MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhm 17754
Description: A projection from a product of monoids to one of the factors is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2778 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 simp2 1128 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
4 fvexd 6461 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 fconst6g 6344 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
653ad2ant1 1124 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7 simp3 1129 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdspjmhm 17753 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9 pwspjmhm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwspjmhm.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2778 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 16532 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13123adant3 1123 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6450 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14syl5eq 2826 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615mpteq1d 4973 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)))
17 fvconst2g 6739 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18173adant2 1122 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
1918eqcomd 2784 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
2013, 19oveq12d 6940 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
218, 16, 203eltr4d 2874 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398  cmpt 4965   × cxp 5353  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341  Xscprds 16492  s cpws 16493  Mndcmnd 17680   MndHom cmhm 17719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721
This theorem is referenced by:  pwsmulg  17971
  Copyright terms: Public domain W3C validator