MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspwsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspwsds 23709
Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspwsds.y (𝜑𝑌 = (𝑅s 𝐼))
resspwsds.h (𝜑𝐻 = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i (𝜑𝐼𝑉)
resspwsds.r (𝜑𝑅𝑊)
resspwsds.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
resspwsds (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspwsds.y . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑅s 𝐼))
2 resspwsds.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑊)
3 resspwsds.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
4 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑅s 𝐼) = (𝑅s 𝐼)
5 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
64, 5pwsval 17360 . . . . 5 ((𝑅𝑊𝐼𝑉) → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
72, 3, 6syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8 fconstmpt 5692 . . . . 5 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 7364 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
107, 9eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅)))
111, 10eqtrd 2776 . 2 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅)))
12 resspwsds.h . . 3 (𝜑𝐻 = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼))
13 ovex 7386 . . . . 5 (𝑅s 𝐴) ∈ V
14 eqid 2736 . . . . . 6 ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼)
15 eqid 2736 . . . . . 6 (Scalar‘(𝑅s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅s 𝐴))
1614, 15pwsval 17360 . . . . 5 (((𝑅s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})))
1713, 3, 16sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})))
18 fconstmpt 5692 . . . . 5 (𝐼 × {(𝑅s 𝐴)}) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))
1918oveq2i 7364 . . . 4 ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))
2017, 19eqtrdi 2792 . . 3 (𝜑 → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
2112, 20eqtrd 2776 . 2 (𝜑𝐻 = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
22 resspwsds.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
23 resspwsds.d . 2 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 resspwsds.e . 2 𝐸 = (dist‘𝐻)
25 fvexd 6854 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26 fvexd 6854 . 2 (𝜑 → (Scalar‘(𝑅s 𝐴)) ∈ V)
272adantr 481 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑊)
28 resspwsds.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
2928adantr 481 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑋)
3011, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29ressprdsds 23708 1 (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3443  {csn 4584  cmpt 5186   × cxp 5629  cres 5633  cfv 6493  (class class class)co 7353  Basecbs 17075  s cress 17104  Scalarcsca 17128  distcds 17134  Xscprds 17319  s cpws 17320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9374  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-prds 17321  df-pws 17323
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator