Theorem pws1 19452

Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pws1.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem pws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pws1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2759	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 16832	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4	3	fveq2d 6668	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5		eqid 2759	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fvexd 6679	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8		fconst6g 6559	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
10	5, 6, 7, 9	prds1 19450	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
11		fn0g 17954	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
12		fnmgp 19324	. . . . . 6 ⊢ mulGrp Fn V
13		ssv 3919	. . . . . . 7 ⊢ ran mulGrp ⊆ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
15		fnco 6454	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
16	11, 12, 14, 15	mp3an12i 1463	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17		df-ur 19335	. . . . . 6 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
18	17	fneq1i 6437	. . . . 5 ⊢ (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
19	16, 18	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 1r Fn V)
20		elex 3429	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
21	20	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
22		fcoconst 6894	. . . 4 ⊢ ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)}))
23	19, 21, 22	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)}))
24		pws1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
25	24	sneqi 4537	. . . 4 ⊢ { 1 } = {(1r‘𝑅)}
26	25	xpeq2i 5556	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)})
27	23, 26	eqtr4di 2812	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
28	4, 10, 27	3eqtr2rd 2801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3861  {csn 4526   × cxp 5527  ran crn 5530   ∘ ccom 5533   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Scalarcsca 16641  0_gc0g 16786  X_scprds 16792   ↑_s cpws 16793  mulGrpcmgp 19322  1_rcur 19334  Ringcrg 19380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-sup 8953  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-fz 12954  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-hom 16662  df-cco 16663  df-0g 16788  df-prds 16794  df-pws 16796  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  39814  evlsbagval  39820