Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgsum 19098
 Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsum.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z 0 = (0g𝑌)
pwsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgsum.r (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
pwsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum
StepHypRef Expression
1 pwsgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2 pwsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 pwsgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
53, 4pwsval 16753 . . . 4 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
61, 2, 5syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
76oveq1d 7150 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 fconstmpt 5578 . . . 4 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 7146 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
10 pwsgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2798 . . 3 (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12 pwsgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 fvexd 6660 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
141adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
15 pwsgsum.f . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
16 pwsgsum.w . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
17 pwsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
186fveq2d 6649 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1917, 18syl5eq 2845 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2016, 19breqtrd 5056 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
219, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20prdsgsum 19097 . 2 (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
227, 21eqtrd 2833 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441  {csn 4525   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110   × cxp 5517  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   finSupp cfsupp 8819  Basecbs 16477  Scalarcsca 16562  0gc0g 16707   Σg cgsu 16708  Xscprds 16713   ↑s cpws 16714  CMndccmn 18901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-supp 7816  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-ixp 8447  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-fsupp 8820  df-sup 8892  df-oi 8960  df-card 9354  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-4 11692  df-5 11693  df-6 11694  df-7 11695  df-8 11696  df-9 11697  df-n0 11888  df-z 11972  df-dec 12089  df-uz 12234  df-fz 12888  df-fzo 13031  df-seq 13367  df-hash 13689  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-ip 16577  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-hom 16583  df-cco 16584  df-0g 16709  df-gsum 16710  df-prds 16715  df-pws 16717  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-cntz 18442  df-cmn 18903 This theorem is referenced by:  frlmgsum  20465  plypf1  24816
 Copyright terms: Public domain W3C validator