Theorem repwsmet 38173

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
repwsmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5688	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
2	1	oveq2i 7373	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
4		ax-resscn 11090	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
6		cnfldbas 21352	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	5, 6	ressbas2 17203	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
8	4, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
9		reex 11124	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10		cnfldds 21360	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
11	5, 10	ressds 17368	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
13	12	reseq1i 5936	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
15		fvexd 6851	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17		ovex 7395	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
19		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	remet 24769	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
22	2, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21	prdsmet 24349	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
23		rrnequiv.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		rrnequiv.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
25		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
26	5, 25	resssca 17301	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	24, 27	pwsval 17444	. . . . 5 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
29	17, 28	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
30	29	fveq2d 6840	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	23, 30	eqtrid 2784	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32		rrnequiv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
33	24, 8	pwsbas 17445	. . . . . 6 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
34	17, 33	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
35	29	fveq2d 6840	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36	34, 35	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
37	32, 36	eqtrid 2784	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
38	37	fveq2d 6840	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
39	22, 31, 38	3eltr4d 2852	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  {csn 4568   ↦ cmpt 5167   × cxp 5624   ↾ cres 5628   ∘ ccom 5630  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   ↑_m cmap 8768  Fincfn 8888  ℂcc 11031  ℝcr 11032   − cmin 11372  abscabs 15191  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  Scalarcsca 17218  distcds 17224  X_scprds 17403   ↑_s cpws 17404  Metcmet 21334  ℂ_fldccnfld 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-icc 13300  df-fz 13457  df-seq 13959  df-exp 14019  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-prds 17405  df-pws 17407  df-xmet 21341  df-met 21342  df-cnfld 21349

This theorem is referenced by:  rrnequiv  38174  rrntotbnd  38175