MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwscmn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwscmn 19774
Description: The structure power on a commutative monoid is commutative. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwscmn.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwscmn ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
Proof of Theorem pwscmn
StepHypRef Expression
1 pwscmn.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2730 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17438 . 2 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
4 eqid 2730 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
5 simpr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
6 fvexd 6907 . . 3 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
7 fconst6g 6781 . . . 4 (𝑅 ∈ CMnd β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢CMnd)
87adantr 479 . . 3 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢CMnd)
94, 5, 6, 8prdscmnd 19772 . 2 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ CMnd)
103, 9eqeltrd 2831 1 ((𝑅 ∈ CMnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ CMnd)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  {csn 4629   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Scalarcsca 17206  Xscprds 17397   ↑s cpws 17398  CMndccmn 19691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-fz 13491  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-cmn 19693
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator