MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pws1 20216
Description: Value of the ring unity in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— { 1 }) = (1rβ€˜π‘Œ))
Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2724 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17433 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
43fveq2d 6886 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
5 eqid 2724 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
6 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 fvexd 6897 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
8 fconst6g 6771 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Ring)
98adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Ring)
105, 6, 7, 9prds1 20214 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (1rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
11 fn0g 18588 . . . . . 6 0g Fn V
12 fnmgp 20033 . . . . . 6 mulGrp Fn V
13 ssv 3999 . . . . . . 7 ran mulGrp βŠ† V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ran mulGrp βŠ† V)
15 fnco 6658 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp βŠ† V) β†’ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1461 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17 df-ur 20079 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
1817fneq1i 6637 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1916, 18sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 1r Fn V)
20 elex 3485 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
2120adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ V)
22 fcoconst 7125 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)}))
2319, 21, 22syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)}))
24 pws1.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘…)
2524sneqi 4632 . . . 4 { 1 } = {(1rβ€˜π‘…)}
2625xpeq2i 5694 . . 3 (𝐼 Γ— { 1 }) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)})
2723, 26eqtr4di 2782 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— { 1 }))
284, 10, 273eqtr2rd 2771 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— { 1 }) = (1rβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466   βŠ† wss 3941  {csn 4621   Γ— cxp 5665  ran crn 5668   ∘ ccom 5671   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Scalarcsca 17201  0gc0g 17386  Xscprds 17392   ↑s cpws 17393  mulGrpcmgp 20031  1rcur 20078  Ringcrg 20130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12471  df-z 12557  df-dec 12676  df-uz 12821  df-fz 13483  df-struct 17081  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-0g 17388  df-prds 17394  df-pws 17396  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20219  evlsvvval  41628
  Copyright terms: Public domain W3C validator