Theorem resspwsds 24405

Description: Restriction of a power metric. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
resspwsds.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
resspwsds.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
resspwsds.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
resspwsds.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
resspwsds.e	⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
resspwsds.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
resspwsds.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
resspwsds.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
resspwsds	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Proof of Theorem resspwsds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resspwsds.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼))
2		resspwsds.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
3		resspwsds.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐼) = (𝑅 ↑s 𝐼)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
6	4, 5	pwsval 17548	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
8		fconstmpt 5762	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
9	8	oveq2i 7461	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
10	7, 9	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
11	1, 10	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)))
12		resspwsds.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼))
13		ovex 7483	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼)
15		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))
16	14, 15	pwsval 17548	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
17	13, 3, 16	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})))
18		fconstmpt 5762	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))
19	18	oveq2i 7461	. . . 4 ⊢ ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝐼 × {(𝑅 ↾s 𝐴)})) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴)))
20	17, 19	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 ↾s 𝐴) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
21	12, 20	eqtrd 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = ((Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴))Xs(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 ↾s 𝐴))))
22		resspwsds.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
23		resspwsds.d	. 2 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
24		resspwsds.e	. 2 ⊢ 𝐸 = (dist‘𝐻)
25		fvexd 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
26		fvexd 6937	. 2 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∈ V)
27	2	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ 𝑊)
28		resspwsds.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
29	28	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐴 ∈ 𝑋)
30	11, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 3, 27, 29	ressprdsds 24404	1 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (𝐷 ↾ (𝐵 × 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   ↦ cmpt 5249   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260   ↾_s cress 17289  Scalarcsca 17316  distcds 17322  X_scprds 17507   ↑_s cpws 17508

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-map 8888  df-ixp 8958  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-hom 17337  df-cco 17338  df-prds 17509  df-pws 17511

This theorem is referenced by: (None)