MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsms Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsms 24441
Description: A power of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwsms.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwsms ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ ∈ MetSp)
Proof of Theorem pwsms
StepHypRef Expression
1 pwsms.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2728 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17467 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
4 fvexd 6912 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
5 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
6 fconst6g 6786 . . . 4 (𝑅 ∈ MetSp β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢MetSp)
76adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢MetSp)
8 eqid 2728 . . . 4 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
98prdsms 24439 . . 3 (((Scalarβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢MetSp) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ MetSp)
104, 5, 7, 9syl3anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ MetSp)
113, 10eqeltrd 2829 1 ((𝑅 ∈ MetSp ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  {csn 4629   Γ— cxp 5676  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  Scalarcsca 17235  Xscprds 17426   ↑s cpws 17427  MetSpcms 24223
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-icc 13363  df-fz 13517  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-pws 17430  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-top 22795  df-topon 22812  df-topsp 22834  df-bases 22848  df-xms 24225  df-ms 24226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator