Theorem repwsmet 35919

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is a metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
repwsmet	⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Proof of Theorem repwsmet

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fconstmpt 5640	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
2	1	oveq2i 7266	. . 3 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
3		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
4		ax-resscn 10859	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
6		cnfldbas 20514	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	5, 6	ressbas2 16875	. . . 4 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
8	4, 7	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
9		reex 10893	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
10		cnfldds 20520	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
11	5, 10	ressds 17039	. . . . 5 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
12	9, 11	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
13	12	reseq1i 5876	. . 3 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
14		eqid 2738	. . 3 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
15		fvexd 6771	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
16		id 22	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
17		ovex 7288	. . . 4 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
18	17	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
19		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
20	19	remet 23859	. . . 4 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
21	20	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
22	2, 3, 8, 13, 14, 15, 16, 18, 21	prdsmet 23431	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) ∈ (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
23		rrnequiv.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		rrnequiv.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
25		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
26	5, 25	resssca 16978	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	9, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	24, 27	pwsval 17114	. . . . 5 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
29	17, 28	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
30	29	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	23, 30	syl5eq 2791	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32		rrnequiv.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
33	24, 8	pwsbas 17115	. . . . . 6 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
34	17, 33	mpan 686	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
35	29	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36	34, 35	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
37	32, 36	syl5eq 2791	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
38	37	fveq2d 6760	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))))
39	22, 31, 38	3eltr4d 2854	1 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {csn 4558   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578   ↾ cres 5582   ∘ ccom 5584  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  Fincfn 8691  ℂcc 10800  ℝcr 10801   − cmin 11135  abscabs 14873  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  distcds 16897  X_scprds 17073   ↑_s cpws 17074  Metcmet 20496  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-prds 17075  df-pws 17077  df-xmet 20503  df-met 20504  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  rrnequiv  35920  rrntotbnd  35921