MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmgp 19058
Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmgp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
pwsmgp.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p + = (+g𝑁)
pwsmgp.q = (+g𝑍)
Assertion
Ref Expression
pwsmgp ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2794 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2794 . . . . . 6 (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 eqid 2794 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
5 fvexd 6556 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6 fnconstg 6438 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
81, 2, 3, 4, 5, 7prdsmgp 19050 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
98simpld 495 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10 pwsmgp.n . . . . . 6 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11 pwsmgp.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2794 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 16588 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6545 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1510, 14syl5eq 2842 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615fveq2d 6545 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17 pwsmgp.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
18 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1918fvexi 6555 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V
20 eqid 2794 . . . . . . . . 9 (𝑀s 𝐼) = (𝑀s 𝐼)
21 eqid 2794 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2220, 21pwsval 16588 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2319, 4, 22sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2418, 12mgpsca 18936 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
2524eqcomi 2803 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
27 fnmgp 18931 . . . . . . . . . 10 mulGrp Fn V
28 elex 3454 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2928adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
30 fcoconst 6762 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3127, 29, 30sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3218sneqi 4485 . . . . . . . . . 10 {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
3332xpeq2i 5473 . . . . . . . . 9 (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
3431, 33syl6reqr 2849 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
3526, 34oveq12d 7037 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3623, 35eqtrd 2830 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3717, 36syl5eq 2842 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3837fveq2d 6545 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
399, 16, 383eqtr4d 2840 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40 pwsmgp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
41 pwsmgp.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
4239, 40, 413eqtr4g 2855 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
438simprd 496 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4415fveq2d 6545 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
4537fveq2d 6545 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4643, 44, 453eqtr4d 2840 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g𝑍))
47 pwsmgp.p . . 3 + = (+g𝑁)
48 pwsmgp.q . . 3 = (+g𝑍)
4946, 47, 483eqtr4g 2855 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → + = )
5042, 49jca 512 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  Vcvv 3436  {csn 4474   × cxp 5444  ccom 5450   Fn wfn 6223  cfv 6228  (class class class)co 7019  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  Scalarcsca 16397  Xscprds 16548  s cpws 16549  mulGrpcmgp 18929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-ixp 8314  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-dec 11949  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-hom 16418  df-cco 16419  df-prds 16550  df-pws 16552  df-mgp 18930
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  19180  pwsco2rhm  19181  pwsdiagrhm  19259  evl1expd  20190
  Copyright terms: Public domain W3C validator