Theorem prdsdsval3 17466

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsdsval3.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
prdsdsval3.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval3	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		eqid 2725	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
9		prdsdsval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	prdsdsval2 17465	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
11		eqidd 2726	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
12		prdsdsval3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 6	prdsbascl 17464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5, 12, 7	prdsbascl 17464	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
15		prdsdsval3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
16	15	oveqi 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥))
17		ovres 7584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
18	16, 17	eqtrid 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
19	18	ex 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
20	19	ral2imi 3075	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
21	13, 14, 20	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
22		mpteq12 5235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
23	11, 21, 22	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
24	23	rneqd 5934	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
25	24	uneq1d 4155	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
26	25	supeq1d 9469	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
27	10, 26	eqtr4d 2768	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051   ∪ cun 3937  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   × cxp 5670  ran crn 5673   ↾ cres 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416  supcsup 9463  0cc0 11138  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278  Basecbs 17179  distcds 17241  X_scprds 17426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-prds 17428

This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  24292  prdsmet  24294  prdsbl  24418  prdsbnd  37323  rrnequiv  37365