MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsms Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsms 24386
Description: A power of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwsms.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwsms ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ ∈ MetSp)
Proof of Theorem pwsms
StepHypRef Expression
1 pwsms.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2724 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17437 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
4 fvexd 6897 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
5 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6 fconst6g 6771 . . . 4 (𝑅 ∈ MetSp β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢MetSp)
76adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢MetSp)
8 eqid 2724 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
98prdsms 24384 . . 3 (((Scalarβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢MetSp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ MetSp)
104, 5, 7, 9syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ MetSp)
113, 10eqeltrd 2825 1 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4621   Γ— cxp 5665  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Scalarcsca 17205  Xscprds 17396   ↑s cpws 17397  MetSpcms 24168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12976  df-xneg 13093  df-xadd 13094  df-xmul 13095  df-icc 13332  df-fz 13486  df-struct 17085  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-pws 17400  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-top 22740  df-topon 22757  df-topsp 22779  df-bases 22793  df-xms 24170  df-ms 24171
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator