Theorem pwsinvg 19256

Description: Negation in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
pwsinvg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsinvg	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		fvexd 6898	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		simp1 1154	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		fconst6g 6769	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
11		pwsgrp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 17650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15	14	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	10, 15	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17	9, 16	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17	prdsinvgd 19254	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
19		fvconst2g 7206	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
20	4, 19	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
21	20	fveq2d 6887	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg‘𝑅))
22		pwsinvg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
23	21, 22	eqtr4di 2814	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
24	23	fveq1d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5198	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
26	18, 25	eqtrd 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
27		pwsinvg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
28	14	fveq2d 6887	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (invg‘𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
29	27, 28	eqtrid 2808	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
30	29	fveq1d 6885	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
31		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	11, 31, 10, 4, 2, 9	pwselbas 17653	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
33	32	ffvelcdmda 7082	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
34	32	feqmptd 6951	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
35	31, 22	grpinvf 19190	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
36	4, 35	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6951	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀‘𝑦)))
38		fveq2 6883	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑥) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
39	33, 34, 37, 38	fmptco 7128	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
40	26, 30, 39	3eqtr4d 2806	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649   ∘ ccom 5655  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424  X_scprds 17609   ↑_s cpws 17610  Grpcgrp 19137  inv_gcminusg 19138

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-grp 19140  df-minusg 19141

This theorem is used by:  pwssub  19257