MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pws0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pws0g 17638
Description: Zero in a product of monoids. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pwsmnd.y 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
pws0g.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
pws0g ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝑌))

Proof of Theorem pws0g
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2797 . . 3 ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2 simpr 478 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
3 fvexd 6424 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4 fconst6g 6307 . . . 4 (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
54adantr 473 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
61, 2, 3, 5prds0g 17636 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
7 elex 3398 . . . . 5 (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
87ad2antrr 718 . . . 4 (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑅 ∈ V)
9 fconstmpt 5366 . . . . 5 (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅)
109a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥𝐼𝑅))
11 fn0g 17574 . . . . . 6 0g Fn V
1211a1i 11 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 0g Fn V)
13 dffn5 6464 . . . . 5 (0g Fn V ↔ 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g𝑟)))
1412, 13sylib 210 . . . 4 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g𝑟)))
15 fveq2 6409 . . . . 5 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = (0g𝑅))
16 pws0g.z . . . . 5 0 = (0g𝑅)
1715, 16syl6eqr 2849 . . . 4 (𝑟 = 𝑅 → (0g𝑟) = 0 )
188, 10, 14, 17fmptco 6621 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥𝐼0 ))
19 fconstmpt 5366 . . 3 (𝐼 × { 0 }) = (𝑥𝐼0 )
2018, 19syl6reqr 2850 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
21 pwsmnd.y . . . 4 𝑌 = (𝑅s 𝐼)
22 eqid 2797 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
2321, 22pwsval 16458 . . 3 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
2423fveq2d 6413 . 2 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (0g𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
256, 20, 243eqtr4d 2841 1 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383  {csn 4366  cmpt 4920   × cxp 5308  ccom 5314   Fn wfn 6094  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  Scalarcsca 16267  0gc0g 16412  Xscprds 16418  s cpws 16419  Mndcmnd 17606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-map 8095  df-ixp 8147  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-fz 12577  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-sca 16280  df-vsca 16281  df-ip 16282  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-hom 16288  df-cco 16289  df-0g 16414  df-prds 16420  df-pws 16422  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607
This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  17681  pwsco1mhm  17682  pwsco2mhm  17683  frlm0  20420  plypf1  24306  pwssplit4  38432  pwslnmlem2  38436
  Copyright terms: Public domain W3C validator