Theorem pwsms 23687

Description: A power of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwsms.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsms	⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem pwsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwsms.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17195	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		fvexd 6791	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
5		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐼 ∈ Fin)
6		fconst6g 6665	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶MetSp)
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶MetSp)
8		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
9	8	prdsms 23685	. . 3 ⊢ (((Scalar‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶MetSp) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ MetSp)
10	4, 5, 7, 9	syl3anc 1370	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ MetSp)
11	3, 10	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  Vcvv 3431  {csn 4563   × cxp 5589  ⟶wf 6431  ‘cfv 6435  (class class class)co 7277  Fincfn 8731  Scalarcsca 16963  X_scprds 17154   ↑_s cpws 17155  MetSpcms 23469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5211  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946  ax-pre-sup 10947

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-iin 4929  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-map 8615  df-ixp 8684  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-fi 9168  df-sup 9199  df-inf 9200  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-div 11631  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-q 12687  df-rp 12729  df-xneg 12846  df-xadd 12847  df-xmul 12848  df-icc 13084  df-fz 13238  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-pws 17158  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-xms 23471  df-ms 23472

This theorem is referenced by: (None)