Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repwsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repwsmet 36284
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
repwsmet (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5694 . . . 4 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
21oveq2i 7367 . . 3 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
3 eqid 2736 . . 3 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4 ax-resscn 11107 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 eqid 2736 . . . . 5 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
6 cnfldbas 20798 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
75, 6ressbas2 17119 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
84, 7ax-mp 5 . . 3 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
9 reex 11141 . . . . 5 ℝ ∈ V
10 cnfldds 20804 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
115, 10ressds 17290 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
1312reseq1i 5933 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14 eqid 2736 . . 3 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
15 fvexd 6857 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17 ovex 7389 . . . 4 (ℂflds ℝ) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
19 eqid 2736 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2019remet 24151 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
2120a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
222, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21prdsmet 23721 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
23 rrnequiv.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 rrnequiv.y . . . . . 6 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
25 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
265, 25resssca 17223 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
279, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
2824, 27pwsval 17367 . . . . 5 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
2917, 28mpan 688 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
3029fveq2d 6846 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3123, 30eqtrid 2788 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
32 rrnequiv.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3324, 8pwsbas 17368 . . . . . 6 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3417, 33mpan 688 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3529fveq2d 6846 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3634, 35eqtrd 2776 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3732, 36eqtrid 2788 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3837fveq2d 6846 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
3922, 31, 383eltr4d 2853 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586  cmpt 5188   × cxp 5631  cres 5635  ccom 5637  cfv 6496  (class class class)co 7356  m cmap 8764  Fincfn 8882  cc 11048  cr 11049  cmin 11384  abscabs 15118  Basecbs 17082  s cress 17111  Scalarcsca 17135  distcds 17141  Xscprds 17326  s cpws 17327  Metcmet 20780  fldccnfld 20794
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127  ax-pre-sup 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-sup 9377  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-div 11812  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-7 12220  df-8 12221  df-9 12222  df-n0 12413  df-z 12499  df-dec 12618  df-uz 12763  df-rp 12915  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-icc 13270  df-fz 13424  df-seq 13906  df-exp 13967  df-cj 14983  df-re 14984  df-im 14985  df-sqrt 15119  df-abs 15120  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-ress 17112  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-starv 17147  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-ip 17150  df-tset 17151  df-ple 17152  df-ds 17154  df-unif 17155  df-hom 17156  df-cco 17157  df-prds 17328  df-pws 17330  df-xmet 20787  df-met 20788  df-cnfld 20795
This theorem is referenced by:  rrnequiv  36285  rrntotbnd  36286
  Copyright terms: Public domain W3C validator