Theorem pwspjmhm 17754

Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		simp2 1128	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		fvexd 6461	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		fconst6g 6344	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
6	5	3ad2ant1 1124	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7		simp3 1129	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	prdspjmhm 17753	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9		pwspjmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwspjmhm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2778	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 16532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	12	3adant3 1123	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6450	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	syl5eq 2826	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	mpteq1d 4973	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥‘𝐴)))
17		fvconst2g 6739	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18	17	3adant2 1122	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
19	18	eqcomd 2784	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
20	13, 19	oveq12d 6940	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
21	8, 16, 20	3eltr4d 2874	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  X_scprds 16492   ↑_s cpws 16493  Mndcmnd 17680   MndHom cmhm 17719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721

This theorem is referenced by:  pwsmulg  17971