Theorem pwsgsum 18864

Description: Finite commutative sums in a power structure are taken componentwise. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jul-2015.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsgsum.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
pwsgsum.z	⊢ 0 = (0g‘𝑌)
pwsgsum.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
pwsgsum.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
pwsgsum.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
pwsgsum.f	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
pwsgsum.w	⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )

Assertion

Ref	Expression
pwsgsum	⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐼,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦   𝑥, 0 ,𝑦   𝑥,𝐽,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑌,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem pwsgsum

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsgsum.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
2		pwsgsum.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		pwsgsum.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
4		eqid 2780	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
5	3, 4	pwsval 16621	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
6	1, 2, 5	syl2anc 576	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	6	oveq1d 6997	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))))
8		fconstmpt 5468	. . . 4 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 6993	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10		pwsgsum.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
11		eqid 2780	. . 3 ⊢ (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
12		pwsgsum.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝑊)
13		fvexd 6519	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
14	1	adantr 473	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
15		pwsgsum.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑈 ∈ 𝐵)
16		pwsgsum.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp 0 )
17		pwsgsum.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑌)
18	6	fveq2d 6508	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19	17, 18	syl5eq 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
20	16, 19	breqtrd 4960	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈)) finSupp (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
21	9, 10, 11, 2, 12, 13, 14, 15, 20	prdsgsum 18863	. 2 ⊢ (𝜑 → (((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))
22	7, 21	eqtrd 2816	1 ⊢ (𝜑 → (𝑌 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑈))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑦 ∈ 𝐽 ↦ 𝑈))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   = wceq 1508   ∈ wcel 2051  Vcvv 3417  {csn 4444   class class class wbr 4934   ↦ cmpt 5013   × cxp 5409  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982   finSupp cfsupp 8634  Basecbs 16345  Scalarcsca 16430  0_gc0g 16575   Σ_g cgsu 16576  X_scprds 16581   ↑_s cpws 16582  CMndccmn 18678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-se 5371  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-isom 6202  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-supp 7640  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-ixp 8266  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-fsupp 8635  df-sup 8707  df-oi 8775  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-4 11511  df-5 11512  df-6 11513  df-7 11514  df-8 11515  df-9 11516  df-n0 11714  df-z 11800  df-dec 11918  df-uz 12065  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-seq 13191  df-hash 13512  df-struct 16347  df-ndx 16348  df-slot 16349  df-base 16351  df-plusg 16440  df-mulr 16441  df-sca 16443  df-vsca 16444  df-ip 16445  df-tset 16446  df-ple 16447  df-ds 16449  df-hom 16451  df-cco 16452  df-0g 16577  df-gsum 16578  df-prds 16583  df-pws 16585  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-mhm 17815  df-cntz 18230  df-cmn 18680

This theorem is referenced by:  frlmgsum  20633  plypf1  24520