MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsvscafval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsvscafval 17473
Description: Scalar multiplication in a structure power is pointwise. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsvscaval.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsvscaval.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
pwsvscaval.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
pwsvscaval.t βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
pwsvscaval.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
pwsvscaval.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
pwsvscaval.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsvscaval.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
pwsvscaval.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
pwsvscaval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
pwsvscafval (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋))

Proof of Theorem pwsvscafval
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pwsvscaval.t . . . 4 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜π‘Œ)
2 pwsvscaval.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ 𝑉)
3 pwsvscaval.i . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
4 pwsvscaval.y . . . . . . 7 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
5 pwsvscaval.f . . . . . . 7 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘…)
64, 5pwsval 17465 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
72, 3, 6syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
87fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Œ) = ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
91, 8eqtrid 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
109oveqd 7432 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = (𝐴( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝑋))
11 eqid 2725 . . 3 (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
12 eqid 2725 . . 3 (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
13 eqid 2725 . . 3 ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = ( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
14 pwsvscaval.k . . 3 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
155fvexi 6905 . . . 4 𝐹 ∈ V
1615a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
17 fnconstg 6779 . . . 4 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
182, 17syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
19 pwsvscaval.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
20 pwsvscaval.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
21 pwsvscaval.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Œ)
227fveq2d 6895 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2321, 22eqtrid 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2420, 23eleqtrd 2827 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
2511, 12, 13, 14, 16, 3, 18, 19, 24prdsvscaval 17458 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴( ·𝑠 β€˜(𝐹Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯))))
26 fvconst2g 7209 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
272, 26sylan 578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯) = 𝑅)
2827fveq2d 6895 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = ( ·𝑠 β€˜π‘…))
29 pwsvscaval.s . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘…)
3028, 29eqtr4di 2783 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯)) = Β· )
3130oveqd 7432 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯)) = (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘₯)))
3231mpteq2dva 5243 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
3319adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
34 fvexd 6906 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘‹β€˜π‘₯) ∈ V)
35 fconstmpt 5734 . . . . 5 (𝐼 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴)
3635a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 Γ— {𝐴}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 𝐴))
37 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
384, 37, 21, 2, 3, 20pwselbas 17468 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
3938feqmptd 6961 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (π‘‹β€˜π‘₯)))
403, 33, 34, 36, 39offval2 7701 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴 Β· (π‘‹β€˜π‘₯))))
4132, 40eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (𝐴( ·𝑠 β€˜((𝐼 Γ— {𝑅})β€˜π‘₯))(π‘‹β€˜π‘₯))) = ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋))
4210, 25, 413eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ (𝐴 βˆ™ 𝑋) = ((𝐼 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463  {csn 4624   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ∘f cof 7679  Basecbs 17177  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  Xscprds 17424   ↑s cpws 17425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-sup 9463  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-prds 17426  df-pws 17428
This theorem is referenced by:  pwsvscaval  17474  pwsdiaglmhm  20944  pwssplit3  20948  frlmvscafval  21702  mhphf2  41895
  Copyright terms: Public domain W3C validator