Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repwsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repwsmet 37548
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
repwsmet (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5736 . . . 4 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
21oveq2i 7427 . . 3 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
3 eqid 2726 . . 3 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4 ax-resscn 11206 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 eqid 2726 . . . . 5 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
6 cnfldbas 21343 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
75, 6ressbas2 17246 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
84, 7ax-mp 5 . . 3 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
9 reex 11240 . . . . 5 ℝ ∈ V
10 cnfldds 21351 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
115, 10ressds 17419 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
1312reseq1i 5977 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14 eqid 2726 . . 3 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
15 fvexd 6908 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17 ovex 7449 . . . 4 (ℂflds ℝ) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
19 eqid 2726 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2019remet 24794 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
2120a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
222, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21prdsmet 24364 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
23 rrnequiv.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 rrnequiv.y . . . . . 6 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
25 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
265, 25resssca 17352 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
279, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
2824, 27pwsval 17496 . . . . 5 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
2917, 28mpan 688 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
3029fveq2d 6897 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3123, 30eqtrid 2778 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
32 rrnequiv.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3324, 8pwsbas 17497 . . . . . 6 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3417, 33mpan 688 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3529fveq2d 6897 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3634, 35eqtrd 2766 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3732, 36eqtrid 2778 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3837fveq2d 6897 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
3922, 31, 383eltr4d 2841 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  wss 3946  {csn 4623  cmpt 5228   × cxp 5672  cres 5676  ccom 5678  cfv 6546  (class class class)co 7416  m cmap 8847  Fincfn 8966  cc 11147  cr 11148  cmin 11485  abscabs 15234  Basecbs 17208  s cress 17237  Scalarcsca 17264  distcds 17270  Xscprds 17455  s cpws 17456  Metcmet 21325  fldccnfld 21339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-er 8726  df-map 8849  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-icc 13379  df-fz 13533  df-seq 14016  df-exp 14076  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-prds 17457  df-pws 17459  df-xmet 21332  df-met 21333  df-cnfld 21340
This theorem is referenced by:  rrnequiv  37549  rrntotbnd  37550
  Copyright terms: Public domain W3C validator