Theorem resspwsds 24433

Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspwsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
resspwsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
resspwsds.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
resspwsds.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resspwsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspwsds.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
2		resspwsds.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		resspwsds.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17516	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		fconstmpt 5710	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7408	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
11	1, 10	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
12		resspwsds.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
13		ovex 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))
16	14, 15	pwsval 17516	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
17	13, 3, 16	sylancr 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
18		fconstmpt 5710	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
19	18	oveq2i 7408	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
20	17, 19	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
21	12, 20	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
22		resspwsds.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
23		resspwsds.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		resspwsds.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
25		fvexd 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26		fvexd 6883	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
27	2	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑊)
28		resspwsds.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29	ressprdsds 24432	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4583   ↦ cmpt 5182   × cxp 5646   ↾ cres 5650  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246   ↾_s cress 17267  Scalarcsca 17290  distcds 17296  X_scprds 17475   ↑_s cpws 17476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-ress 17268  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-hom 17311  df-cco 17312  df-prds 17477  df-pws 17479

This theorem is referenced by: (None)