Theorem frlmpws 20867

Description: The free module as a restriction of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmpws	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))

Proof of Theorem frlmpws

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
2	1	dsmmval2 20853	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
3		rlmsca 20383	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6		frlmval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
7	6	frlmval 20865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
8	7	eqcomd 2744	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = 𝐹)
9	8	fveq2d 6760	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘𝐹))
10		frlmpws.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = 𝐵)
12	5, 11	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
13	2, 12	eqtrid 2790	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
14		fvex 6769	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
15		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
16		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
17	15, 16	pwsval 17114	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
18	14, 17	mpan 686	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
20	19	oveq1d 7270	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
21	13, 7, 20	3eqtr4d 2788	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  {csn 4558   × cxp 5578  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  Scalarcsca 16891  X_scprds 17073   ↑_s cpws 17074  ringLModcrglmod 20346   ⊕_m cdsmm 20848   freeLMod cfrlm 20863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-prds 17075  df-pws 17077  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864

This theorem is referenced by:  frlmsca  20870  frlm0  20871  frlmplusgval  20881  frlmsubgval  20882  frlmvscafval  20883  frlmgsum  20889  frlmsplit2  20890  frlmip  20895  rrxprds  24458