MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws1 20255
Description: Value of the ring unity in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pws1.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws1.o 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
pws1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— { 1 }) = (1rβ€˜π‘Œ))

Proof of Theorem pws1
StepHypRef Expression
1 pws1.y . . . 4 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2728 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17462 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
43fveq2d 6896 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
5 eqid 2728 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
6 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 fvexd 6907 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
8 fconst6g 6781 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Ring)
98adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢Ring)
105, 6, 7, 9prds1 20253 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (1rβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
11 fn0g 18617 . . . . . 6 0g Fn V
12 fnmgp 20070 . . . . . 6 mulGrp Fn V
13 ssv 4003 . . . . . . 7 ran mulGrp βŠ† V
1413a1i 11 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ran mulGrp βŠ† V)
15 fnco 6667 . . . . . 6 ((0g Fn V ∧ mulGrp Fn V ∧ ran mulGrp βŠ† V) β†’ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1611, 12, 14, 15mp3an12i 1462 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
17 df-ur 20116 . . . . . 6 1r = (0g ∘ mulGrp)
1817fneq1i 6646 . . . . 5 (1r Fn V ↔ (0g ∘ mulGrp) Fn V)
1916, 18sylibr 233 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 1r Fn V)
20 elex 3489 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ V)
2120adantr 480 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝑅 ∈ V)
22 fcoconst 7138 . . . 4 ((1r Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)}))
2319, 21, 22syl2anc 583 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)}))
24 pws1.o . . . . 5 1 = (1rβ€˜π‘…)
2524sneqi 4636 . . . 4 { 1 } = {(1rβ€˜π‘…)}
2625xpeq2i 5700 . . 3 (𝐼 Γ— { 1 }) = (𝐼 Γ— {(1rβ€˜π‘…)})
2723, 26eqtr4di 2786 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (1r ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— { 1 }))
284, 10, 273eqtr2rd 2775 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— { 1 }) = (1rβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3470   βŠ† wss 3945  {csn 4625   Γ— cxp 5671  ran crn 5674   ∘ ccom 5677   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7415  Scalarcsca 17230  0gc0g 17415  Xscprds 17421   ↑s cpws 17422  mulGrpcmgp 20068  1rcur 20115  Ringcrg 20167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-map 8841  df-ixp 8911  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mgp 20069  df-ur 20116  df-ring 20169
This theorem is referenced by:  pwspjmhmmgpd  20258  evlsvvval  41787
  Copyright terms: Public domain W3C validator