MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsvscafval 17377
Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsvscaval.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsvscaval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
pwsvscaval.t βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
pwsvscaval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
pwsvscaval.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
pwsvscaval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
pwsvscaval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pwsvscafval (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsvscaval.t . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
2 pwsvscaval.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
3 pwsvscaval.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4 pwsvscaval.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
5 pwsvscaval.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
64, 5pwsval 17369 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
72, 3, 6syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
87fveq2d 6847 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
91, 8eqtrid 2789 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
109oveqd 7375 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝑋))
11 eqid 2737 . . 3 (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
12 eqid 2737 . . 3 (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
13 eqid 2737 . . 3 ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
14 pwsvscaval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
155fvexi 6857 . . . 4 𝐹 ∈ V
1615a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
17 fnconstg 6731 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
182, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
19 pwsvscaval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
20 pwsvscaval.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 pwsvscaval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
227fveq2d 6847 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2321, 22eqtrid 2789 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2420, 23eleqtrd 2840 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2511, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24prdsvscaval 17362 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯))))
26 fvconst2g 7152 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
272, 26sylan 581 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
2827fveq2d 6847 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = ( ·𝑠 β€˜π‘…))
29 pwsvscaval.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
3028, 29eqtr4di 2795 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = Β· )
3130oveqd 7375 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯)) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))
3231mpteq2dva 5206 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
3319adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
34 fvexd 6858 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ V)
35 fconstmpt 5695 . . . . 5 (𝐼 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
384, 37, 21, 2, 3, 20pwselbas 17372 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938feqmptd 6911 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘₯)))
403, 33, 34, 36, 39offval2 7638 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
4132, 40eqtr4d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯))) = ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋))
4210, 25, 413eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3446  {csn 4587   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632   Fn wfn 6492  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Basecbs 17084  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  Xscprds 17328   ↑s cpws 17329
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9379  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-hom 17158  df-cco 17159  df-prds 17330  df-pws 17332
This theorem is referenced by:  pwsvscaval  17378  pwsdiaglmhm  20521  pwssplit3  20525  frlmvscafval  21175  mhphf2  40775
  Copyright terms: Public domain W3C validator