Theorem repwsmet 37824

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
repwsmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5681	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
2	1	oveq2i 7360	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
4		ax-resscn 11066	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
6		cnfldbas 21265	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	5, 6	ressbas2 17149	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
8	4, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
9		reex 11100	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10		cnfldds 21273	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
11	5, 10	ressds 17314	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
13	12	reseq1i 5926	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14		eqid 2729	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
15		fvexd 6837	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17		ovex 7382	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
19		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	remet 24676	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
22	2, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21	prdsmet 24256	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
23		rrnequiv.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		rrnequiv.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
25		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
26	5, 25	resssca 17247	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	24, 27	pwsval 17390	. . . . 5 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
29	17, 28	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
30	29	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	23, 30	eqtrid 2776	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32		rrnequiv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
33	24, 8	pwsbas 17391	. . . . . 6 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
34	17, 33	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
35	29	fveq2d 6826	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36	34, 35	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
37	32, 36	eqtrid 2776	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
38	37	fveq2d 6826	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
39	22, 31, 38	3eltr4d 2843	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903  {csn 4577   ↦ cmpt 5173   × cxp 5617   ↾ cres 5621   ∘ ccom 5623  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ↑_m cmap 8753  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008   − cmin 11347  abscabs 15141  Basecbs 17120   ↾_s cress 17141  Scalarcsca 17164  distcds 17170  X_scprds 17349   ↑_s cpws 17350  Metcmet 21247  ℂ_fldccnfld 21261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-map 8755  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-icc 13255  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-prds 17351  df-pws 17353  df-xmet 21254  df-met 21255  df-cnfld 21262

This theorem is referenced by:  rrnequiv  37825  rrntotbnd  37826