Theorem resspwsds 24333

Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspwsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
resspwsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
resspwsds.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
resspwsds.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resspwsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspwsds.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
2		resspwsds.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		resspwsds.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		fconstmpt 5696	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7381	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
11	1, 10	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
12		resspwsds.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
13		ovex 7403	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼)
15		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))
16	14, 15	pwsval 17420	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
17	13, 3, 16	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
18		fconstmpt 5696	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
19	18	oveq2i 7381	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
20	17, 19	eqtrdi 2788	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
21	12, 20	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
22		resspwsds.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
23		resspwsds.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		resspwsds.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
25		fvexd 6859	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26		fvexd 6859	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
27	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑊)
28		resspwsds.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29	ressprdsds 24332	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  {csn 4582   ↦ cmpt 5181   × cxp 5632   ↾ cres 5636  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150   ↾_s cress 17171  Scalarcsca 17194  distcds 17200  X_scprds 17379   ↑_s cpws 17380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-prds 17381  df-pws 17383

This theorem is referenced by: (None)