MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws0g 17935
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmnd.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws0g.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws0g ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝑌))

Proof of Theorem pws0g
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2826 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simpr 485 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
3 fvexd 6682 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 fconst6g 6565 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
54adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
61, 2, 3, 5prds0g 17933 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
7 elex 3518 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
87ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ V)
9 fconstmpt 5613 . . . . 5 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
109a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅))
11 fn0g 17862 . . . . . 6 0g Fn V
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 0g Fn V)
13 dffn5 6721 . . . . 5 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g𝑟)))
1412, 13sylib 219 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g𝑟)))
15 fveq2 6667 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = (0g𝑅))
16 pws0g.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1715, 16syl6eqr 2879 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = 0 )
188, 10, 14, 17fmptco 6887 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥𝐼0 ))
19 fconstmpt 5613 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2018, 19syl6reqr 2880 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
21 pwsmnd.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
22 eqid 2826 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
2321, 22pwsval 16749 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
2423fveq2d 6671 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
256, 20, 243eqtr4d 2871 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  Vcvv 3500  {csn 4564  cmpt 5143   × cxp 5552  ccom 5558   Fn wfn 6347  wf 6348  cfv 6352  (class class class)co 7148  Scalarcsca 16558  0gc0g 16703  Xscprds 16709  s cpws 16710  Mndcmnd 17900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-ixp 8451  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-7 11694  df-8 11695  df-9 11696  df-n0 11887  df-z 11971  df-dec 12088  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-ip 16573  df-tset 16574  df-ple 16575  df-ds 16577  df-hom 16579  df-cco 16580  df-0g 16705  df-prds 16711  df-pws 16713  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17978  pwsco1mhm  17979  pwsco2mhm  17980  frlm0  20814  plypf1  24717  pwssplit4  39554  pwslnmlem2  39558
  Copyright terms: Public domain W3C validator