Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrnequiv 36692
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the ℝn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y π‘Œ = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnequiv.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrnequiv ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∧ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺))))
Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables π‘˜ π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
2 ovex 7439 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
43adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
6 reex 11198 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
7 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs ℝ) = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
8 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜β„‚fld)
97, 8resssca 17285 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
115, 10pwsval 17429 . . . . . . . 8 (((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
122, 4, 11sylancr 588 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
1312fveq2d 6893 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
141, 13eqtrid 2785 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
1514oveqd 7423 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))𝐺))
16 fconstmpt 5737 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (β„‚fld β†Ύs ℝ))
1716oveq2i 7417 . . . . 5 ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})) = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (β„‚fld β†Ύs ℝ)))
18 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
19 fvexd 6904 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (Scalarβ€˜β„‚fld) ∈ V)
202a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V)
2120ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V)
22 simprl 770 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
23 rrnequiv.1 . . . . . . 7 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
24 ax-resscn 11164 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
25 cnfldbas 20941 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
267, 25ressbas2 17179 . . . . . . . . . . 11 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ℝ = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℝ = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
285, 27pwsbas 17430 . . . . . . . . 9 (((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
292, 4, 28sylancr 588 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
3012fveq2d 6893 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3129, 30eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3223, 31eqtrid 2785 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3322, 32eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
34 simprr 772 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
3534, 32eleqtrd 2836 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
36 cnfldds 20947 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„‚fld)
377, 36ressds 17352 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V β†’ (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
386, 37ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
3938reseq1i 5976 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
40 eqid 2733 . . . . 5 (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
4117, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40prdsdsval3 17428 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))𝐺) = sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
4215, 41eqtrd 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
43 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4423, 43rrndstprj1 36687 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
4544an32s 651 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
463, 45sylanl1 679 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
4746ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
48 ovex 7439 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
4948rgenw 3066 . . . . . . 7 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
50 eqid 2733 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))
51 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
5250, 51ralrnmptw 7093 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
5349, 52ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
5447, 53sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
5523rrnmet 36686 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
57 metge0 23843 . . . . . . . 8 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
5856, 22, 34, 57syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
59 elsni 4645 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} β†’ 𝑧 = 0)
6059breq1d 5158 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} β†’ (𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ 0 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
6158, 60syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ {0} β†’ 𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
6261ralrimiv 3146 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
63 ralunb 4191 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∧ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
6454, 62, 63sylanbrc 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
6517, 18, 19, 4, 21, 27, 33prdsbascl 17426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6665r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6717, 18, 19, 4, 21, 27, 35prdsbascl 17426 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6867r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6943remet 24298 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
70 metcl 23830 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7169, 70mp3an1 1449 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7266, 68, 71syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7372fmpttd 7112 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))):πΌβŸΆβ„)
7473frnd 6723 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)
75 ressxr 11255 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
7674, 75sstrdi 3994 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βŠ† ℝ*)
77 0xr 11258 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
7978snssd 4812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ {0} βŠ† ℝ*)
8076, 79unssd 4186 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
81 metcl 23830 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ)
8256, 22, 34, 81syl3anc 1372 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ)
8375, 82sselid 3980 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ*)
84 supxrleub 13302 . . . . 5 (((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ*) β†’ (sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
8580, 83, 84syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
8664, 85mpbird 257 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
8742, 86eqbrtrd 5170 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
88 rzal 4508 . . . . . . 7 (𝐼 = βˆ… β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
8922, 23eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
90 elmapi 8840 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
91 ffn 6715 . . . . . . . . 9 (𝐹:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
9289, 90, 913syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
9334, 23eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
94 elmapi 8840 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
95 ffn 6715 . . . . . . . . 9 (𝐺:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
97 eqfnfv 7030 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜)))
9892, 96, 97syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜)))
9988, 98imbitrrid 245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 = βˆ… β†’ 𝐹 = 𝐺))
10099imp 408 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ 𝐹 = 𝐺)
101100oveq1d 7421 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
102 met0 23841 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = 0)
10356, 34, 102syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = 0)
104 hashcl 14313 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
1054, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
106105nn0red 12530 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
107105nn0ge0d 12532 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
108106, 107resqrtcld 15361 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
1095, 1, 23repwsmet 36691 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1104, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
111 metcl 23830 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
112110, 22, 34, 111syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113106, 107sqrtge0d 15364 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
114 metge0 23843 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
115110, 22, 34, 114syl3anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
116108, 112, 113, 115mulge0d 11788 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
117103, 116eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
118117adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
119101, 118eqbrtrd 5170 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
12082adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ)
121108, 112remulcld 11241 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
122121adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123 rpre 12979 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
124123ad2antll 728 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
125122, 124readdcld 11240 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
1264adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
127 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
128 eldifsn 4790 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…))
129126, 127, 128sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
13022adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
13134adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
132112adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
133 simprr 772 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
134 hashnncl 14323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
135126, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
136127, 135mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
137136nnrpd 13011 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
138137rpsqrtcld 15355 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
139133, 138rpdivcld 13030 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
140139rpred 13013 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
141132, 140readdcld 11240 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
142 0red 11214 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 ∈ ℝ)
143115adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
144132, 139ltaddrpd 13046 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
145142, 132, 141, 143, 144lelttrd 11369 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
146141, 145elrpd 13010 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ+)
14772adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
148132adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
149141adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
15080ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
151 ssun1 4172 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βŠ† (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})
152 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
15350elrnmpt1 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))))
154152, 48, 153sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))))
155151, 154sselid 3980 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}))
156 supxrub 13300 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
157150, 155, 156syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
15842ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
159157, 158breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
160144adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
161147, 148, 149, 159, 160lelttrd 11369 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
162161ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
16323, 43rrndstprj2 36688 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
164129, 130, 131, 146, 162, 163syl32anc 1379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
165132recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ β„‚)
166140recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ β„‚)
167108adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
168167recnd 11239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ β„‚)
169165, 166, 168adddird 11236 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = (((𝐹𝐷𝐺) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) + ((π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
170165, 168mulcomd 11232 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
171124recnd 11239 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
172138rpne0d 13018 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
173171, 168, 172divcan1d 11988 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = π‘Ÿ)
174170, 173oveq12d 7424 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝐹𝐷𝐺) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) + ((π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) = (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
175169, 174eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
176164, 175breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
177120, 125, 176ltled 11359 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
178177anassrs 469 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
179178ralrimiva 3147 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
180 alrple 13182 . . . . . 6 (((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) β†’ ((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ)))
18182, 121, 180syl2anc 585 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ)))
182181adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ)))
183179, 182mpbird 257 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
184119, 183pm2.61dane 3030 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
18587, 184jca 513 1 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∧ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  supcsup 9432  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110   Β· cmul 11112  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441   / cdiv 11868  β„•cn 12209  β„•0cn0 12469  β„+crp 12971  β™―chash 14287  βˆšcsqrt 15177  abscabs 15178  Basecbs 17141   β†Ύs cress 17170  Scalarcsca 17197  distcds 17203  Xscprds 17388   ↑s cpws 17389  Metcmet 20923  β„‚fldccnfld 20937  β„ncrrn 36682
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-prds 17390  df-pws 17392  df-xmet 20930  df-met 20931  df-cnfld 20938  df-rrn 36683
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  36693
  Copyright terms: Public domain W3C validator