MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwspjmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwspjmhm 18856
Description: A projection from a structure power of a monoid to the monoid itself is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwspjmhm.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwspjmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwspjmhm ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2735 . . 3 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 simp2 1136 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐼𝑉)
4 fvexd 6922 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5 fconst6g 6798 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
653ad2ant1 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7 simp3 1137 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐴𝐼)
81, 2, 3, 4, 6, 7prdspjmhm 18855 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9 pwspjmhm.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑌)
10 pwspjmhm.y . . . . . . 7 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
11 eqid 2735 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1210, 11pwsval 17533 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13123adant3 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6911 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
159, 14eqtrid 2787 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615mpteq1d 5243 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥𝐴)))
17 fvconst2g 7222 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18173adant2 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
1918eqcomd 2741 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
2013, 19oveq12d 7449 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
218, 16, 203eltr4d 2854 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉𝐴𝐼) → (𝑥𝐵 ↦ (𝑥𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631  cmpt 5231   × cxp 5687  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  Xscprds 17492  s cpws 17493  Mndcmnd 18760   MndHom cmhm 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809
This theorem is referenced by:  pwsmulg  19150
  Copyright terms: Public domain W3C validator