Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnequiv 36294
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the n metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnequiv.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrnequiv ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑌)
2 ovex 7390 . . . . . . . 8 (ℂflds ℝ) ∈ V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
43adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
6 reex 11142 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
7 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
8 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
97, 8resssca 17224 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
115, 10pwsval 17368 . . . . . . . 8 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
122, 4, 11sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
1312fveq2d 6846 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
141, 13eqtrid 2788 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
1514oveqd 7374 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))𝐺))
16 fconstmpt 5694 . . . . . 6 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
1716oveq2i 7368 . . . . 5 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
18 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
19 fvexd 6857 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
202a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
2120ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (ℂflds ℝ) ∈ V)
22 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
23 rrnequiv.1 . . . . . . 7 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
24 ax-resscn 11108 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
25 cnfldbas 20800 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
267, 25ressbas2 17120 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
285, 27pwsbas 17369 . . . . . . . . 9 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
292, 4, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3012fveq2d 6846 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3129, 30eqtrd 2776 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3223, 31eqtrid 2788 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3322, 32eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
34 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
3534, 32eleqtrd 2840 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
36 cnfldds 20806 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
377, 36ressds 17291 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
386, 37ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
3938reseq1i 5933 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
40 eqid 2736 . . . . 5 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4117, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40prdsdsval3 17367 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
4215, 41eqtrd 2776 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
43 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4423, 43rrndstprj1 36289 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
4544an32s 650 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
463, 45sylanl1 678 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
4746ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
48 ovex 7390 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V
4948rgenw 3068 . . . . . . 7 𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V
50 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))
51 breq1 5108 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
5250, 51ralrnmptw 7044 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
5349, 52ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5447, 53sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5523rrnmet 36288 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
57 metge0 23698 . . . . . . . 8 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5856, 22, 34, 57syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
59 elsni 4603 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
6059breq1d 5115 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6158, 60syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6261ralrimiv 3142 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
63 ralunb 4151 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6454, 62, 63sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
6517, 18, 19, 4, 21, 27, 33prdsbascl 17365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6665r19.21bi 3234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6717, 18, 19, 4, 21, 27, 35prdsbascl 17365 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6867r19.21bi 3234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6943remet 24153 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
70 metcl 23685 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7169, 70mp3an1 1448 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7266, 68, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7372fmpttd 7063 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))):𝐼⟶ℝ)
7473frnd 6676 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ)
75 ressxr 11199 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
7674, 75sstrdi 3956 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ*)
77 0xr 11202 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ∈ ℝ*)
7978snssd 4769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → {0} ⊆ ℝ*)
8076, 79unssd 4146 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
81 metcl 23685 . . . . . . 7 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
8256, 22, 34, 81syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
8375, 82sselid 3942 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ*)
84 supxrleub 13245 . . . . 5 (((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
8580, 83, 84syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
8664, 85mpbird 256 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
8742, 86eqbrtrd 5127 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
88 rzal 4466 . . . . . . 7 (𝐼 = ∅ → ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8922, 23eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
90 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
91 ffn 6668 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
9289, 90, 913syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9334, 23eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
94 elmapi 8787 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
95 ffn 6668 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 Fn 𝐼)
97 eqfnfv 6982 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
9892, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
9988, 98syl5ibr 245 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 = ∅ → 𝐹 = 𝐺))
10099imp 407 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐹 = 𝐺)
101100oveq1d 7372 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (𝐺(ℝn𝐼)𝐺))
102 met0 23696 . . . . . . 7 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐺𝑋) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) = 0)
10356, 34, 102syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) = 0)
104 hashcl 14256 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
1054, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
106105nn0red 12474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
107105nn0ge0d 12476 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
108106, 107resqrtcld 15302 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
1095, 1, 23repwsmet 36293 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1104, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
111 metcl 23685 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
112110, 22, 34, 111syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113106, 107sqrtge0d 15305 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
114 metge0 23698 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
115110, 22, 34, 114syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
116108, 112, 113, 115mulge0d 11732 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
117103, 116eqbrtrd 5127 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
118117adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
119101, 118eqbrtrd 5127 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
12082adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
121108, 112remulcld 11185 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
122121adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123 rpre 12923 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
124123ad2antll 727 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
125122, 124readdcld 11184 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟) ∈ ℝ)
1264adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ Fin)
127 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ≠ ∅)
128 eldifsn 4747 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
129126, 127, 128sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
13022adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐹𝑋)
13134adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝑋)
132112adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
133 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
134 hashnncl 14266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
135126, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
136127, 135mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
137136nnrpd 12955 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
138137rpsqrtcld 15296 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
139133, 138rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
140139rpred 12957 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
141132, 140readdcld 11184 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
142 0red 11158 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ)
143115adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
144132, 139ltaddrpd 12990 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
145142, 132, 141, 143, 144lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
146141, 145elrpd 12954 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+)
14772adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
148132adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
149141adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
15080ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
151 ssun1 4132 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})
152 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
15350elrnmpt1 5913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ∧ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))))
154152, 48, 153sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))))
155151, 154sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}))
156 supxrub 13243 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
157150, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
15842ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
159157, 158breqtrrd 5133 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
160144adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
161147, 148, 149, 159, 160lelttrd 11313 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
162161ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
16323, 43rrndstprj2 36290 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
164129, 130, 131, 146, 162, 163syl32anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
165132recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℂ)
166140recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
167108adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
168167recnd 11183 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
169165, 166, 168adddird 11180 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
170165, 168mulcomd 11176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) = ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
171124recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℂ)
172138rpne0d 12962 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
173171, 168, 172divcan1d 11932 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑟)
174170, 173oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
175169, 174eqtrd 2776 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
176164, 175breqtrd 5131 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
177120, 125, 176ltled 11303 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
178177anassrs 468 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
179178ralrimiva 3143 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
180 alrple 13125 . . . . . 6 (((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
18182, 121, 180syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
182181adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
183179, 182mpbird 256 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
184119, 183pm2.61dane 3032 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
18587, 184jca 512 1 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  Fincfn 8883  supcsup 9376  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054   · cmul 11056  *cxr 11188   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  0cn0 12413  +crp 12915  chash 14230  csqrt 15118  abscabs 15119  Basecbs 17083  s cress 17112  Scalarcsca 17136  distcds 17142  Xscprds 17327  s cpws 17328  Metcmet 20782  fldccnfld 20796  ncrrn 36284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-prds 17329  df-pws 17331  df-xmet 20789  df-met 20790  df-cnfld 20797  df-rrn 36285
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  36295
  Copyright terms: Public domain W3C validator