Theorem prdsdsval3 17196

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsdsval3.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
prdsdsval3.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval3	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
9		prdsdsval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	prdsdsval2 17195	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
11		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
12		prdsdsval3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 6	prdsbascl 17194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5, 12, 7	prdsbascl 17194	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
15		prdsdsval3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
16	15	oveqi 7288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥))
17		ovres 7438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
18	16, 17	eqtrid 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
19	18	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
20	19	ral2imi 3082	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
21	13, 14, 20	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
22		mpteq12 5166	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
23	11, 21, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
24	23	rneqd 5847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
25	24	uneq1d 4096	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
26	25	supeq1d 9205	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
27	10, 26	eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3885  {csn 4561   ↦ cmpt 5157   × cxp 5587  ran crn 5590   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  supcsup 9199  0cc0 10871  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009  Basecbs 16912  distcds 16971  X_scprds 17156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-prds 17158

This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  23521  prdsmet  23523  prdsbl  23647  prdsbnd  35951  rrnequiv  35993