MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pws1 20137
Description: Value of the ring unity in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— { 1 }) = (1rβ€˜π‘Œ))
Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2732 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17431 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
43fveq2d 6895 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
5 eqid 2732 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
6 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 fvexd 6906 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
8 fconst6g 6780 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Ring)
98adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Ring)
105, 6, 7, 9prds1 20135 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (1rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
11 fn0g 18581 . . . . . 6 0g Fn V
12 fnmgp 19988 . . . . . 6 mulGrp Fn V
13 ssv 4006 . . . . . . 7 ran mulGrp βŠ† V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ran mulGrp βŠ† V)
15 fnco 6667 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp βŠ† V) β†’ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1465 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17 df-ur 20004 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
1817fneq1i 6646 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1916, 18sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 1r Fn V)
20 elex 3492 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ V)
22 fcoconst 7131 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)}))
2319, 21, 22syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)}))
24 pws1.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘…)
2524sneqi 4639 . . . 4 { 1 } = {(1rβ€˜π‘…)}
2625xpeq2i 5703 . . 3 (𝐼 Γ— { 1 }) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)})
2723, 26eqtr4di 2790 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— { 1 }))
284, 10, 273eqtr2rd 2779 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— { 1 }) = (1rβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  {csn 4628   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  Xscprds 17390   ↑s cpws 17391  mulGrpcmgp 19986  1rcur 20003  Ringcrg 20055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20140  evlsvvval  41137
  Copyright terms: Public domain W3C validator