MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsgsum 18864
Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsgsum.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z 0 = (0g𝑌)
pwsgsum.i (𝜑𝐼𝑉)
pwsgsum.j (𝜑𝐽𝑊)
pwsgsum.r (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
pwsgsum.w (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
Assertion
Ref Expression
pwsgsum (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum
StepHypRef Expression
1 pwsgsum.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
2 pwsgsum.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
3 pwsgsum.y . . . . 5 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
4 eqid 2780 . . . . 5 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
53, 4pwsval 16621 . . . 4 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
61, 2, 5syl2anc 576 . . 3 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
76oveq1d 6997 . 2 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))))
8 fconstmpt 5468 . . . 4 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 6993 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
10 pwsgsum.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
11 eqid 2780 . . 3 (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12 pwsgsum.j . . 3 (𝜑𝐽𝑊)
13 fvexd 6519 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
141adantr 473 . . 3 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
15 pwsgsum.f . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐼𝑦𝐽)) → 𝑈𝐵)
16 pwsgsum.w . . . 4 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp 0 )
17 pwsgsum.z . . . . 5 0 = (0g𝑌)
186fveq2d 6508 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1917, 18syl5eq 2828 . . . 4 (𝜑0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
2016, 19breqtrd 4960 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
219, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20prdsgsum 18863 . 2 (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
227, 21eqtrd 2816 1 (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦𝐽 ↦ (𝑥𝐼𝑈))) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦𝐽𝑈))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  Vcvv 3417  {csn 4444   class class class wbr 4934  cmpt 5013   × cxp 5409  cfv 6193  (class class class)co 6982   finSupp cfsupp 8634  Basecbs 16345  Scalarcsca 16430  0gc0g 16575   Σg cgsu 16576  Xscprds 16581  s cpws 16582  CMndccmn 18678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-sup 8707  df-oi 8775  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-seq 13191  df-hash 13512  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-hom 16451  df-cco 16452  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-prds 16583  df-pws 16585  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-cntz 18230  df-cmn 18680
This theorem is referenced by:  frlmgsum  20633  plypf1  24520
  Copyright terms: Public domain W3C validator