Theorem pwsms 22757

Description: The product of a finite family of metric spaces is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwsms.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsms	⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem pwsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsms.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 16543	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		fvexd 6463	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
6		fconst6g 6346	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶MetSp)
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶MetSp)
8		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
9	8	prdsms 22755	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ MetSp)
10	4, 5, 7, 9	syl3anc 1439	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ MetSp)
11	3, 10	eqeltrd 2859	1 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  {csn 4398   × cxp 5355  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Fincfn 8243  Scalarcsca 16352  X_scprds 16503   ↑_s cpws 16504  MetSpcms 22542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351  ax-pre-sup 10352

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-iin 4758  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-ixp 8197  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fi 8607  df-sup 8638  df-inf 8639  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-div 11036  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-4 11445  df-5 11446  df-6 11447  df-7 11448  df-8 11449  df-9 11450  df-n0 11648  df-z 11734  df-dec 11851  df-uz 11998  df-q 12101  df-rp 12143  df-xneg 12262  df-xadd 12263  df-xmul 12264  df-icc 12499  df-fz 12649  df-struct 16268  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-sca 16365  df-vsca 16366  df-ip 16367  df-tset 16368  df-ple 16369  df-ds 16371  df-hom 16373  df-cco 16374  df-rest 16480  df-topn 16481  df-topgen 16501  df-pt 16502  df-prds 16505  df-pws 16507  df-psmet 20145  df-xmet 20146  df-met 20147  df-bl 20148  df-mopn 20149  df-top 21117  df-topon 21134  df-topsp 21156  df-bases 21169  df-xms 22544  df-ms 22545

This theorem is referenced by: (None)