Theorem prdsdsval3 16352

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsdsval3.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
prdsdsval3.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval3	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		eqid 2771	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
9		prdsdsval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	prdsdsval2 16351	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
11		eqidd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
12		prdsdsval3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 6	prdsbascl 16350	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5, 12, 7	prdsbascl 16350	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
15		prdsdsval3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
16	15	oveqi 6805	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥))
17		ovres 6946	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
18	16, 17	syl5eq 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
19	18	ex 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
20	19	ral2imi 3096	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
21	13, 14, 20	sylc 65	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
22		mpteq12 4870	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
23	11, 21, 22	syl2anc 565	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
24	23	rneqd 5491	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
25	24	uneq1d 3917	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
26	25	supeq1d 8507	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
27	10, 26	eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061   ∪ cun 3721  {csn 4316   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ran crn 5250   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  supcsup 8501  0cc0 10137  ℝ^*cxr 10274   < clt 10275  Basecbs 16063  distcds 16157  X_scprds 16313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-ixp 8062  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-4 11282  df-5 11283  df-6 11284  df-7 11285  df-8 11286  df-9 11287  df-n0 11494  df-z 11579  df-dec 11695  df-uz 11888  df-fz 12533  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-hom 16173  df-cco 16174  df-prds 16315

This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  22392  prdsmet  22394  prdsbl  22515  prdsbnd  33920  rrnequiv  33962