Theorem pws0g 18689

Description: The identity in a structure power of a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwsmnd.y	⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
pws0g.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pws0g	⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Proof of Theorem pws0g

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})) = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))
2		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		fvexd 6846	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (Scalar‘𝑅) ∈ V)
4		fconst6g 6720	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}):𝐼⟶Mnd)
6	1, 2, 3, 5	prds0g 18687	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
7		fconstmpt 5683	. . 3 ⊢ (𝐼 × { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 )
8		elex 3458	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → 𝑅 ∈ V)
9	8	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ V)
10		fconstmpt 5683	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅)
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × {𝑅}) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 𝑅))
12		fn0g 18579	. . . . . 6 ⊢ 0g Fn V
13	12	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g Fn V)
14		dffn5 6889	. . . . 5 ⊢ (0g Fn V ↔ 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
15	13, 14	sylib 218	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0g = (𝑟 ∈ V ↦ (0g‘𝑟)))
16		fveq2 6831	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = (0g‘𝑅))
17		pws0g.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	16, 17	eqtr4di 2786	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (0g‘𝑟) = 0 )
19	9, 11, 15, 18	fmptco 7071	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ 0 ))
20	7, 19	eqtr4id 2787	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g ∘ (𝐼 × {𝑅})))
21		pwsmnd.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑅 ↑s 𝐼)
22		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘𝑅)
23	21, 22	pwsval 17397	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝑌 = ((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅})))
24	23	fveq2d 6835	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (0g‘𝑌) = (0g‘((Scalar‘𝑅)Xs(𝐼 × {𝑅}))))
25	6, 20, 24	3eqtr4d 2778	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐼 × { 0 }) = (0g‘𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  {csn 4577   ↦ cmpt 5176   × cxp 5619   ∘ ccom 5625   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Scalarcsca 17171  0_gc0g 17350  X_scprds 17356   ↑_s cpws 17357  Mndcmnd 18650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-hom 17192  df-cco 17193  df-0g 17352  df-prds 17358  df-pws 17360  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651

This theorem is referenced by:  pwsdiagmhm  18747  pwsco1mhm  18748  pwsco2mhm  18749  frlm0  21700  evlsvvval  22039  evls1fpws  22304  plypf1  26164  pwssplit4  43246  pwslnmlem2  43250