Theorem pwsvscafval 17458

Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsvscaval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsvscaval.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
pwsvscaval.t	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
pwsvscaval.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
pwsvscaval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
pwsvscaval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsvscaval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
pwsvscafval	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsvscaval.t	. . . 4 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘𝑌)
2		pwsvscaval.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
3		pwsvscaval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
4		pwsvscaval.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		pwsvscaval.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17449	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
8	7	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ·𝑠 ‘𝑌) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
9	1, 8	eqtrid 2783	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∙ = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
10	9	oveqd 7384	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))
12		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
13		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))) = ( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))
14		pwsvscaval.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
15	5	fvexi 6854	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
16	15	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
17		fnconstg 6728	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
18	2, 17	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
19		pwsvscaval.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
20		pwsvscaval.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
21		pwsvscaval.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
22	7	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
23	21, 22	eqtrid 2783	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
24	20, 23	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	11, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24	prdsvscaval 17442	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴( ·𝑠 ‘(𝐹Xs(𝐼 × {𝑅})))𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))))
26		fvconst2g 7157	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
27	2, 26	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
28	27	fveq2d 6844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = ( ·𝑠 ‘𝑅))
29		pwsvscaval.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑅)
30	28, 29	eqtr4di 2789	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = · )
31	30	oveqd 7384	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥)) = (𝐴 · (𝑋‘𝑥)))
32	31	mpteq2dva 5178	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
33	19	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝐾)
34		fvexd 6855	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑋‘𝑥) ∈ V)
35		fconstmpt 5693	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝐴}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
38	4, 37, 21, 2, 3, 20	pwselbas 17452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6908	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑋‘𝑥)))
40	3, 33, 34, 36, 39	offval2 7651	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 · (𝑋‘𝑥))))
41	32, 40	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 ‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝑋‘𝑥))) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))
42	10, 25, 41	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∙ 𝑋) = ((𝐼 × {𝐴}) ∘f · 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429  {csn 4567   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629   Fn wfn 6493  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_f cof 7629  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  X_scprds 17408   ↑_s cpws 17409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-prds 17410  df-pws 17412

This theorem is referenced by:  pwsvscaval  17459  pwsdiaglmhm  21052  pwssplit3  21056  frlmvscafval  21746  mhphf2  43031