Theorem pwspjmhm 18884

Description: A projection from a structure power of a monoid to the monoid itself is a monoid homomorphism. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwspjmhm.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwspjmhm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwspjmhm	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉

Allowed substitution hint:   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem pwspjmhm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		fvexd 6896	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		fconst6g 6767	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
6	5	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
7		simp3 1156	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 6, 7	prdspjmhm 18883	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
9		pwspjmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwspjmhm.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 17534	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	12	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	eqtrid 2810	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	mpteq1d 5201	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) = (𝑥 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) ↦ (𝑥‘𝐴)))
17		fvconst2g 7200	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
18	17	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴) = 𝑅)
19	18	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → 𝑅 = ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴))
20	13, 19	oveq12d 7428	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑌 MndHom 𝑅) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) MndHom ((𝐼 × {𝑅})‘𝐴)))
21	8, 16, 20	3eltr4d 2878	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑥‘𝐴)) ∈ (𝑌 MndHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  Scalarcsca 17308  X_scprds 17493   ↑_s cpws 17494  Mndcmnd 18787   MndHom cmhm 18834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-fz 13531  df-struct 17202  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-mulr 17319  df-sca 17321  df-vsca 17322  df-ip 17323  df-tset 17324  df-ple 17325  df-ds 17327  df-hom 17329  df-cco 17330  df-0g 17489  df-prds 17495  df-pws 17497  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836

This theorem is referenced by:  pwsmulg  19180