Theorem pwsinvg 19027

Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgrp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
pwsinvg.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsinvg	⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simp2 1143	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		fvexd 6849	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		simp1 1142	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5		fconst6g 6723	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
7		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9		simp3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
10		pwsinvg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
11		pwsgrp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 17447	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	3adant3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
15	14	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	10, 15	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17	9, 16	eleqtrd 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
18	1, 2, 3, 6, 7, 8, 17	prdsinvgd 19025	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))))
19		fvconst2g 7153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
20	4, 19	sylan 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
21	20	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg‘𝑅))
22		pwsinvg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑅)
23	21, 22	eqtr4di 2793	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
24	23	fveq1d 6836	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥)) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
25	24	mpteq2dva 5172	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
26	18, 25	eqtrd 2775	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
27		pwsinvg.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑌)
28	14	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (invg‘𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
29	27, 28	eqtrid 2787	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
30	29	fveq1d 6836	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
31		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32	11, 31, 10, 4, 2, 9	pwselbas 17450	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
33	32	ffvelcdmda 7032	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
34	32	feqmptd 6902	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
35	31, 22	grpinvf 18960	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
36	4, 35	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6902	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀‘𝑦)))
38		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑋‘𝑥) → (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘(𝑋‘𝑥)))
39	33, 34, 37, 38	fmptco 7078	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∘ 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋‘𝑥))))
40	26, 30, 39	3eqtr4d 2785	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) = (𝑀 ∘ 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3432  {csn 4562   ↦ cmpt 5160   × cxp 5623   ∘ ccom 5629  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Scalarcsca 17221  X_scprds 17406   ↑_s cpws 17407  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17402  df-prds 17408  df-pws 17410  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911

This theorem is referenced by:  pwssub  19028