MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgsum 20000
Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsum.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z 0 = (0g𝑌)
pwsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgsum.r (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
pwsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum
StepHypRef Expression
1 pwsgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2 pwsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 pwsgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
4 eqid 2737 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
53, 4pwsval 17531 . . . 4 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
61, 2, 5syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
76oveq1d 7446 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 fconstmpt 5747 . . . 4 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 7442 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
10 pwsgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2737 . . 3 (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12 pwsgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 fvexd 6921 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
141adantr 480 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
15 pwsgsum.f . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
16 pwsgsum.w . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
17 pwsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
186fveq2d 6910 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1917, 18eqtrid 2789 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2016, 19breqtrd 5169 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
219, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20prdsgsum 19999 . 2 (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
227, 21eqtrd 2777 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431   finSupp cfsupp 9401  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Xscprds 17490  s cpws 17491  CMndccmn 19798
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-cntz 19335  df-cmn 19800
This theorem is referenced by:  frlmgsum  21792  evls1fpws  22373  plypf1  26251  evlsvvval  42573
  Copyright terms: Public domain W3C validator