Theorem pwsplusgval 17391

Description: Value of addition in a structure power. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsplusgval.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsplusgval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
pwsplusgval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
pwsplusgval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
pwsplusgval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
pwsplusgval.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
pwsplusgval.p	⊢ ✚ = (+g‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
pwsplusgval	⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Proof of Theorem pwsplusgval

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		pwsplusgval.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		pwsplusgval.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		fnconstg 6711	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8		pwsplusgval.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
9		pwsplusgval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
10		pwsplusgval.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
11		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
12	10, 11	pwsval 17387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
13	5, 4, 12	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	9, 14	eqtrid 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	8, 15	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
17		pwsplusgval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
18	17, 15	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
19		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
20	1, 2, 3, 4, 7, 16, 18, 19	prdsplusgval 17374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))))
21		fvconst2g 7136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
22	5, 21	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐼 × {𝑅})‘𝑥) = 𝑅)
23	22	fveq2d 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = (+g‘𝑅))
24		pwsplusgval.a	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑅)
25	23, 24	eqtr4di 2784	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥)) = + )
26	25	oveqd 7363	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥)))
27	26	mpteq2dva 5184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥)(+g‘((𝐼 × {𝑅})‘𝑥))(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
28	20, 27	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
29		pwsplusgval.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝑌)
30	13	fveq2d 6826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑌) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
31	29, 30	eqtrid 2778	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
32	31	oveqd 7363	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹(+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))𝐺))
33		fvexd 6837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
34		fvexd 6837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑥) ∈ V)
35		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	10, 35, 9, 5, 4, 8	pwselbas 17390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐼⟶(Base‘𝑅))
37	36	feqmptd 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐹‘𝑥)))
38	10, 35, 9, 5, 4, 17	pwselbas 17390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶(Base‘𝑅))
39	38	feqmptd 6890	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝐺‘𝑥)))
40	4, 33, 34, 37, 39	offval2 7630	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f + 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑥) + (𝐺‘𝑥))))
41	28, 32, 40	3eqtr4d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ✚ 𝐺) = (𝐹 ∘f + 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436  {csn 4576   ↦ cmpt 5172   × cxp 5614   Fn wfn 6476  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ∘_f cof 7608  Basecbs 17117  +_gcplusg 17158  Scalarcsca 17161  X_scprds 17346   ↑_s cpws 17347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-prds 17348  df-pws 17350

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  18736  pwsco1mhm  18737  pwsco2mhm  18738  pwssub  18964  pwssplit2  20992  frlmplusgval  21699  psrgrp  21891  mpfaddcl  22038  mpfind  22040  evl1addd  22254  pf1addcl  22266  ply1rem  26096  psrmnd  42577  evlsaddval  42600  evladdval  42607