MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmgp 20341
Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmgp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
pwsmgp.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p + = (+g𝑁)
pwsmgp.q = (+g𝑍)
Assertion
Ref Expression
pwsmgp ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2735 . . . . . 6 (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 eqid 2735 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
5 fvexd 6922 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6 fnconstg 6797 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
81, 2, 3, 4, 5, 7prdsmgp 20169 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
98simpld 494 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10 pwsmgp.n . . . . . 6 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11 pwsmgp.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2735 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 17533 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1510, 14eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615fveq2d 6911 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17 pwsmgp.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
18 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1918fvexi 6921 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V
20 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (𝑀s 𝐼) = (𝑀s 𝐼)
21 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2220, 21pwsval 17533 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2319, 4, 22sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2418, 12mgpsca 20160 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
2524eqcomi 2744 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
2718sneqi 4642 . . . . . . . . . 10 {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
2827xpeq2i 5716 . . . . . . . . 9 (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
29 fnmgp 20154 . . . . . . . . . 10 mulGrp Fn V
30 elex 3499 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32 fcoconst 7154 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3329, 31, 32sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3428, 33eqtr4id 2794 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
3526, 34oveq12d 7449 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3623, 35eqtrd 2775 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3717, 36eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3837fveq2d 6911 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
399, 16, 383eqtr4d 2785 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40 pwsmgp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
41 pwsmgp.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
4239, 40, 413eqtr4g 2800 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
438simprd 495 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4415fveq2d 6911 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
4537fveq2d 6911 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4643, 44, 453eqtr4d 2785 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g𝑍))
47 pwsmgp.p . . 3 + = (+g𝑁)
48 pwsmgp.q . . 3 = (+g𝑍)
4946, 47, 483eqtr4g 2800 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → + = )
5042, 49jca 511 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  {csn 4631   × cxp 5687  ccom 5693   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  Scalarcsca 17301  Xscprds 17492  s cpws 17493  mulGrpcmgp 20152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgp 20153
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  20519  pwsco2rhm  20520  pwsdiagrhm  20624  evl1expd  22365
  Copyright terms: Public domain W3C validator