MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhm 18755
Description: A projection from a structure power of a monoid to the monoid itself is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhm.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉
Allowed substitution hint:   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
2 eqid 2726 . . 3 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
3 simp2 1134 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
4 fvexd 6900 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
5 fconst6g 6774 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Mnd)
653ad2ant1 1130 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Mnd)
7 simp3 1135 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐼)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdspjmhm 18754 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) MndHom ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄)))
9 pwspjmhm.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
10 pwspjmhm.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
1210, 11pwsval 17441 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
13123adant3 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
1413fveq2d 6889 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
159, 14eqtrid 2778 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
1615mpteq1d 5236 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) ↦ (π‘₯β€˜π΄)))
17 fvconst2g 7199 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄) = 𝑅)
18173adant2 1128 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄) = 𝑅)
1918eqcomd 2732 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 = ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄))
2013, 19oveq12d 7423 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ MndHom 𝑅) = (((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) MndHom ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π΄)))
218, 16, 203eltr4d 2842 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 ↦ (π‘₯β€˜π΄)) ∈ (π‘Œ MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  Scalarcsca 17209  Xscprds 17400   ↑s cpws 17401  Mndcmnd 18667   MndHom cmhm 18711
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713
This theorem is referenced by:  pwsmulg  19046
  Copyright terms: Public domain W3C validator