MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwsmgp Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwsmgp 20139
Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmgp.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsmgp.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
pwsmgp.z 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
pwsmgp.n 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
pwsmgp.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
pwsmgp.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
pwsmgp.p + = (+gβ€˜π‘)
pwsmgp.q ✚ = (+gβ€˜π‘)
Assertion
Ref Expression
pwsmgp ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 = 𝐢 ∧ + = ✚ ))
Proof of Theorem pwsmgp
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
2 eqid 2732 . . . . . 6 (mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))) = (mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
3 eqid 2732 . . . . . 6 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅}))) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))
4 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐼 ∈ π‘Š)
5 fvexd 6906 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
6 fnconstg 6779 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
76adantr 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}) Fn 𝐼)
81, 2, 3, 4, 5, 7prdsmgp 20131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((Baseβ€˜(mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))) ∧ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))) = (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅}))))))
98simpld 495 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))))
10 pwsmgp.n . . . . . 6 𝑁 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
11 pwsmgp.y . . . . . . . 8 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
12 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
1311, 12pwsval 17431 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
1413fveq2d 6895 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (mulGrpβ€˜π‘Œ) = (mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
1510, 14eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑁 = (mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))))
1615fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
17 pwsmgp.z . . . . . 6 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
18 pwsmgp.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘…)
1918fvexi 6905 . . . . . . . 8 𝑀 ∈ V
20 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (𝑀 ↑s 𝐼) = (𝑀 ↑s 𝐼)
21 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
2220, 21pwsval 17431 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜π‘€)Xs(𝐼 Γ— {𝑀})))
2319, 4, 22sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜π‘€)Xs(𝐼 Γ— {𝑀})))
2418, 12mgpsca 19994 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘€)
2524eqcomi 2741 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘…)
2625a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘…))
2718sneqi 4639 . . . . . . . . . 10 {𝑀} = {(mulGrpβ€˜π‘…)}
2827xpeq2i 5703 . . . . . . . . 9 (𝐼 Γ— {𝑀}) = (𝐼 Γ— {(mulGrpβ€˜π‘…)})
29 fnmgp 19988 . . . . . . . . . 10 mulGrp Fn V
30 elex 3492 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ 𝑉 β†’ 𝑅 ∈ V)
3130adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑅 ∈ V)
32 fcoconst 7131 . . . . . . . . . 10 ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) β†’ (mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(mulGrpβ€˜π‘…)}))
3329, 31, 32sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})) = (𝐼 Γ— {(mulGrpβ€˜π‘…)}))
3428, 33eqtr4id 2791 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐼 Γ— {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))
3526, 34oveq12d 7426 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ ((Scalarβ€˜π‘€)Xs(𝐼 Γ— {𝑀})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅}))))
3623, 35eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅}))))
3717, 36eqtrid 2784 . . . . 5 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝑍 = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅}))))
3837fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))))
399, 16, 383eqtr4d 2782 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜π‘))
40 pwsmgp.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘)
41 pwsmgp.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘)
4239, 40, 413eqtr4g 2797 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ 𝐡 = 𝐢)
438simprd 496 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (+gβ€˜(mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))) = (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))))
4415fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))))
4537fveq2d 6895 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜((Scalarβ€˜π‘…)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 Γ— {𝑅})))))
4643, 44, 453eqtr4d 2782 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (+gβ€˜π‘) = (+gβ€˜π‘))
47 pwsmgp.p . . 3 + = (+gβ€˜π‘)
48 pwsmgp.q . . 3 ✚ = (+gβ€˜π‘)
4946, 47, 483eqtr4g 2797 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ + = ✚ )
5042, 49jca 512 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ π‘Š) β†’ (𝐡 = 𝐢 ∧ + = ✚ ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  {csn 4628   Γ— cxp 5674   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  Scalarcsca 17199  Xscprds 17390   ↑s cpws 17391  mulGrpcmgp 19986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgp 19987
This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  20276  pwsco2rhm  20277  pwsdiagrhm  20353  evl1expd  21863
  Copyright terms: Public domain W3C validator