Theorem frlmpws 21709

Description: The free module as a restriction of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmpws	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))

Proof of Theorem frlmpws

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
2	1	dsmmval2 21695	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
3		rlmsca 21154	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6		frlmval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
7	6	frlmval 21707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
8	7	eqcomd 2743	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = 𝐹)
9	8	fveq2d 6839	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘𝐹))
10		frlmpws.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = 𝐵)
12	5, 11	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
13	2, 12	eqtrid 2784	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
14		fvex 6848	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
16		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
17	15, 16	pwsval 17410	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
18	14, 17	mpan 691	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
20	19	oveq1d 7375	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
21	13, 7, 20	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  {csn 4581   × cxp 5623  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140   ↾_s cress 17161  Scalarcsca 17184  X_scprds 17369   ↑_s cpws 17370  ringLModcrglmod 21128   ⊕_m cdsmm 21690   freeLMod cfrlm 21705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-prds 17371  df-pws 17373  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-dsmm 21691  df-frlm 21706

This theorem is referenced by:  frlmsca  21712  frlm0  21713  frlmplusgval  21723  frlmsubgval  21724  frlmvscafval  21725  frlmgsum  21731  frlmsplit2  21732  frlmip  21737  rrxprds  25349