Theorem pws1 20547

Description: Value of the ring unity in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pws1.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws1.o	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws1	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r‘𝑌))

Proof of Theorem pws1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pws1.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17650	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4	3	fveq2d 6887	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r‘𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
7		fvexd 6898	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8		fconst6g 6769	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
10	5, 6, 7, 9	prds1 20545	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
11		fn0g 18836	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
12		fnmgp 20355	. . . . . 6 ⊢ mulGrp Fn V
13		ssv 3955	. . . . . . 7 ⊢ ran mulGrp ⊆ V
14	13	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
15		fnco 6655	. . . . . 6 ⊢ ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
16	11, 12, 14, 15	mp3an12i 1494	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17		df-ur 20401	. . . . . 6 ⊢ 1r = (0g ∘ mulGrp)
18	17	fneq1i 6634	. . . . 5 ⊢ (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
19	16, 18	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 1r Fn V)
20		elex 3472	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
21	20	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ V)
22		fcoconst 7133	. . . 4 ⊢ ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)}))
23	19, 21, 22	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)}))
24		pws1.o	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
25	24	sneqi 4595	. . . 4 ⊢ { 1 } = {(1r‘𝑅)}
26	25	xpeq2i 5678	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r‘𝑅)})
27	23, 26	eqtr4di 2814	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
28	4, 10, 27	3eqtr2rd 2803	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r‘𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  {csn 4584   × cxp 5649  ran crn 5652   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  Scalarcsca 17424  0_gc0g 17603  X_scprds 17609   ↑_s cpws 17610  mulGrpcmgp 20353  1_rcur 20400  Ringcrg 20452

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mgp 20354  df-ur 20401  df-ring 20454

This theorem is used by:  pwspjmhmmgpd  20550  evlsvvval  22395