Theorem pwspjmhm 18753

Description: A projection from a structure power of a monoid to the monoid itself is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		fvexd 6847	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		fconst6g 6721	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
6	5	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	prdspjmhm 18752	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9		pwspjmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwspjmhm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 17404	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	12	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	eqtrid 2781	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	mpteq1d 5186	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥‘𝐴)))
17		fvconst2g 7146	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18	17	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
19	18	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
20	13, 19	oveq12d 7374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
21	8, 16, 20	3eltr4d 2849	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  {csn 4578   ↦ cmpt 5177   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  Scalarcsca 17178  X_scprds 17363   ↑_s cpws 17364  Mndcmnd 18657   MndHom cmhm 18704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-ixp 8834  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-sca 17191  df-vsca 17192  df-ip 17193  df-tset 17194  df-ple 17195  df-ds 17197  df-hom 17199  df-cco 17200  df-0g 17359  df-prds 17365  df-pws 17367  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18706

This theorem is referenced by:  pwsmulg  19047