Theorem frlmlss 22090

Description: The base set of the free module is a subspace of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
frlmlss.u	⊢ 𝑈 = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
frlmlss	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem frlmlss

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frlmpws.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
2		frlmval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
3	2	frlmval 22087	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
4	3	fveq2d 6915	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝐹) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
5	1, 4	eqtrid 2810	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
6		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
7		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ Ring)
8		rlmlmod 21511	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
9	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (ringLMod‘𝑅) ∈ LMod)
10		fconst6g 6796	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ LMod → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}):𝐼⟶LMod)
11	9, 10	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}):𝐼⟶LMod)
12		fvex 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
13	12	fvconst2 7236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖) = (ringLMod‘𝑅))
14	13	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖) = (ringLMod‘𝑅))
15	14	fveq2d 6915	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
16		rlmsca 21506	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
17	16	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
18	15, 17	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) → (Scalar‘((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})‘𝑖)) = 𝑅)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
22	6, 7, 11, 18, 19, 20, 21	dsmmlss 22083	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
23		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
24		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
25	23, 24	pwsval 17689	. . . . . . . 8 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
26	12, 25	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
28	16	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝑅)
29	28	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = 𝑅)
30	29	oveq1d 7461	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
31	27, 30	eqtr2d 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
32	31	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)))
33		frlmlss.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LSubSp‘((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))
34	32, 33	eqtr4di 2816	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (LSubSp‘(𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = 𝑈)
35	22, 34	eleqtrd 2866	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) ∈ 𝑈)
36	5, 35	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588   × cxp 5654  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463  X_scprds 17648   ↑_s cpws 17649  Ringcrg 20492  LModclmod 21168  LSubSpclss 21239  ringLModcrglmod 21480   ⊕_m cdsmm 22070   freeLMod cfrlm 22085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-subrg 20855  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086

This theorem is used by:  frlm0  22093  frlmsubgval  22104  frlmgsum  22111  frlmsplit2  22112