MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgsum 19767
Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsum.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
pwsgsum.z 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
pwsgsum.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgsum.j (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
pwsgsum.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
pwsgsum.w (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
pwsgsum (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐡   π‘₯,𝐼,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦   π‘₯, 0 ,𝑦   π‘₯,𝐽,𝑦   π‘₯,𝑅,𝑦   π‘₯,π‘Œ,𝑦
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝑉(π‘₯,𝑦)   π‘Š(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum
StepHypRef Expression
1 pwsgsum.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2 pwsgsum.i . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
3 pwsgsum.y . . . . 5 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
4 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
53, 4pwsval 17376 . . . 4 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
61, 2, 5syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
76oveq1d 7376 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))))
8 fconstmpt 5698 . . . 4 (𝐼 Γ— {𝑅}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
98oveq2i 7372 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10 pwsgsum.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
11 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (0gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
12 pwsgsum.j . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ π‘Š)
13 fvexd 6861 . . 3 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
141adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
15 pwsgsum.f . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐡)
16 pwsgsum.w . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp 0 )
17 pwsgsum.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘Œ)
186fveq2d 6850 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
1917, 18eqtrid 2785 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 = (0gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2016, 19breqtrd 5135 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ)) finSupp (0gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
219, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20prdsgsum 19766 . 2 (πœ‘ β†’ (((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
227, 21eqtrd 2773 1 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ π‘ˆ))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ π‘ˆ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  {csn 4590   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329   Ξ£g cgsu 17330  Xscprds 17335   ↑s cpws 17336  CMndccmn 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-hash 14240  df-struct 17027  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-prds 17337  df-pws 17339  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-cntz 19105  df-cmn 19572
This theorem is referenced by:  frlmgsum  21201  plypf1  25596  evls1fpws  32327
  Copyright terms: Public domain W3C validator