Theorem pwsabl 19560

Description: The structure power on an Abelian group is Abelian. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwscmn.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
pwsabl	⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Abel)

Proof of Theorem pwsabl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwscmn.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
3	1, 2	pwsval 17294	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
5		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		fvexd 6840	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
7		fconst6g 6714	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Abel → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Abel)
8	7	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Abel)
9	4, 5, 6, 8	prdsabld 19558	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) ∈ Abel)
10	3, 9	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Abel ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ Abel)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441  {csn 4573   × cxp 5618  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  Scalarcsca 17062  X_scprds 17253   ↑_s cpws 17254  Abelcabl 19482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-ip 17077  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-hom 17083  df-cco 17084  df-0g 17249  df-prds 17255  df-pws 17257  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-cmn 19483  df-abl 19484

This theorem is referenced by: (None)