Theorem prdsdsval3 17570

Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
prdsbasmpt2.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
prdsbasmpt2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
prdsbasmpt2.r	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
prdsdsval2.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
prdsdsval3.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
prdsdsval3.e	⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
prdsdsval3.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
prdsdsval3	⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐾(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem prdsdsval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prdsbasmpt2.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2		prdsbasmpt2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
3		prdsbasmpt2.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝑉)
4		prdsbasmpt2.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		prdsbasmpt2.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6		prdsdsval2.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
7		prdsdsval2.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (dist‘𝑅) = (dist‘𝑅)
9		prdsdsval3.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	prdsdsval2 17569	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
11		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = 𝐼)
12		prdsdsval3.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
13	1, 2, 3, 4, 5, 12, 6	prdsbascl 17568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾)
14	1, 2, 3, 4, 5, 12, 7	prdsbascl 17568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾)
15		prdsdsval3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = ((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))
16	15	oveqi 7426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥))
17		ovres 7579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)((dist‘𝑅) ↾ (𝐾 × 𝐾))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
18	16, 17	eqtrid 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
19	18	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
20	19	ral2imi 3101	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐾 → (∀𝑥 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑥) ∈ 𝐾 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
21	13, 14, 20	sylc 66	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥)))
22		mpteq12 5193	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
23	11, 21, 22	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
24	23	rneqd 5922	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) = ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))))
25	24	uneq1d 4114	. . 3 ⊢ (𝜑 → (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}) = (ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}))
26	25	supeq1d 9416	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(dist‘𝑅)(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
27	10, 26	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)𝐸(𝐺‘𝑥))) ∪ {0}), ℝ*, < ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ∪ cun 3897  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5653  ran crn 5656   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  supcsup 9410  0cc0 11124  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  Basecbs 17301  distcds 17351  X_scprds 17530

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12737  df-uz 12888  df-fz 13562  df-struct 17239  df-slot 17274  df-ndx 17286  df-base 17302  df-plusg 17355  df-mulr 17356  df-sca 17358  df-vsca 17359  df-ip 17360  df-tset 17361  df-ple 17362  df-ds 17364  df-hom 17366  df-cco 17367  df-prds 17532

This theorem is used by:  prdsxmetlem  24594  prdsmet  24596  prdsbl  24717  prdsbnd  38543  rrnequiv  38585