Theorem pwsmgp 20350

Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
pwsmgp.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p	⊢ + = (+g‘𝑁)
pwsmgp.q	⊢ ✚ = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
pwsmgp	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = ✚ ))

Proof of Theorem pwsmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fvexd 6935	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fnconstg 6809	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	prdsmgp 20178	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
9	8	simpld 494	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10		pwsmgp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11		pwsmgp.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 17546	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6924	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	10, 14	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17		pwsmgp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
18		pwsmgp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
19	18	fvexi 6934	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ V
20		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↑s 𝐼) = (𝑀 ↑s 𝐼)
21		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
22	20, 21	pwsval 17546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
23	19, 4, 22	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
24	18, 12	mgpsca 20169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
25	24	eqcomi 2749	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
27	18	sneqi 4659	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
28	27	xpeq2i 5727	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
29		fnmgp 20163	. . . . . . . . . 10 ⊢ mulGrp Fn V
30		elex 3509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
31	30	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32		fcoconst 7168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
33	29, 31, 32	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
34	28, 33	eqtr4id 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
35	26, 34	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
36	23, 35	eqtrd 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
37	17, 36	eqtrid 2792	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
38	37	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
39	9, 16, 38	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40		pwsmgp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
41		pwsmgp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
42	39, 40, 41	3eqtr4g 2805	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
43	8	simprd 495	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
44	15	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
45	37	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2790	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘𝑍))
47		pwsmgp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
48		pwsmgp.q	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑍)
49	46, 47, 48	3eqtr4g 2805	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → + = ✚ )
50	42, 49	jca 511	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = ✚ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  {csn 4648   × cxp 5698   ∘ ccom 5704   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  Scalarcsca 17314  X_scprds 17505   ↑_s cpws 17506  mulGrpcmgp 20161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgp 20162

This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  20528  pwsco2rhm  20529  pwsdiagrhm  20635  evl1expd  22370