Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repwsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repwsmet 33965
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
Assertion
Ref Expression
repwsmet (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5303 . . . 4 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
21oveq2i 6804 . . 3 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
3 eqid 2771 . . 3 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4 ax-resscn 10195 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 eqid 2771 . . . . 5 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
6 cnfldbas 19965 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
75, 6ressbas2 16138 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
84, 7ax-mp 5 . . 3 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
9 reex 10229 . . . . 5 ℝ ∈ V
10 cnfldds 19971 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
115, 10ressds 16281 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
1312reseq1i 5530 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14 eqid 2771 . . 3 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
15 fvexd 6344 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17 ovex 6823 . . . 4 (ℂflds ℝ) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
19 eqid 2771 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2019remet 22813 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
2120a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
222, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21prdsmet 22395 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
23 rrnequiv.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 rrnequiv.y . . . . . 6 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
25 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
265, 25resssca 16239 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
279, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
2824, 27pwsval 16354 . . . . 5 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
2917, 28mpan 670 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
3029fveq2d 6336 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3123, 30syl5eq 2817 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
32 rrnequiv.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
3324, 8pwsbas 16355 . . . . . 6 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
3417, 33mpan 670 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘𝑌))
3529fveq2d 6336 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3634, 35eqtrd 2805 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑𝑚 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3732, 36syl5eq 2817 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3837fveq2d 6336 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
3922, 31, 383eltr4d 2865 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  wss 3723  {csn 4316  cmpt 4863   × cxp 5247  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6793  𝑚 cmap 8009  Fincfn 8109  cc 10136  cr 10137  cmin 10468  abscabs 14182  Basecbs 16064  s cress 16065  Scalarcsca 16152  distcds 16158  Xscprds 16314  s cpws 16315  Metcme 19947  fldccnfld 19961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-icc 12387  df-fz 12534  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-pws 16318  df-xmet 19954  df-met 19955  df-cnfld 19962
This theorem is referenced by:  rrnequiv  33966  rrntotbnd  33967
  Copyright terms: Public domain W3C validator