Theorem pwsvscafval 17672

Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		pwsvscaval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		pwsvscaval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwsvscaval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsvscaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17663	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	1, 8	eqtrid 2807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	oveqd 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋))
11		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))
12		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
14		pwsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	5	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		fnconstg 6771	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
18	2, 17	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
19		pwsvscaval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		pwsvscaval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
22	7	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
23	21, 22	eqtrid 2807	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
24	20, 23	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	11, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24	prdsvscaval 17656	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))))
26		fvconst2g 7209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
27	2, 26	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
28	27	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘𝑅))
29		pwsvscaval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
30	28, 29	eqtr4di 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
31	30	oveqd 7438	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑋‘𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5197	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
33	19	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
34		fvexd 6901	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ V)
35		fconstmpt 5712	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	4, 37, 21, 2, 3, 20	pwselbas 17666	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
40	3, 33, 34, 36, 39	offval2 7714	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
41	32, 40	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
42	10, 25, 41	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584   ↦ cmpt 5185   × cxp 5648   Fn wfn 6534  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  X_scprds 17622   ↑_s cpws 17623

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-fz 13644  df-struct 17331  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-hom 17458  df-cco 17459  df-prds 17624  df-pws 17626

This theorem is used by:  pwsvscaval  17673  pwsdiaglmhm  21338  pwssplit3  21342  frlmvscafval  22078  mhphf2  43720