Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  repwsmet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem repwsmet 37841
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
Assertion
Ref Expression
repwsmet (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconstmpt 5747 . . . 4 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
21oveq2i 7442 . . 3 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
3 eqid 2737 . . 3 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4 ax-resscn 11212 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
5 eqid 2737 . . . . 5 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
6 cnfldbas 21368 . . . . 5 ℂ = (Base‘ℂfld)
75, 6ressbas2 17283 . . . 4 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
84, 7ax-mp 5 . . 3 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
9 reex 11246 . . . . 5 ℝ ∈ V
10 cnfldds 21376 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
115, 10ressds 17454 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
129, 11ax-mp 5 . . . 4 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
1312reseq1i 5993 . . 3 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14 eqid 2737 . . 3 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
15 fvexd 6921 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16 id 22 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17 ovex 7464 . . . 4 (ℂflds ℝ) ∈ V
1817a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
19 eqid 2737 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2019remet 24811 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
2120a1i 11 . . 3 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
222, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21prdsmet 24380 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
23 rrnequiv.d . . 3 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 rrnequiv.y . . . . . 6 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
25 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
265, 25resssca 17387 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
279, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
2824, 27pwsval 17531 . . . . 5 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
2917, 28mpan 690 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
3029fveq2d 6910 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3123, 30eqtrid 2789 . 2 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
32 rrnequiv.1 . . . 4 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
3324, 8pwsbas 17532 . . . . . 6 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3417, 33mpan 690 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3529fveq2d 6910 . . . . 5 (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3634, 35eqtrd 2777 . . . 4 (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3732, 36eqtrid 2789 . . 3 (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3837fveq2d 6910 . 2 (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))))
3922, 31, 383eltr4d 2856 1 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626  cmpt 5225   × cxp 5683  cres 5687  ccom 5689  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  cc 11153  cr 11154  cmin 11492  abscabs 15273  Basecbs 17247  s cress 17274  Scalarcsca 17300  distcds 17306  Xscprds 17490  s cpws 17491  Metcmet 21350  fldccnfld 21364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-prds 17492  df-pws 17494  df-xmet 21357  df-met 21358  df-cnfld 21365
This theorem is referenced by:  rrnequiv  37842  rrntotbnd  37843
  Copyright terms: Public domain W3C validator