Theorem pws1 20290

Description: Value of the ring unity in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pws1.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem pws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pws1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17505	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4	3	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fvexd 6896	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8		fconst6g 6772	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
10	5, 6, 7, 9	prds1 20288	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
11		fn0g 18646	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
12		fnmgp 20107	. . . . . 6 ⊢ mulGrp Fn V
13		ssv 3988	. . . . . . 7 ⊢ ran mulGrp ⊆ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
15		fnco 6661	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
16	11, 12, 14, 15	mp3an12i 1467	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17		df-ur 20147	. . . . . 6 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
18	17	fneq1i 6640	. . . . 5 ⊢ (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
19	16, 18	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 1r Fn V)
20		elex 3485	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
22		fcoconst 7129	. . . 4 ⊢ ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)}))
23	19, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)}))
24		pws1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
25	24	sneqi 4617	. . . 4 ⊢ { 1 } = {(1r‘𝑅)}
26	25	xpeq2i 5686	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)})
27	23, 26	eqtr4di 2789	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
28	4, 10, 27	3eqtr2rd 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606   × cxp 5657  ran crn 5660   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Scalarcsca 17279  0_gc0g 17458  X_scprds 17464   ↑_s cpws 17465  mulGrpcmgp 20105  1_rcur 20146  Ringcrg 20198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mgp 20106  df-ur 20147  df-ring 20200

This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20293  evlsvvval  42553