MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval3 17368
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbasmpt2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsbasmpt2.r (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsdsval2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
prdsdsval3.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsval3.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))
prdsdsval3.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval3 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem prdsdsval3
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsbasmpt2.r . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6 prdsdsval2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 prdsdsval2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
8 eqid 2737 . . 3 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
9 prdsdsval3.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9prdsdsval2 17367 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
11 eqidd 2738 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐼)
12 prdsdsval3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
131, 2, 3, 4, 5, 12, 6prdsbascl 17366 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
141, 2, 3, 4, 5, 12, 7prdsbascl 17366 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
15 prdsdsval3.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))
1615oveqi 7371 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))(πΊβ€˜π‘₯))
17 ovres 7521 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
1816, 17eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
1918ex 414 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2019ral2imi 3089 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2113, 14, 20sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
22 mpteq12 5198 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2311, 21, 22syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2423rneqd 5894 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2524uneq1d 4123 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
2625supeq1d 9383 . 2 (πœ‘ β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
2710, 26eqtr4d 2780 1 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   βˆͺ cun 3909  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  supcsup 9377  0cc0 11052  β„*cxr 11189   < clt 11190  Basecbs 17084  distcds 17143  Xscprds 17328
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-prds 17330
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  23724  prdsmet  23726  prdsbl  23850  prdsbnd  36255  rrnequiv  36297
  Copyright terms: Public domain W3C validator