MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsdsval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsdsval3 17440
Description: Value of the metric in a structure product. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
prdsbasmpt2.y π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
prdsbasmpt2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
prdsbasmpt2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
prdsbasmpt2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
prdsbasmpt2.r (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
prdsdsval2.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
prdsdsval2.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
prdsdsval3.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
prdsdsval3.e 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))
prdsdsval3.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
prdsdsval3 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝐷(π‘₯)   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐸(π‘₯)   𝐾(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)   𝑋(π‘₯)   π‘Œ(π‘₯)

Proof of Theorem prdsdsval3
StepHypRef Expression
1 prdsbasmpt2.y . . 3 π‘Œ = (𝑆Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
2 prdsbasmpt2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
3 prdsbasmpt2.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ 𝑉)
4 prdsbasmpt2.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 prdsbasmpt2.r . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 𝑅 ∈ 𝑋)
6 prdsdsval2.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
7 prdsdsval2.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
8 eqid 2726 . . 3 (distβ€˜π‘…) = (distβ€˜π‘…)
9 prdsdsval3.d . . 3 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9prdsdsval2 17439 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
11 eqidd 2727 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 = 𝐼)
12 prdsdsval3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
131, 2, 3, 4, 5, 12, 6prdsbascl 17438 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
141, 2, 3, 4, 5, 12, 7prdsbascl 17438 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
15 prdsdsval3.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = ((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))
1615oveqi 7418 . . . . . . . . . 10 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))(πΊβ€˜π‘₯))
17 ovres 7570 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)((distβ€˜π‘…) β†Ύ (𝐾 Γ— 𝐾))(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
1816, 17eqtrid 2778 . . . . . . . . 9 (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
1918ex 412 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2019ral2imi 3079 . . . . . . 7 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2113, 14, 20sylc 65 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯)))
22 mpteq12 5233 . . . . . 6 ((𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2311, 21, 22syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2423rneqd 5931 . . . 4 (πœ‘ β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) = ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))))
2524uneq1d 4157 . . 3 (πœ‘ β†’ (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}) = (ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}))
2625supeq1d 9443 . 2 (πœ‘ β†’ sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)(distβ€˜π‘…)(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
2710, 26eqtr4d 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)𝐸(πΊβ€˜π‘₯))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βˆͺ cun 3941  {csn 4623   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  supcsup 9437  0cc0 11112  β„*cxr 11251   < clt 11252  Basecbs 17153  distcds 17215  Xscprds 17400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-prds 17402
This theorem is referenced by:  prdsxmetlem  24229  prdsmet  24231  prdsbl  24355  prdsbnd  37174  rrnequiv  37216
  Copyright terms: Public domain W3C validator