Theorem repwsmet 38155

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
repwsmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5693	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
2	1	oveq2i 7378	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
4		ax-resscn 11095	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
6		cnfldbas 21356	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	5, 6	ressbas2 17208	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
8	4, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
9		reex 11129	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10		cnfldds 21364	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
11	5, 10	ressds 17373	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
13	12	reseq1i 5940	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14		eqid 2736	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
15		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17		ovex 7400	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
19		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	remet 24755	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
22	2, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21	prdsmet 24335	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
23		rrnequiv.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		rrnequiv.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
25		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
26	5, 25	resssca 17306	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	24, 27	pwsval 17449	. . . . 5 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
29	17, 28	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
30	29	fveq2d 6844	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	23, 30	eqtrid 2783	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32		rrnequiv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
33	24, 8	pwsbas 17450	. . . . . 6 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
34	17, 33	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
35	29	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36	34, 35	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
37	32, 36	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
38	37	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
39	22, 31, 38	3eltr4d 2851	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ⊆ wss 3889  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   ↾ cres 5633   ∘ ccom 5635  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  ℂcc 11036  ℝcr 11037   − cmin 11377  abscabs 15196  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  Scalarcsca 17223  distcds 17229  X_scprds 17408   ↑_s cpws 17409  Metcmet 21338  ℂ_fldccnfld 21352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-icc 13305  df-fz 13462  df-seq 13964  df-exp 14024  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-prds 17410  df-pws 17412  df-xmet 21345  df-met 21346  df-cnfld 21353

This theorem is referenced by:  rrnequiv  38156  rrntotbnd  38157