MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwsmgp 20216
Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pwsmgp.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
pwsmgp.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p + = (+g𝑁)
pwsmgp.q = (+g𝑍)
Assertion
Ref Expression
pwsmgp ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))

Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2724 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 eqid 2724 . . . . . 6 (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3 eqid 2724 . . . . . 6 ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐼𝑊)
5 fvexd 6896 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6 fnconstg 6769 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
81, 2, 3, 4, 5, 7prdsmgp 20046 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
98simpld 494 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10 pwsmgp.n . . . . . 6 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11 pwsmgp.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
12 eqid 2724 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
1311, 12pwsval 17431 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
1413fveq2d 6885 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1510, 14eqtrid 2776 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
1615fveq2d 6885 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17 pwsmgp.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑀s 𝐼)
18 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
1918fvexi 6895 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V
20 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑀s 𝐼) = (𝑀s 𝐼)
21 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
2220, 21pwsval 17431 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2319, 4, 22sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
2418, 12mgpsca 20037 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
2524eqcomi 2733 . . . . . . . . 9 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
2718sneqi 4631 . . . . . . . . . 10 {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
2827xpeq2i 5693 . . . . . . . . 9 (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
29 fnmgp 20031 . . . . . . . . . 10 mulGrp Fn V
30 elex 3485 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
3130adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32 fcoconst 7124 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3329, 31, 32sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
3428, 33eqtr4id 2783 . . . . . . . 8 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
3526, 34oveq12d 7419 . . . . . . 7 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3623, 35eqtrd 2764 . . . . . 6 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝑀s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3717, 36eqtrid 2776 . . . . 5 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
3837fveq2d 6885 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
399, 16, 383eqtr4d 2774 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40 pwsmgp.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑁)
41 pwsmgp.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑍)
4239, 40, 413eqtr4g 2789 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
438simprd 495 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4415fveq2d 6885 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
4537fveq2d 6885 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
4643, 44, 453eqtr4d 2774 . . 3 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (+g𝑁) = (+g𝑍))
47 pwsmgp.p . . 3 + = (+g𝑁)
48 pwsmgp.q . . 3 = (+g𝑍)
4946, 47, 483eqtr4g 2789 . 2 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → + = )
5042, 49jca 511 1 ((𝑅𝑉𝐼𝑊) → (𝐵 = 𝐶+ = ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3466  {csn 4620   × cxp 5664  ccom 5670   Fn wfn 6528  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199  Xscprds 17390  s cpws 17391  mulGrpcmgp 20029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgp 20030
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  20394  pwsco2rhm  20395  pwsdiagrhm  20499  evl1expd  22186
  Copyright terms: Public domain W3C validator