MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsinvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsinvg 18688
Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsinvg.m 𝑀 = (invg𝑅)
pwsinvg.n 𝑁 = (invg𝑌)
Assertion
Ref Expression
pwsinvg ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))

Proof of Theorem pwsinvg
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2738 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simp2 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐼𝑉)
3 fvexd 6789 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 simp1 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
5 fconst6g 6663 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Grp)
7 eqid 2738 . . . 4 (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8 eqid 2738 . . . 4 (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
9 simp3 1137 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
10 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑌)
11 pwsgrp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 17197 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14133adant3 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1514fveq2d 6778 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1610, 15eqtrid 2790 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
179, 16eleqtrd 2841 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
181, 2, 3, 6, 7, 8, 17prdsinvgd 18686 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))))
19 fvconst2g 7077 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
204, 19sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
2120fveq2d 6778 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (invg𝑅))
22 pwsinvg.m . . . . . 6 𝑀 = (invg𝑅)
2321, 22eqtr4di 2796 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = 𝑀)
2423fveq1d 6776 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥)) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
2524mpteq2dva 5174 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑥𝐼 ↦ ((invg‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))‘(𝑋𝑥))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
2618, 25eqtrd 2778 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
27 pwsinvg.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑌)
2814fveq2d 6778 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (invg𝑌) = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2927, 28eqtrid 2790 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑁 = (invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
3029fveq1d 6776 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = ((invg‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))‘𝑋))
31 eqid 2738 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3211, 31, 10, 4, 2, 9pwselbas 17200 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
3332ffvelrnda 6961 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
3432feqmptd 6837 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑋 = (𝑥𝐼 ↦ (𝑋𝑥)))
3531, 22grpinvf 18626 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
364, 35syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀:(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
3736feqmptd 6837 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → 𝑀 = (𝑦 ∈ (Base‘𝑅) ↦ (𝑀𝑦)))
38 fveq2 6774 . . 3 (𝑦 = (𝑋𝑥) → (𝑀𝑦) = (𝑀‘(𝑋𝑥)))
3933, 34, 37, 38fmptco 7001 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑀𝑋) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑀‘(𝑋𝑥))))
4026, 30, 393eqtr4d 2788 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) = (𝑀𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3432  {csn 4561  cmpt 5157   × cxp 5587  ccom 5593  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965  Xscprds 17156  s cpws 17157  Grpcgrp 18577  invgcminusg 18578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-fz 13240  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-hom 16986  df-cco 16987  df-0g 17152  df-prds 17158  df-pws 17160  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581
This theorem is referenced by:  pwssub  18689
  Copyright terms: Public domain W3C validator