Theorem pwsvscafval 17554

Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		pwsvscaval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		pwsvscaval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwsvscaval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsvscaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17546	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	1, 8	eqtrid 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	oveqd 7465	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋))
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))
12		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		eqid 2740	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
14		pwsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	5	fvexi 6934	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		fnconstg 6809	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
18	2, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
19		pwsvscaval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		pwsvscaval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
22	7	fveq2d 6924	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
23	21, 22	eqtrid 2792	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
24	20, 23	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	11, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24	prdsvscaval 17539	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))))
26		fvconst2g 7239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
27	2, 26	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
28	27	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘𝑅))
29		pwsvscaval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
30	28, 29	eqtr4di 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
31	30	oveqd 7465	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑋‘𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5266	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
33	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
34		fvexd 6935	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ V)
35		fconstmpt 5762	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	4, 37, 21, 2, 3, 20	pwselbas 17549	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6990	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
40	3, 33, 34, 36, 39	offval2 7734	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
41	32, 40	eqtr4d 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
42	10, 25, 41	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  X_scprds 17505   ↑_s cpws 17506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-prds 17507  df-pws 17509

This theorem is referenced by:  pwsvscaval  17555  pwsdiaglmhm  21079  pwssplit3  21083  frlmvscafval  21809  mhphf2  42553