Theorem pwsgsum 20015

Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
pwsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2		pwsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		pwsgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5	3, 4	pwsval 17533	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
6	1, 2, 5	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	6	oveq1d 7446	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		fconstmpt 5751	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7442	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10		pwsgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2735	. . 3 ⊢ (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12		pwsgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		fvexd 6922	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
14	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
15		pwsgsum.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16		pwsgsum.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
17		pwsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
18	6	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19	17, 18	eqtrid 2787	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
20	16, 19	breqtrd 5174	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
21	9, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20	prdsgsum 20014	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
22	7, 21	eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  X_scprds 17492   ↑_s cpws 17493  CMndccmn 19813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-cntz 19348  df-cmn 19815

This theorem is referenced by:  frlmgsum  21810  evls1fpws  22389  plypf1  26266  evlsvvval  42550