Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repwsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repwsmet 35288
 Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
repwsmet (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5578 . . . 4 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
21oveq2i 7146 . . 3 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
3 eqid 2798 . . 3 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4 ax-resscn 10585 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 eqid 2798 . . . . 5 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
6 cnfldbas 20098 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
75, 6ressbas2 16549 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
84, 7ax-mp 5 . . 3 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
9 reex 10619 . . . . 5 ℝ ∈ V
10 cnfldds 20104 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
115, 10ressds 16680 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
1312reseq1i 5814 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14 eqid 2798 . . 3 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
15 fvexd 6660 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17 ovex 7168 . . . 4 (ℂflds ℝ) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
19 eqid 2798 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2019remet 23402 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
2120a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
222, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21prdsmet 22984 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
23 rrnequiv.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 rrnequiv.y . . . . . 6 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
25 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
265, 25resssca 16644 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
279, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
2824, 27pwsval 16753 . . . . 5 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
2917, 28mpan 689 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
3029fveq2d 6649 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3123, 30syl5eq 2845 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
32 rrnequiv.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3324, 8pwsbas 16754 . . . . . 6 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3417, 33mpan 689 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3529fveq2d 6649 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3634, 35eqtrd 2833 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3732, 36syl5eq 2845 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3837fveq2d 6649 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
3922, 31, 383eltr4d 2905 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {csn 4525   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517   ↾ cres 5521   ∘ ccom 5523  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ↑m cmap 8391  Fincfn 8494  ℂcc 10526  ℝcr 10527   − cmin 10861  abscabs 14587  Basecbs 16477   ↾s cress 16478  Scalarcsca 16562  distcds 16568  Xscprds 16713   ↑s cpws 16714  Metcmet 20080  ℂfldccnfld 20094 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605  ax-pre-sup 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-sup 8892  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-div 11289  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-icc 12735  df-fz 12888  df-seq 13367  df-exp 13428  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-hom 16583  df-cco 16584  df-prds 16715  df-pws 16717  df-xmet 20087  df-met 20088  df-cnfld 20095 This theorem is referenced by:  rrnequiv  35289  rrntotbnd  35290
 Copyright terms: Public domain W3C validator