Theorem pwsxms 24744

Description: A power of an extended metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwsms.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsxms	⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem pwsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsms.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2765	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17565	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		fvexd 6900	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
6		fconst6g 6771	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶∞MetSp)
7	6	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶∞MetSp)
8		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
9	8	prdsxms 24742	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ ∞MetSp)
10	4, 5, 7, 9	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ ∞MetSp)
11	3, 10	eqeltrd 2865	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  {csn 4591   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Fincfn 8949  Scalarcsca 17339  X_scprds 17524   ↑_s cpws 17525  ∞MetSpcxms 24529

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11175  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196  ax-pre-sup 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8902  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-fi 9378  df-sup 9409  df-inf 9410  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11891  df-nn 12253  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12732  df-uz 12883  df-q 12993  df-rp 13037  df-xneg 13157  df-xadd 13158  df-xmul 13159  df-icc 13399  df-fz 13556  df-struct 17233  df-slot 17268  df-ndx 17280  df-base 17296  df-plusg 17349  df-mulr 17350  df-sca 17352  df-vsca 17353  df-ip 17354  df-tset 17355  df-ple 17356  df-ds 17358  df-hom 17360  df-cco 17361  df-rest 17501  df-topn 17502  df-topgen 17522  df-pt 17523  df-prds 17526  df-pws 17528  df-psmet 21568  df-xmet 21569  df-bl 21571  df-mopn 21572  df-top 23105  df-topon 23122  df-topsp 23144  df-bases 23157  df-xms 24532

This theorem is used by: (None)