Theorem frlmpws 21694

Description: The free module as a restriction of the power module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
frlmpws.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
frlmpws	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))

Proof of Theorem frlmpws

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
2	1	dsmmval2 21680	. . 3 ⊢ (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))))
3		rlmsca 21139	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
5	4	oveq1d 7385	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6		frlmval.f	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
7	6	frlmval 21692	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
8	7	eqcomd 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = 𝐹)
9	8	fveq2d 6845	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = (Base‘𝐹))
10		frlmpws.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
11	9, 10	eqtr4di 2782	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}))) = 𝐵)
12	5, 11	oveq12d 7388	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s (Base‘(𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
13	2, 12	eqtrid 2776	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
14		fvex 6854	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
15		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
16		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
17	15, 16	pwsval 17427	. . . . 5 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
18	14, 17	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑊 → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
19	18	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
20	19	oveq1d 7385	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵) = (((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) ↾s 𝐵))
21	13, 7, 20	3eqtr4d 2774	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐹 = (((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) ↾s 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  {csn 4585   × cxp 5629  ‘cfv 6500  (class class class)co 7370  Basecbs 17157   ↾_s cress 17178  Scalarcsca 17201  X_scprds 17386   ↑_s cpws 17387  ringLModcrglmod 21113   ⊕_m cdsmm 21675   freeLMod cfrlm 21690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8649  df-map 8779  df-ixp 8849  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-fin 8900  df-sup 9370  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-n0 12422  df-z 12509  df-dec 12629  df-uz 12773  df-fz 13448  df-struct 17095  df-sets 17112  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-base 17158  df-ress 17179  df-plusg 17211  df-mulr 17212  df-sca 17214  df-vsca 17215  df-ip 17216  df-tset 17217  df-ple 17218  df-ds 17220  df-hom 17222  df-cco 17223  df-prds 17388  df-pws 17390  df-sra 21114  df-rgmod 21115  df-dsmm 21676  df-frlm 21691

This theorem is referenced by:  frlmsca  21697  frlm0  21698  frlmplusgval  21708  frlmsubgval  21709  frlmvscafval  21710  frlmgsum  21716  frlmsplit2  21717  frlmip  21722  rrxprds  25324