Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repwsmet Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem repwsmet 37006
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y π‘Œ = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
repwsmet (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Proof of Theorem repwsmet
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5738 . . . 4 (𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (β„‚fld β†Ύs ℝ))
21oveq2i 7423 . . 3 ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})) = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (β„‚fld β†Ύs ℝ)))
3 eqid 2731 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
4 ax-resscn 11171 . . . 4 ℝ βŠ† β„‚
5 eqid 2731 . . . . 5 (β„‚fld β†Ύs ℝ) = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
6 cnfldbas 21149 . . . . 5 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
75, 6ressbas2 17187 . . . 4 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ℝ = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
84, 7ax-mp 5 . . 3 ℝ = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
9 reex 11205 . . . . 5 ℝ ∈ V
10 cnfldds 21155 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„‚fld)
115, 10ressds 17360 . . . . 5 (ℝ ∈ V β†’ (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
1312reseq1i 5977 . . 3 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
14 eqid 2731 . . 3 (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
15 fvexd 6906 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Scalarβ€˜β„‚fld) ∈ V)
16 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
17 ovex 7445 . . . 4 (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V)
19 eqid 2731 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
2019remet 24527 . . . 4 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
2120a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„))
222, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21prdsmet 24097 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) ∈ (Metβ€˜(Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))))
23 rrnequiv.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
24 rrnequiv.y . . . . . 6 π‘Œ = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
25 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜β„‚fld)
265, 25resssca 17293 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
279, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
2824, 27pwsval 17437 . . . . 5 (((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
2917, 28mpan 687 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
3029fveq2d 6895 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3123, 30eqtrid 2783 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
32 rrnequiv.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3324, 8pwsbas 17438 . . . . . 6 (((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
3417, 33mpan 687 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
3529fveq2d 6895 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3634, 35eqtrd 2771 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3732, 36eqtrid 2783 . . 3 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3837fveq2d 6895 . 2 (𝐼 ∈ Fin β†’ (Metβ€˜π‘‹) = (Metβ€˜(Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))))
3922, 31, 383eltr4d 2847 1 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βŠ† wss 3948  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943  β„‚cc 11112  β„cr 11113   βˆ’ cmin 11449  abscabs 15186  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  Scalarcsca 17205  distcds 17211  Xscprds 17396   ↑s cpws 17397  Metcmet 21131  β„‚fldccnfld 21145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-icc 13336  df-fz 13490  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-prds 17398  df-pws 17400  df-xmet 21138  df-met 21139  df-cnfld 21146
This theorem is referenced by:  rrnequiv  37007  rrntotbnd  37008
  Copyright terms: Public domain W3C validator