Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resspwsds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resspwsds 22977
 Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
resspwsds.y (𝜑𝑌 = (𝑅s 𝐼))
resspwsds.h (𝜑𝐻 = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i (𝜑𝐼𝑉)
resspwsds.r (𝜑𝑅𝑊)
resspwsds.a (𝜑𝐴𝑋)
Assertion
Ref Expression
resspwsds (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resspwsds.y . . 3 (𝜑𝑌 = (𝑅s 𝐼))
2 resspwsds.r . . . . 5 (𝜑𝑅𝑊)
3 resspwsds.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
4 eqid 2824 . . . . . 6 (𝑅s 𝐼) = (𝑅s 𝐼)
5 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
64, 5pwsval 16757 . . . . 5 ((𝑅𝑊𝐼𝑉) → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
72, 3, 6syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8 fconstmpt 5602 . . . . 5 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
98oveq2i 7157 . . . 4 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅))
107, 9syl6eq 2875 . . 3 (𝜑 → (𝑅s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅)))
111, 10eqtrd 2859 . 2 (𝜑𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥𝐼𝑅)))
12 resspwsds.h . . 3 (𝜑𝐻 = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼))
13 ovex 7179 . . . . 5 (𝑅s 𝐴) ∈ V
14 eqid 2824 . . . . . 6 ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼)
15 eqid 2824 . . . . . 6 (Scalar‘(𝑅s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅s 𝐴))
1614, 15pwsval 16757 . . . . 5 (((𝑅s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})))
1713, 3, 16sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})))
18 fconstmpt 5602 . . . . 5 (𝐼 × {(𝑅s 𝐴)}) = (𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))
1918oveq2i 7157 . . . 4 ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴)))
2017, 19syl6eq 2875 . . 3 (𝜑 → ((𝑅s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
2112, 20eqtrd 2859 . 2 (𝜑𝐻 = ((Scalar‘(𝑅s 𝐴))Xs(𝑥𝐼 ↦ (𝑅s 𝐴))))
22 resspwsds.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐻)
23 resspwsds.d . 2 𝐷 = (dist‘𝑌)
24 resspwsds.e . 2 𝐸 = (dist‘𝐻)
25 fvexd 6674 . 2 (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26 fvexd 6674 . 2 (𝜑 → (Scalar‘(𝑅s 𝐴)) ∈ V)
272adantr 484 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑅𝑊)
28 resspwsds.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
2928adantr 484 . 2 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐴𝑋)
3011, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29ressprdsds 22976 1 (𝜑𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  {csn 4550   ↦ cmpt 5133   × cxp 5541   ↾ cres 5545  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  Basecbs 16481   ↾s cress 16482  Scalarcsca 16566  distcds 16572  Xscprds 16717   ↑s cpws 16718 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-fz 12893  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-hom 16587  df-cco 16588  df-prds 16719  df-pws 16721 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator