Theorem pwsmgp 20300

Description: The multiplicative group of the power structure resembles the power of the multiplicative group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmgp.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pwsmgp.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
pwsmgp.z	⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
pwsmgp.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
pwsmgp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
pwsmgp.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
pwsmgp.p	⊢ + = (+g‘𝑁)
pwsmgp.q	⊢ ✚ = (+g‘𝑍)

Assertion

Ref	Expression
pwsmgp	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = ✚ ))

Proof of Theorem pwsmgp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
3		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
4		simpr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑊)
5		fvexd 6845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
6		fnconstg 6718	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
7	6	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑅}) Fn 𝐼)
8	1, 2, 3, 4, 5, 7	prdsmgp 20126	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))) ∧ (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))))
9	8	simpld 496	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
10		pwsmgp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑌)
11		pwsmgp.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
12		eqid 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
13	11, 12	pwsval 17444	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
14	13	fveq2d 6834	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑌) = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
15	10, 14	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑁 = (mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
16	15	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
17		pwsmgp.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (𝑀 ↑s 𝐼)
18		pwsmgp.m	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
19	18	fvexi 6844	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 ∈ V
20		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ↑s 𝐼) = (𝑀 ↑s 𝐼)
21		eqid 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
22	20, 21	pwsval 17444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
23	19, 4, 22	sylancr 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})))
24	18, 12	mgpsca 20121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑀)
25	24	eqcomi 2750	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅)
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑅))
27	18	sneqi 4568	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑀} = {(mulGrp‘𝑅)}
28	27	xpeq2i 5647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 × {𝑀}) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)})
29		fnmgp 20117	. . . . . . . . . 10 ⊢ mulGrp Fn V
30		elex 3454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
31	30	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ V)
32		fcoconst 7079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((mulGrp Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
33	29, 31, 32	sylancr 594	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝐼 × {(mulGrp‘𝑅)}))
34	28, 33	eqtr4id 2795	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐼 × {𝑀}) = (mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))
35	26, 34	oveq12d 7377	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → ((Scalar‘𝑀)Xs(𝐼 × {𝑀})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
36	23, 35	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↑s 𝐼) = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
37	17, 36	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝑍 = ((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅}))))
38	37	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑍) = (Base‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
39	9, 16, 38	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑁) = (Base‘𝑍))
40		pwsmgp.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑁)
41		pwsmgp.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑍)
42	39, 40, 41	3eqtr4g 2801	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → 𝐵 = 𝐶)
43	8	simprd 497	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
44	15	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘(mulGrp‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))))
45	37	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑍) = (+g‘((Scalar‘𝑅)Xs(mulGrp ∘ (𝐼 × {𝑅})))))
46	43, 44, 45	3eqtr4d 2786	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (+g‘𝑁) = (+g‘𝑍))
47		pwsmgp.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑁)
48		pwsmgp.q	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑍)
49	46, 47, 48	3eqtr4g 2801	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → + = ✚ )
50	42, 49	jca 517	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑊) → (𝐵 = 𝐶 ∧ + = ✚ ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  {csn 4557   × cxp 5618   ∘ ccom 5624   Fn wfn 6483  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  Scalarcsca 17218  X_scprds 17403   ↑_s cpws 17404  mulGrpcmgp 20115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgp 20116

This theorem is referenced by:  pwsco1rhm  20476  pwsco2rhm  20477  pwsdiagrhm  20582  evl1expd  22334