Theorem pwsvscafval 17496

Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		pwsvscaval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		pwsvscaval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwsvscaval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsvscaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	1, 8	eqtrid 2799	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	oveqd 7398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋))
11		eqid 2752	. . 3 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))
12		eqid 2752	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		eqid 2752	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
14		pwsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	5	fvexi 6866	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		fnconstg 6737	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
18	2, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
19		pwsvscaval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		pwsvscaval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
22	7	fveq2d 6856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
23	21, 22	eqtrid 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
24	20, 23	eleqtrd 2854	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	11, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24	prdsvscaval 17480	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))))
26		fvconst2g 7171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
27	2, 26	sylan 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
28	27	fveq2d 6856	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘𝑅))
29		pwsvscaval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
30	28, 29	eqtr4di 2805	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
31	30	oveqd 7398	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑋‘𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5183	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
33	19	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
34		fvexd 6867	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ V)
35		fconstmpt 5698	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	4, 37, 21, 2, 3, 20	pwselbas 17490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6920	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
40	3, 33, 34, 36, 39	offval2 7665	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
41	32, 40	eqtr4d 2790	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
42	10, 25, 41	3eqtrd 2791	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  Vcvv 3444  {csn 4572   ↦ cmpt 5171   × cxp 5634   Fn wfn 6501  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381   ∘_f cof 7643  Basecbs 17217  Scalarcsca 17261   ·_𝑠 cvsca 17262  X_scprds 17446   ↑_s cpws 17447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-of 7645  df-om 7832  df-1st 7955  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-1o 8421  df-er 8662  df-map 8794  df-ixp 8865  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-sup 9374  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-9 12273  df-n0 12468  df-z 12555  df-dec 12675  df-uz 12826  df-fz 13499  df-struct 17155  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-hom 17282  df-cco 17283  df-prds 17448  df-pws 17450

This theorem is referenced by:  pwsvscaval  17497  pwsdiaglmhm  21093  pwssplit3  21097  frlmvscafval  21787  mhphf2  43118