖 Γ— {π‘Ÿ})))
14 ovex 7457 . . . 4 (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ V
1512, 13, 14ovmpoa 7580 . . 3 ((𝑅 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
162, 3, 15syl2an 594 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
171, 16eqtrid 2779 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3471  {csn 4630   Γ— cxp 5678  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Scalarcsca 17241  Xscprds 17432   ↑s cpws 17433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pr 5431
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-id 5578  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fv 6559  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-pws 17436
This theorem is referenced by:  pwsbas  17474  pwsplusgval  17477  pwsmulrval  17478  pwsle  17479  pwsvscafval  17481  pwssca  17483  pwsmnd  18734  pws0g  18735  pwspjmhm  18787  pwsgrp  19013  pwsinvg  19014  pwscmn  19823  pwsabl  19824  pwsgsum  19942  pwsring  20265  pws1  20266  pwscrng  20267  pwsmgp  20268  pwslmod  20859  frlmpws  21689  frlmlss  21690  frlmpwsfi  21691  frlmbas  21694  frlmip  21717  pwstps  23552  resspwsds  24296  pwsxms  24459  pwsms  24460  rrxprds  25335  cnpwstotbnd  37275  repwsmet  37312  rrnequiv  37313
  Copyright terms: Public domain W3C validator