MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsinvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsinvg 19083
Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m 𝑀 = (invg𝑅)
pwsinvg.n 𝑁 = (invg𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsinvg ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2734 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simp2 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐼𝑉)
3 fvexd 6921 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 fconst6g 6797 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
7 eqid 2734 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8 eqid 2734 . . . 4 (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
11 pwsgrp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2734 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 17532 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14133adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1514fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1610, 15eqtrid 2786 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
179, 16eleqtrd 2840 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
181, 2, 3, 6, 7, 8, 17prdsinvgd 19081 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))))
19 fvconst2g 7221 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
204, 19sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2120fveq2d 6910 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg𝑅))
22 pwsinvg.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝑅)
2321, 22eqtr4di 2792 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
2423fveq1d 6908 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥)) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
2524mpteq2dva 5247 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
2618, 25eqtrd 2774 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
27 pwsinvg.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
2814fveq2d 6910 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (invg𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2927, 28eqtrid 2786 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3029fveq1d 6908 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
31 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3211, 31, 10, 4, 2, 9pwselbas 17535 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3332ffvelcdmda 7103 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3432feqmptd 6976 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
3531, 22grpinvf 19016 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
364, 35syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
3736feqmptd 6976 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀𝑦)))
38 fveq2 6906 . . 3 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
3933, 34, 37, 38fmptco 7148 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
4026, 30, 393eqtr4d 2784 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  {csn 4630  cmpt 5230   × cxp 5686  ccom 5692  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  Scalarcsca 17300  Xscprds 17491  s cpws 17492  Grpcgrp 18963  invgcminusg 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17487  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967
This theorem is referenced by:  pwssub  19084
  Copyright terms: Public domain W3C validator