MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws1 19992
Description: Value of the ring unity in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2737 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 17327 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
43fveq2d 6843 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5 eqid 2737 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
7 fvexd 6854 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8 fconst6g 6728 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
98adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
105, 6, 7, 9prds1 19990 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
11 fn0g 18477 . . . . . 6 0g Fn V
12 fnmgp 19856 . . . . . 6 mulGrp Fn V
13 ssv 3966 . . . . . . 7 ran mulGrp ⊆ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
15 fnco 6615 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1465 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17 df-ur 19872 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
1817fneq1i 6596 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1916, 18sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 1r Fn V)
20 elex 3461 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
22 fcoconst 7076 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
24 pws1.o . . . . 5 1 = (1r𝑅)
2524sneqi 4595 . . . 4 { 1 } = {(1r𝑅)}
2625xpeq2i 5658 . . 3 (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r𝑅)})
2723, 26eqtr4di 2795 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
284, 10, 273eqtr2rd 2784 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  wss 3908  {csn 4584   × cxp 5629  ran crn 5632  ccom 5635   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Scalarcsca 17095  0gc0g 17280  Xscprds 17286  s cpws 17287  mulGrpcmgp 19854  1rcur 19871  Ringcrg 19917
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-sup 9336  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-hom 17116  df-cco 17117  df-0g 17282  df-prds 17288  df-pws 17290  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-ring 19919
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  19995  evlsbagval  40663
  Copyright terms: Public domain W3C validator