Theorem pwsxms 24516

Description: A power of an extended metric space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwsms.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsxms	⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)

Proof of Theorem pwsxms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsms.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17441	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		fvexd 6843	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
6		fconst6g 6717	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ∞MetSp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶∞MetSp)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶∞MetSp)
8		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
9	8	prdsxms 24514	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶∞MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ ∞MetSp)
10	4, 5, 7, 9	syl3anc 1379	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ ∞MetSp)
11	3, 10	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑅 ∈ ∞MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  {csn 4556   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Fincfn 8884  Scalarcsca 17215  X_scprds 17400   ↑_s cpws 17401  ∞MetSpcxms 24301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-q 12891  df-rp 12935  df-xneg 13055  df-xadd 13056  df-xmul 13057  df-icc 13297  df-fz 13454  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-hom 17236  df-cco 17237  df-rest 17377  df-topn 17378  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-pws 17404  df-psmet 21340  df-xmet 21341  df-bl 21343  df-mopn 21344  df-top 22878  df-topon 22895  df-topsp 22917  df-bases 22930  df-xms 24304

This theorem is referenced by: (None)