![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > pwsxms | Structured version Visualization version GIF version |
Description: A power of an extended metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.) |
Ref | Expression |
---|---|
pwsms.y | โข ๐ = (๐ โs ๐ผ) |
Ref | Expression |
---|---|
pwsxms | โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ ๐ โ โMetSp) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | pwsms.y | . . 3 โข ๐ = (๐ โs ๐ผ) | |
2 | eqid 2736 | . . 3 โข (Scalarโ๐ ) = (Scalarโ๐ ) | |
3 | 1, 2 | pwsval 17368 | . 2 โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ ๐ = ((Scalarโ๐ )Xs(๐ผ ร {๐ }))) |
4 | fvexd 6857 | . . 3 โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ (Scalarโ๐ ) โ V) | |
5 | simpr 485 | . . 3 โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ ๐ผ โ Fin) | |
6 | fconst6g 6731 | . . . 4 โข (๐ โ โMetSp โ (๐ผ ร {๐ }):๐ผโถโMetSp) | |
7 | 6 | adantr 481 | . . 3 โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ (๐ผ ร {๐ }):๐ผโถโMetSp) |
8 | eqid 2736 | . . . 4 โข ((Scalarโ๐ )Xs(๐ผ ร {๐ })) = ((Scalarโ๐ )Xs(๐ผ ร {๐ })) | |
9 | 8 | prdsxms 23886 | . . 3 โข (((Scalarโ๐ ) โ V โง ๐ผ โ Fin โง (๐ผ ร {๐ }):๐ผโถโMetSp) โ ((Scalarโ๐ )Xs(๐ผ ร {๐ })) โ โMetSp) |
10 | 4, 5, 7, 9 | syl3anc 1371 | . 2 โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ ((Scalarโ๐ )Xs(๐ผ ร {๐ })) โ โMetSp) |
11 | 3, 10 | eqeltrd 2837 | 1 โข ((๐ โ โMetSp โง ๐ผ โ Fin) โ ๐ โ โMetSp) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 396 = wceq 1541 โ wcel 2106 Vcvv 3445 {csn 4586 ร cxp 5631 โถwf 6492 โcfv 6496 (class class class)co 7357 Fincfn 8883 Scalarcsca 17136 Xscprds 17327 โs cpws 17328 โMetSpcxms 23670 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-er 8648 df-map 8767 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-icc 13271 df-fz 13425 df-struct 17019 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-pws 17331 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-xms 23673 |
This theorem is referenced by: (None) |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |