Theorem frlmlss 21970

Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
frlmlss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frlmlss

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmpws.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		frlmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmval 21967	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
4	3	fveq2d 6886	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
5	1, 4	eqtrid 2809	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
8		rlmlmod 21393	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10		fconst6g 6768	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}):𝐼⟶LMod)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}):𝐼⟶LMod)
12		fvex 6895	. . . . . . . 8 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
13	12	fvconst2 7207	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖) = (ringLMod‘𝑅))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
16		rlmsca 21388	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	15, 17	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖)) = 𝑅)
19		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
20		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
22	6, 7, 11, 18, 19, 20, 21	dsmmlss 21963	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
23		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
24		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
25	23, 24	pwsval 17577	. . . . . . . 8 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
26	12, 25	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
28	16	eqcomd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝑅)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝑅)
30	29	oveq1d 7432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
31	27, 30	eqtr2d 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
32	31	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
33		frlmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
34	32, 33	eqtr4di 2815	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = 𝑈)
35	22, 34	eleqtrd 2864	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ 𝑈)
36	5, 35	eqeltrd 2862	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  {csn 4587   × cxp 5657  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351  X_scprds 17536   ↑_s cpws 17537  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  LSubSpclss 21121  ringLModcrglmod 21362   ⊕_m cdsmm 21950   freeLMod cfrlm 21965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-subg 19252  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-subrg 20738  df-lmod 21052  df-lss 21122  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966

This theorem is used by:  frlm0  21973  frlmsubgval  21984  frlmgsum  21991  frlmsplit2  21992