MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspwsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspwsds 22909
Description: Restriction of a product metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspwsds.y (𝜑𝑌 = (𝑅s 𝐼))
resspwsds.h (𝜑𝐻 = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i (𝜑𝐼𝑉)
resspwsds.r (𝜑𝑅𝑊)
resspwsds.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
resspwsds (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspwsds.y . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑅s 𝐼))
2 resspwsds.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑊)
3 resspwsds.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
4 eqid 2818 . . . . . 6 (𝑅s 𝐼) = (𝑅s 𝐼)
5 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
64, 5pwsval 16747 . . . . 5 ((𝑅𝑊𝐼𝑉) → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
72, 3, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8 fconstmpt 5607 . . . . 5 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 7156 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
107, 9syl6eq 2869 . . 3 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅)))
111, 10eqtrd 2853 . 2 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅)))
12 resspwsds.h . . 3 (𝜑𝐻 = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼))
13 ovex 7178 . . . . 5 (𝑅s 𝐴) ∈ V
14 eqid 2818 . . . . . 6 ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼)
15 eqid 2818 . . . . . 6 (Scalar‘(𝑅s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅s 𝐴))
1614, 15pwsval 16747 . . . . 5 (((𝑅s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})))
1713, 3, 16sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})))
18 fconstmpt 5607 . . . . 5 (𝐼 × {(𝑅s 𝐴)}) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))
1918oveq2i 7156 . . . 4 ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))
2017, 19syl6eq 2869 . . 3 (𝜑 → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
2112, 20eqtrd 2853 . 2 (𝜑𝐻 = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
22 resspwsds.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
23 resspwsds.d . 2 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 resspwsds.e . 2 𝐸 = (dist‘𝐻)
25 fvexd 6678 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26 fvexd 6678 . 2 (𝜑 → (Scalar‘(𝑅s 𝐴)) ∈ V)
272adantr 481 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑊)
28 resspwsds.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
2928adantr 481 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑋)
3011, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29ressprdsds 22908 1 (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  {csn 4557  cmpt 5137   × cxp 5546  cres 5550  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  s cress 16472  Scalarcsca 16556  distcds 16562  Xscprds 16707  s cpws 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-prds 16709  df-pws 16711
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator