Theorem pwsgsum 19949

Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
pwsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2		pwsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		pwsgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5	3, 4	pwsval 17471	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
6	1, 2, 5	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	6	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		fconstmpt 5740	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7430	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10		pwsgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2725	. . 3 ⊢ (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12		pwsgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		fvexd 6911	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
14	1	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
15		pwsgsum.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16		pwsgsum.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
17		pwsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
18	6	fveq2d 6900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19	17, 18	eqtrid 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
20	16, 19	breqtrd 5175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
21	9, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20	prdsgsum 19948	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
22	7, 21	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461  {csn 4630   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   finSupp cfsupp 9387  Basecbs 17183  Scalarcsca 17239  0_gc0g 17424   Σ_g cgsu 17425  X_scprds 17430   ↑_s cpws 17431  CMndccmn 19747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-hash 14326  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-cntz 19280  df-cmn 19749

This theorem is referenced by:  frlmgsum  21723  evls1fpws  22313  plypf1  26191  evlsvvval  41931