MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsinvg Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsinvg 18972
Description: Negation in a group power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgrp.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsinvg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsinvg.m 𝑀 = (invgβ€˜π‘…)
pwsinvg.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
pwsinvg ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (𝑀 ∘ 𝑋))
Proof of Theorem pwsinvg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
2 simp2 1137 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 fvexd 6906 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
4 simp1 1136 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5 fconst6g 6780 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Grp)
7 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
8 eqid 2732 . . . 4 (invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
9 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 pwsinvg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
11 pwsgrp.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
12 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
1311, 12pwsval 17436 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
14133adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
1514fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
1610, 15eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
179, 16eleqtrd 2835 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
181, 2, 3, 6, 7, 8, 17prdsinvgd 18970 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
19 fvconst2g 7205 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
204, 19sylan 580 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
2120fveq2d 6895 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (invgβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = (invgβ€˜π‘…))
22 pwsinvg.m . . . . . 6 𝑀 = (invgβ€˜π‘…)
2321, 22eqtr4di 2790 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (invgβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = 𝑀)
2423fveq1d 6893 . . . 4 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((invgβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)) = (π‘€β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
2524mpteq2dva 5248 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((invgβ€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘€β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
2618, 25eqtrd 2772 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))β€˜π‘‹) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘€β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
27 pwsinvg.n . . . 4 𝑁 = (invgβ€˜π‘Œ)
2814fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (invgβ€˜π‘Œ) = (invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2927, 28eqtrid 2784 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑁 = (invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
3029fveq1d 6893 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))β€˜π‘‹))
31 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
3211, 31, 10, 4, 2, 9pwselbas 17439 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3332ffvelcdmda 7086 . . 3 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3432feqmptd 6960 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘₯)))
3531, 22grpinvf 18907 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ 𝑀:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
364, 35syl 17 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀:(Baseβ€˜π‘…)⟢(Baseβ€˜π‘…))
3736feqmptd 6960 . . 3 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 = (𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘…) ↦ (π‘€β€˜π‘¦)))
38 fveq2 6891 . . 3 (𝑦 = (π‘‹β€˜π‘₯) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(π‘‹β€˜π‘₯)))
3933, 34, 37, 38fmptco 7129 . 2 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 ∘ 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘€β€˜(π‘‹β€˜π‘₯))))
4026, 30, 393eqtr4d 2782 1 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘β€˜π‘‹) = (𝑀 ∘ 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204  Xscprds 17395   ↑s cpws 17396  Grpcgrp 18855  invgcminusg 18856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859
This theorem is referenced by:  pwssub  18973
  Copyright terms: Public domain W3C validator