Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws1 19452
 Description: Value of the ring unit in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws1.o 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
2 eqid 2759 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
31, 2pwsval 16832 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
43fveq2d 6668 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r𝑌) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
5 eqid 2759 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
6 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
7 fvexd 6679 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
8 fconst6g 6559 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
98adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Ring)
105, 6, 7, 9prds1 19450 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (1r‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
11 fn0g 17954 . . . . . 6 0g Fn V
12 fnmgp 19324 . . . . . 6 mulGrp Fn V
13 ssv 3919 . . . . . . 7 ran mulGrp ⊆ V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → ran mulGrp ⊆ V)
15 fnco 6454 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp ⊆ V) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1463 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17 df-ur 19335 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
1817fneq1i 6437 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1916, 18sylibr 237 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 1r Fn V)
20 elex 3429 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ V)
2120adantr 484 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → 𝑅 ∈ V)
22 fcoconst 6894 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
2319, 21, 22syl2anc 587 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(1r𝑅)}))
24 pws1.o . . . . 5 1 = (1r𝑅)
2524sneqi 4537 . . . 4 { 1 } = {(1r𝑅)}
2625xpeq2i 5556 . . 3 (𝐼 × { 1 }) = (𝐼 × {(1r𝑅)})
2723, 26eqtr4di 2812 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (1r ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × { 1 }))
284, 10, 273eqtr2rd 2801 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 1 }) = (1r𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  Vcvv 3410   ⊆ wss 3861  {csn 4526   × cxp 5527  ran crn 5530   ∘ ccom 5533   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Scalarcsca 16641  0gc0g 16786  Xscprds 16792   ↑s cpws 16793  mulGrpcmgp 19322  1rcur 19334  Ringcrg 19380 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-map 8425  df-ixp 8494  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-sup 8953  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-4 11753  df-5 11754  df-6 11755  df-7 11756  df-8 11757  df-9 11758  df-n0 11949  df-z 12035  df-dec 12152  df-uz 12297  df-fz 12954  df-struct 16558  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-sca 16654  df-vsca 16655  df-ip 16656  df-tset 16657  df-ple 16658  df-ds 16660  df-hom 16662  df-cco 16663  df-0g 16788  df-prds 16794  df-pws 16796  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382 This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  39814  evlsbagval  39820
 Copyright terms: Public domain W3C validator