Theorem resspwsds 24356

Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspwsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
resspwsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
resspwsds.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
resspwsds.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resspwsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspwsds.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
2		resspwsds.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		resspwsds.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17441	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		fconstmpt 5681	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7368	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
11	1, 10	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
12		resspwsds.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
13		ovex 7390	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
14		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼)
15		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))
16	14, 15	pwsval 17441	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
17	13, 3, 16	sylancr 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
18		fconstmpt 5681	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
19	18	oveq2i 7368	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
20	17, 19	eqtrdi 2790	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
21	12, 20	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
22		resspwsds.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
23		resspwsds.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		resspwsds.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
25		fvexd 6843	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26		fvexd 6843	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
27	2	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑊)
28		resspwsds.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29	ressprdsds 24355	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431  {csn 4556   ↦ cmpt 5154   × cxp 5617   ↾ cres 5621  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171   ↾_s cress 17192  Scalarcsca 17215  distcds 17221  X_scprds 17400   ↑_s cpws 17401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-ress 17193  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-sca 17228  df-vsca 17229  df-ip 17230  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-hom 17236  df-cco 17237  df-prds 17402  df-pws 17404

This theorem is referenced by: (None)