Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrnequiv 37006
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the ℝn metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y π‘Œ = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnequiv.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrnequiv ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∧ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺))))
Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables π‘˜ π‘Ÿ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6 𝐷 = (distβ€˜π‘Œ)
2 ovex 7444 . . . . . . . 8 (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
43adantr 479 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = ((β„‚fld β†Ύs ℝ) ↑s 𝐼)
6 reex 11203 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
7 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (β„‚fld β†Ύs ℝ) = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
8 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜β„‚fld)
97, 8resssca 17292 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V β†’ (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Scalarβ€˜β„‚fld) = (Scalarβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
115, 10pwsval 17436 . . . . . . . 8 (((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
122, 4, 11sylancr 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
1312fveq2d 6894 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (distβ€˜π‘Œ) = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
141, 13eqtrid 2782 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
1514oveqd 7428 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))𝐺))
16 fconstmpt 5737 . . . . . 6 (𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (β„‚fld β†Ύs ℝ))
1716oveq2i 7422 . . . . 5 ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})) = ((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (β„‚fld β†Ύs ℝ)))
18 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
19 fvexd 6905 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (Scalarβ€˜β„‚fld) ∈ V)
202a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V)
2120ralrimiva 3144 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V)
22 simprl 767 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
23 rrnequiv.1 . . . . . . 7 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
24 ax-resscn 11169 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
25 cnfldbas 21148 . . . . . . . . . . . 12 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
267, 25ressbas2 17186 . . . . . . . . . . 11 (ℝ βŠ† β„‚ β†’ ℝ = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℝ = (Baseβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
285, 27pwsbas 17437 . . . . . . . . 9 (((β„‚fld β†Ύs ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
292, 4, 28sylancr 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜π‘Œ))
3012fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3129, 30eqtrd 2770 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ℝ ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3223, 31eqtrid 2782 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝑋 = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
3322, 32eleqtrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
34 simprr 769 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
3534, 32eleqtrd 2833 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))))
36 cnfldds 21154 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜β„‚fld)
377, 36ressds 17359 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V β†’ (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)))
386, 37ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ))
3938reseq1i 5976 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((distβ€˜(β„‚fld β†Ύs ℝ)) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
40 eqid 2730 . . . . 5 (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)}))) = (distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))
4117, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40prdsdsval3 17435 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(distβ€˜((Scalarβ€˜β„‚fld)Xs(𝐼 Γ— {(β„‚fld β†Ύs ℝ)})))𝐺) = sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
4215, 41eqtrd 2770 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
43 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
4423, 43rrndstprj1 37001 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
4544an32s 648 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
463, 45sylanl1 676 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
4746ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
48 ovex 7444 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
4948rgenw 3063 . . . . . . 7 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V
50 eqid 2730 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))
51 breq1 5150 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) β†’ (𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
5250, 51ralrnmptw 7094 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
5349, 52ax-mp 5 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
5447, 53sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
5523rrnmet 37000 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
57 metge0 24071 . . . . . . . 8 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
5856, 22, 34, 57syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
59 elsni 4644 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} β†’ 𝑧 = 0)
6059breq1d 5157 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} β†’ (𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ 0 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
6158, 60syl5ibrcom 246 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝑧 ∈ {0} β†’ 𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
6261ralrimiv 3143 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
63 ralunb 4190 . . . . 5 (βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)))𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∧ βˆ€π‘§ ∈ {0}𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
6454, 62, 63sylanbrc 581 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
6517, 18, 19, 4, 21, 27, 33prdsbascl 17433 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6665r19.21bi 3246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6717, 18, 19, 4, 21, 27, 35prdsbascl 17433 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6867r19.21bi 3246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6943remet 24526 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„)
70 metcl 24058 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (Metβ€˜β„) ∧ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7169, 70mp3an1 1446 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (πΊβ€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7266, 68, 71syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
7372fmpttd 7115 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))):πΌβŸΆβ„)
7473frnd 6724 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βŠ† ℝ)
75 ressxr 11262 . . . . . . 7 ℝ βŠ† ℝ*
7674, 75sstrdi 3993 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βŠ† ℝ*)
77 0xr 11265 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
7978snssd 4811 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ {0} βŠ† ℝ*)
8076, 79unssd 4185 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
81 metcl 24058 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ)
8256, 22, 34, 81syl3anc 1369 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ)
8375, 82sselid 3979 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ*)
84 supxrleub 13309 . . . . 5 (((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ*) β†’ (sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
8580, 83, 84syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ↔ βˆ€π‘§ ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})𝑧 ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺)))
8664, 85mpbird 256 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
8742, 86eqbrtrd 5169 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
88 rzal 4507 . . . . . . 7 (𝐼 = βˆ… β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜))
8922, 23eleqtrdi 2841 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
90 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐹:πΌβŸΆβ„)
91 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (𝐹:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
9289, 90, 913syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐹 Fn 𝐼)
9334, 23eleqtrdi 2841 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
94 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) β†’ 𝐺:πΌβŸΆβ„)
95 ffn 6716 . . . . . . . . 9 (𝐺:πΌβŸΆβ„ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
97 eqfnfv 7031 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜)))
9892, 96, 97syl2anc 582 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘˜) = (πΊβ€˜π‘˜)))
9988, 98imbitrrid 245 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐼 = βˆ… β†’ 𝐹 = 𝐺))
10099imp 405 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ 𝐹 = 𝐺)
101100oveq1d 7426 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺))
102 met0 24069 . . . . . . 7 (((ℝnβ€˜πΌ) ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = 0)
10356, 34, 102syl2anc 582 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) = 0)
104 hashcl 14320 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
1054, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•0)
106105nn0red 12537 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ)
107105nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (β™―β€˜πΌ))
108106, 107resqrtcld 15368 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
1095, 1, 23repwsmet 37005 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
1104, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹))
111 metcl 24058 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
112110, 22, 34, 111syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113106, 107sqrtge0d 15371 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))
114 metge0 24071 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
115110, 22, 34, 114syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
116108, 112, 113, 115mulge0d 11795 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ 0 ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
117103, 116eqbrtrd 5169 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
118117adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝐺(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
119101, 118eqbrtrd 5169 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
12082adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ)
121108, 112remulcld 11248 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
122121adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123 rpre 12986 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
124123ad2antll 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
125122, 124readdcld 11247 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
1264adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
127 simprl 767 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 β‰  βˆ…)
128 eldifsn 4789 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…))
129126, 127, 128sylanbrc 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
13022adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐹 ∈ 𝑋)
13134adantr 479 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 𝐺 ∈ 𝑋)
132112adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
133 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
134 hashnncl 14330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
135126, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((β™―β€˜πΌ) ∈ β„• ↔ 𝐼 β‰  βˆ…))
136127, 135mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ β„•)
137136nnrpd 13018 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (β™―β€˜πΌ) ∈ ℝ+)
138137rpsqrtcld 15362 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ+)
139133, 138rpdivcld 13037 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ+)
140139rpred 13020 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ ℝ)
141132, 140readdcld 11247 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
142 0red 11221 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 ∈ ℝ)
143115adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 ≀ (𝐹𝐷𝐺))
144132, 139ltaddrpd 13053 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
145142, 132, 141, 143, 144lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
146141, 145elrpd 13017 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ+)
14772adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ℝ)
148132adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
149141adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ)
15080ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ*)
151 ssun1 4171 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βŠ† (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})
152 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘˜ ∈ 𝐼)
15350elrnmpt1 5956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ V) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))))
154152, 48, 153sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))))
155151, 154sselid 3979 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}))
156 supxrub 13307 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}) βŠ† ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ∈ (ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0})) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
157150, 155, 156syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
15842ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜))) βˆͺ {0}), ℝ*, < ))
159157, 158breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) ≀ (𝐹𝐷𝐺))
160144adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
161147, 148, 149, 159, 160lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
162161ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
16323, 43rrndstprj2 37002 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 ((πΉβ€˜π‘˜)((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))(πΊβ€˜π‘˜)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
164129, 130, 131, 146, 162, 163syl32anc 1376 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))))
165132recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹𝐷𝐺) ∈ β„‚)
166140recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) ∈ β„‚)
167108adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ ℝ)
168167recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) ∈ β„‚)
169165, 166, 168adddird 11243 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = (((𝐹𝐷𝐺) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) + ((π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))))
170165, 168mulcomd 11239 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
171124recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ π‘Ÿ ∈ β„‚)
172138rpne0d 13025 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) β‰  0)
173171, 168, 172divcan1d 11995 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ ((π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = π‘Ÿ)
174170, 173oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝐹𝐷𝐺) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) + ((π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) = (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
175169, 174eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (((𝐹𝐷𝐺) + (π‘Ÿ / (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)))) Β· (βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ))) = (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
176164, 175breqtrd 5173 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) < (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
177120, 125, 176ltled 11366 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 β‰  βˆ… ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
178177anassrs 466 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
179178ralrimiva 3144 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ))
180 alrple 13189 . . . . . 6 (((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) β†’ ((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ)))
18182, 121, 180syl2anc 582 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ)))
182181adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ ((𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) ↔ βˆ€π‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ (((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)) + π‘Ÿ)))
183179, 182mpbird 256 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
184119, 183pm2.61dane 3027 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺)))
18587, 184jca 510 1 ((πœ‘ ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) β†’ ((𝐹𝐷𝐺) ≀ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ∧ (𝐹(ℝnβ€˜πΌ)𝐺) ≀ ((βˆšβ€˜(β™―β€˜πΌ)) Β· (𝐹𝐷𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  ran crn 5676   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„•0cn0 12476  β„+crp 12978  β™―chash 14294  βˆšcsqrt 15184  abscabs 15185  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  Scalarcsca 17204  distcds 17210  Xscprds 17395   ↑s cpws 17396  Metcmet 21130  β„‚fldccnfld 21144  β„ncrrn 36996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-prds 17397  df-pws 17399  df-xmet 21137  df-met 21138  df-cnfld 21145  df-rrn 36997
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  37007
  Copyright terms: Public domain W3C validator