Theorem pwsmgp 20376

Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
pwsmgp.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p	⊢ + = (+g‘𝑁)
pwsmgp.q	⊢ ✚ = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
pwsmgp	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = ✚ ))

Proof of Theorem pwsmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fvexd 6883	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fnconstg 6753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	6	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	prdsmgp 20198	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
9	8	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10		pwsmgp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11		pwsmgp.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 17516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6872	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	10, 14	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	fveq2d 6872	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17		pwsmgp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
18		pwsmgp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
19	18	fvexi 6882	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ V
20		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↑s 𝐼) = (𝑀 ↑s 𝐼)
21		eqid 2763	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
22	20, 21	pwsval 17516	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
23	19, 4, 22	sylancr 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
24	18, 12	mgpsca 20193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
25	24	eqcomi 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
27	18	sneqi 4594	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
28	27	xpeq2i 5675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
29		fnmgp 20189	. . . . . . . . . 10 ⊢ mulGrp Fn V
30		elex 3476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
31	30	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32		fcoconst 7117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
33	29, 31, 32	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
34	28, 33	eqtr4id 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
35	26, 34	oveq12d 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
36	23, 35	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
37	17, 36	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
38	37	fveq2d 6872	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
39	9, 16, 38	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40		pwsmgp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
41		pwsmgp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
42	39, 40, 41	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
43	8	simprd 499	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
44	15	fveq2d 6872	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
45	37	fveq2d 6872	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘𝑍))
47		pwsmgp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
48		pwsmgp.q	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑍)
49	46, 47, 48	3eqtr4g 2823	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → + = ✚ )
50	42, 49	jca 519	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = ✚ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1561   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4583   × cxp 5646   ∘ ccom 5652   Fn wfn 6517  ‘cfv 6522  (class class class)co 7397  Basecbs 17246  +_gcplusg 17287  Scalarcsca 17290  X_scprds 17475   ↑_s cpws 17476  mulGrpcmgp 20187

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1816  ax-4 1830  ax-5 1931  ax-6 1988  ax-7 2029  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5228  ax-sep 5247  ax-nul 5257  ax-pow 5323  ax-pr 5391  ax-un 7719  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1564  df-fal 1574  df-ex 1801  df-nf 1805  df-sb 2092  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5102  df-opab 5164  df-mpt 5183  df-tr 5209  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6289  df-ord 6350  df-on 6351  df-lim 6352  df-suc 6353  df-iota 6478  df-fun 6524  df-fn 6525  df-f 6526  df-f1 6527  df-fo 6528  df-f1o 6529  df-fv 6530  df-riota 7354  df-ov 7400  df-oprab 7401  df-mpo 7402  df-om 7848  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8382  df-1o 8438  df-er 8679  df-map 8811  df-ixp 8881  df-en 8929  df-dom 8930  df-sdom 8931  df-fin 8932  df-sup 9389  df-pnf 11219  df-mnf 11220  df-xr 11221  df-ltxr 11222  df-le 11223  df-sub 11417  df-neg 11418  df-nn 12212  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12483  df-z 12570  df-dec 12690  df-uz 12841  df-fz 13514  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17247  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-hom 17311  df-cco 17312  df-prds 17477  df-pws 17479  df-mgp 20188

This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  20552  pwsco2rhm  20553  pwsdiagrhm  20658  evl1expd  22409