Theorem rrnequiv 38769

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the ℝⁿ metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnequiv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rrnequiv	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Proof of Theorem rrnequiv

Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnequiv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
2		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
3		rrnequiv.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
4	3	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
5		rrnequiv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
6		reex 11291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
7		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
9	7, 8	resssca 17514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
11	5, 10	pwsval 17657	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
12	2, 4, 11	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
13	12	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
14	1, 13	eqtrid 2808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
15	14	oveqd 7437	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))𝐺))
16		fconstmpt 5713	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
17	16	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
18		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
19		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
21	20	ralrimiva 3155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
22		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
23		rrnequiv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
24		ax-resscn 11257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		cnfldbas 21682	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	7, 25	ressbas2 17416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	5, 27	pwsbas 17658	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
29	2, 4, 28	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
30	12	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	29, 30	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32	23, 31	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
33	22, 32	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
34		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
35	34, 32	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36		cnfldds 21690	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
37	7, 36	ressds 17581	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
39	38	reseq1i 5966	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
40		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
41	17, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40	prdsdsval3 17656	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
42	15, 41	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
43		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
44	23, 43	rrndstprj1 38764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
45	44	an32s 665	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
46	3, 45	sylanl1 693	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
47	46	ralrimiva 3155	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
48		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V
49	48	rgenw 3081	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V
50		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))
51		breq1 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
52	50, 51	ralrnmptw 7094	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
54	47, 53	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
55	23	rrnmet 38763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
56	4, 55	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
57		metge0 24664	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
58	56, 22, 34, 57	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
59		elsni 4601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
60	59	breq1d 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
61	58, 60	syl5ibrcom 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
62	61	ralrimiv 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
63		ralunb 4143	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
64	54, 62, 63	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
65	17, 18, 19, 4, 21, 27, 33	prdsbascl 17654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
66	65	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
67	17, 18, 19, 4, 21, 27, 35	prdsbascl 17654	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
68	67	r19.21bi 3255	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
69	43	remet 25109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
70		metcl 24651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
71	69, 70	mp3an1 1477	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
72	66, 68, 71	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
73	72	fmpttd 7115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))):𝐼⟶ℝ)
74	73	frnd 6718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ)
75		ressxr 11353	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
76	74, 75	sstrdi 3943	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ*)
77		0xr 11356	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ ℝ*)
79	78	snssd 4747	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → {0} ⊆ ℝ*)
80	76, 79	unssd 4138	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
81		metcl 24651	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
82	56, 22, 34, 81	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
83	75, 82	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ*)
84		supxrleub 13456	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
85	80, 83, 84	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
86	64, 85	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
87	42, 86	eqbrtrd 5127	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
88		rzal 4450	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
89	22, 23	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
90		elmapi 8869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
91		ffn 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
92	89, 90, 91	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 Fn 𝐼)
93	34, 23	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
94		elmapi 8869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
95		ffn 6709	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
96	93, 94, 95	3syl 19	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 Fn 𝐼)
97		eqfnfv 7029	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
98	92, 96, 97	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
99	88, 98	imbitrrid 249	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐼 = ∅ → 𝐹 = 𝐺))
100	99	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐹 = 𝐺)
101	100	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺))
102		met0 24662	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) = 0)
103	56, 34, 102	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) = 0)
104		hashcl 14500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
105	4, 104	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
106	105	nn0red 12668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
107	105	nn0ge0d 12670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
108	106, 107	resqrtcld 15585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
109	5, 1, 23	repwsmet 38768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
110	4, 109	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
111		metcl 24651	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
112	110, 22, 34, 111	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113	106, 107	sqrtge0d 15588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
114		metge0 24664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
115	110, 22, 34, 114	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
116	108, 112, 113, 115	mulge0d 11893	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
117	103, 116	eqbrtrd 5127	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
118	117	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
119	101, 118	eqbrtrd 5127	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
120	82	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
121	108, 112	remulcld 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
122	121	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123		rpre 13129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
124	123	ad2antll 742	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
125	122, 124	readdcld 11338	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟) ∈ ℝ)
126	4	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ Fin)
127		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ≠ ∅)
128		eldifsn 4748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
129	126, 127, 128	sylanbrc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
130	22	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
131	34	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
132	112	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
133		simprr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
134		hashnncl 14510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
135	126, 134	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
136	127, 135	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
137	136	nnrpd 13162	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
138	137	rpsqrtcld 15579	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
139	133, 138	rpdivcld 13181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
140	139	rpred 13164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
141	132, 140	readdcld 11338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
142		0red 11311	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ)
143	115	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
144	132, 139	ltaddrpd 13197	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
145	142, 132, 141, 143, 144	lelttrd 11468	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
146	141, 145	elrpd 13161	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+)
147	72	adantlr 728	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
148	132	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
149	141	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
150	80	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
151		ssun1 4124	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})
152		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
153	50	elrnmpt1 5942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))))
154	152, 48, 153	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))))
155	151, 154	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}))
156		supxrub 13454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
157	150, 155, 156	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
158	42	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
159	157, 158	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
160	144	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
161	147, 148, 149, 159, 160	lelttrd 11468	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
162	161	ralrimiva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
163	23, 43	rrndstprj2 38765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
164	129, 130, 131, 146, 162, 163	syl32anc 1405	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
165	132	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℂ)
166	140	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
167	108	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
168	167	recnd 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
169	165, 166, 168	adddird 11334	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
170	165, 168	mulcomd 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) = ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
171	124	recnd 11337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℂ)
172	138	rpne0d 13169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
173	171, 168, 172	divcan1d 12094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑟)
174	170, 173	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
175	169, 174	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
176	164, 175	breqtrd 5131	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
177	120, 125, 176	ltled 11458	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
178	177	anassrs 473	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
179	178	ralrimiva 3155	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
180		alrple 13336	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
181	82, 121, 180	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
182	181	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
183	179, 182	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
184	119, 183	pm2.61dane 3043	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
185	87, 184	jca 521	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ran crn 5652   ↾ cres 5653   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  supcsup 9432  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℝ⁺crp 13120  ♯chash 14474  √csqrt 15400  abscabs 15401  Basecbs 17387   ↾_s cress 17408  Scalarcsca 17431  distcds 17437  X_scprds 17616   ↑_s cpws 17617  Metcmet 21664  ℂ_fldccnfld 21678  ℝⁿcrrn 38759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-map 8849  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-clim 15655  df-sum 15854  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-prds 17618  df-pws 17620  df-xmet 21671  df-met 21672  df-cnfld 21679  df-rrn 38760

This theorem is used by:  rrntotbnd  38770