Theorem pwsmgp 20556

Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
pwsmgp.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p	⊢ + = (+g‘𝑁)
pwsmgp.q	⊢ + = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
pwsmgp	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = + ))

Proof of Theorem pwsmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fvexd 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fnconstg 6770	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	prdsmgp 20371	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
9	8	simpld 500	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10		pwsmgp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11		pwsmgp.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 17657	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	10, 14	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17		pwsmgp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
18		pwsmgp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
19	18	fvexi 6899	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ V
20		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↑s 𝐼) = (𝑀 ↑s 𝐼)
21		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
22	20, 21	pwsval 17657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
23	19, 4, 22	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
24	18, 12	mgpsca 20366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
25	24	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
27	18	sneqi 4595	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
28	27	xpeq2i 5678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
29		fnmgp 20362	. . . . . . . . . 10 ⊢ mulGrp Fn V
30		elex 3472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
31	30	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32		fcoconst 7135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
33	29, 31, 32	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
34	28, 33	eqtr4id 2815	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
35	26, 34	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
36	23, 35	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
37	17, 36	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
38	37	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
39	9, 16, 38	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40		pwsmgp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
41		pwsmgp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
42	39, 40, 41	3eqtr4g 2821	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
43	8	simprd 501	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
44	15	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
45	37	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘𝑍))
47		pwsmgp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
48		pwsmgp.q	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑍)
49	46, 47, 48	3eqtr4g 2821	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → + = + )
50	42, 49	jca 521	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = + ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  {csn 4584   × cxp 5649   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  Scalarcsca 17431  X_scprds 17616   ↑_s cpws 17617  mulGrpcmgp 20360

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mgp 20361

This theorem is used by:  pwsco1rhm  20741  pwsco2rhm  20742  pwsdiagrhm  20859  evl1expd  22663