Theorem repwsmet 38513

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
repwsmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5723	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
2	1	oveq2i 7421	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
4		ax-resscn 11161	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
6		cnfldbas 21535	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	5, 6	ressbas2 17302	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
8	4, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
9		reex 11195	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10		cnfldds 21543	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
11	5, 10	ressds 17467	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
13	12	reseq1i 5974	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14		eqid 2763	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
15		fvexd 6896	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16		id 23	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17		ovex 7443	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
19		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	remet 24956	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
22	2, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21	prdsmet 24536	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
23		rrnequiv.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		rrnequiv.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
25		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
26	5, 25	resssca 17400	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	24, 27	pwsval 17543	. . . . 5 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
29	17, 28	mpan 702	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
30	29	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	23, 30	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32		rrnequiv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
33	24, 8	pwsbas 17544	. . . . . 6 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
34	17, 33	mpan 702	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
35	29	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36	34, 35	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
37	32, 36	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
38	37	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
39	22, 31, 38	3eltr4d 2878	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   ⊆ wss 3905  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659   ↾ cres 5663   ∘ ccom 5665  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  ℂcc 11102  ℝcr 11103   − cmin 11445  abscabs 15290  Basecbs 17273   ↾_s cress 17294  Scalarcsca 17317  distcds 17323  X_scprds 17502   ↑_s cpws 17503  Metcmet 21517  ℂ_fldccnfld 21531

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-icc 13383  df-fz 13540  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-prds 17504  df-pws 17506  df-xmet 21524  df-met 21525  df-cnfld 21532

This theorem is used by:  rrnequiv  38514  rrntotbnd  38515