MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhm 18796
Description: A projection from a structure power of a monoid to the monoid itself is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
2 eqid 2728 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
3 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4 fvexd 6917 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
5 fconst6g 6791 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Mnd)
653ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Mnd)
7 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdspjmhm 18795 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) MndHom ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄)))
9 pwspjmhm.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
10 pwspjmhm.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
11 eqid 2728 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
1210, 11pwsval 17477 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
13123adant3 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
1413fveq2d 6906 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
159, 14eqtrid 2780 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
1615mpteq1d 5247 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ↦ (π‘₯β€˜π΄)))
17 fvconst2g 7220 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄) = 𝑅)
18173adant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄) = 𝑅)
1918eqcomd 2734 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄))
2013, 19oveq12d 7444 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ MndHom 𝑅) = (((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) MndHom ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄)))
218, 16, 203eltr4d 2844 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  {csn 4632   ↦ cmpt 5235   Γ— cxp 5680  βŸΆwf 6549  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17189  Scalarcsca 17245  Xscprds 17436   ↑s cpws 17437  Mndcmnd 18703   MndHom cmhm 18747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-map 8855  df-ixp 8925  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-sup 9475  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-fz 13527  df-struct 17125  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-plusg 17255  df-mulr 17256  df-sca 17258  df-vsca 17259  df-ip 17260  df-tset 17261  df-ple 17262  df-ds 17264  df-hom 17266  df-cco 17267  df-0g 17432  df-prds 17438  df-pws 17440  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-mhm 18749
This theorem is referenced by:  pwsmulg  19088
  Copyright terms: Public domain W3C validator