Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rrnequiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrnequiv 37822
Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the n metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rrnequiv.y 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnequiv.i (𝜑𝐼 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
rrnequiv ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Proof of Theorem rrnequiv
Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrnequiv.d . . . . . 6 𝐷 = (dist‘𝑌)
2 ovex 7464 . . . . . . . 8 (ℂflds ℝ) ∈ V
3 rrnequiv.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
43adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
5 rrnequiv.y . . . . . . . . 9 𝑌 = ((ℂflds ℝ) ↑s 𝐼)
6 reex 11244 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
7 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (ℂflds ℝ) = (ℂflds ℝ)
8 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
97, 8resssca 17389 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ)))
106, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂflds ℝ))
115, 10pwsval 17533 . . . . . . . 8 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
122, 4, 11sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
1312fveq2d 6911 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
141, 13eqtrid 2787 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
1514oveqd 7448 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))𝐺))
16 fconstmpt 5751 . . . . . 6 (𝐼 × {(ℂflds ℝ)}) = (𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ))
1716oveq2i 7442 . . . . 5 ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘𝐼 ↦ (ℂflds ℝ)))
18 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
19 fvexd 6922 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
202a1i 11 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (ℂflds ℝ) ∈ V)
2120ralrimiva 3144 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (ℂflds ℝ) ∈ V)
22 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹𝑋)
23 rrnequiv.1 . . . . . . 7 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
24 ax-resscn 11210 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
25 cnfldbas 21386 . . . . . . . . . . . 12 ℂ = (Base‘ℂfld)
267, 25ressbas2 17283 . . . . . . . . . . 11 (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ)))
2724, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ℝ = (Base‘(ℂflds ℝ))
285, 27pwsbas 17534 . . . . . . . . 9 (((ℂflds ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
292, 4, 28sylancr 587 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
3012fveq2d 6911 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3129, 30eqtrd 2775 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3223, 31eqtrid 2787 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
3322, 32eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
34 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺𝑋)
3534, 32eleqtrd 2841 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))))
36 cnfldds 21394 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
377, 36ressds 17456 . . . . . . 7 (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ)))
386, 37ax-mp 5 . . . . . 6 (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂflds ℝ))
3938reseq1i 5996 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂflds ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
40 eqid 2735 . . . . 5 (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))
4117, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40prdsdsval3 17532 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂflds ℝ)})))𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
4215, 41eqtrd 2775 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
43 eqid 2735 . . . . . . . . . 10 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
4423, 43rrndstprj1 37817 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
4544an32s 652 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
463, 45sylanl1 680 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
4746ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
48 ovex 7464 . . . . . . . 8 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V
4948rgenw 3063 . . . . . . 7 𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V
50 eqid 2735 . . . . . . . 8 (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))
51 breq1 5151 . . . . . . . 8 (𝑧 = ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
5250, 51ralrnmptw 7114 . . . . . . 7 (∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
5349, 52ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5447, 53sylibr 234 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5523rrnmet 37816 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
564, 55syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
57 metge0 24371 . . . . . . . 8 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
5856, 22, 34, 57syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
59 elsni 4648 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
6059breq1d 5158 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ {0} → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ 0 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6158, 60syl5ibrcom 247 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6261ralrimiv 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
63 ralunb 4207 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
6454, 62, 63sylanbrc 583 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
6517, 18, 19, 4, 21, 27, 33prdsbascl 17530 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6665r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝑘) ∈ ℝ)
6717, 18, 19, 4, 21, 27, 35prdsbascl 17530 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ∀𝑘𝐼 (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6867r19.21bi 3249 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐺𝑘) ∈ ℝ)
6943remet 24826 . . . . . . . . . . 11 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
70 metcl 24358 . . . . . . . . . . 11 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7169, 70mp3an1 1447 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7266, 68, 71syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
7372fmpttd 7135 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))):𝐼⟶ℝ)
7473frnd 6745 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ)
75 ressxr 11303 . . . . . . 7 ℝ ⊆ ℝ*
7674, 75sstrdi 4008 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ ℝ*)
77 0xr 11306 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ*
7877a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ∈ ℝ*)
7978snssd 4814 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → {0} ⊆ ℝ*)
8076, 79unssd 4202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
81 metcl 24358 . . . . . . 7 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
8256, 22, 34, 81syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
8375, 82sselid 3993 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ*)
84 supxrleub 13365 . . . . 5 (((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
8580, 83, 84syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺)))
8664, 85mpbird 257 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
8742, 86eqbrtrd 5170 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺))
88 rzal 4515 . . . . . . 7 (𝐼 = ∅ → ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘))
8922, 23eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
90 elmapi 8888 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
91 ffn 6737 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
9289, 90, 913syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐹 Fn 𝐼)
9334, 23eleqtrdi 2849 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
94 elmapi 8888 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
95 ffn 6737 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
9693, 94, 953syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐺 Fn 𝐼)
97 eqfnfv 7051 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn 𝐼𝐺 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
9892, 96, 97syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘𝐼 (𝐹𝑘) = (𝐺𝑘)))
9988, 98imbitrrid 246 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐼 = ∅ → 𝐹 = 𝐺))
10099imp 406 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐹 = 𝐺)
101100oveq1d 7446 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) = (𝐺(ℝn𝐼)𝐺))
102 met0 24369 . . . . . . 7 (((ℝn𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐺𝑋) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) = 0)
10356, 34, 102syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) = 0)
104 hashcl 14392 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
1054, 104syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
106105nn0red 12586 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
107105nn0ge0d 12588 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
108106, 107resqrtcld 15453 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
1095, 1, 23repwsmet 37821 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
1104, 109syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
111 metcl 24358 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
112110, 22, 34, 111syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113106, 107sqrtge0d 15456 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
114 metge0 24371 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
115110, 22, 34, 114syl3anc 1370 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
116108, 112, 113, 115mulge0d 11838 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → 0 ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
117103, 116eqbrtrd 5170 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
118117adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐺(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
119101, 118eqbrtrd 5170 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
12082adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
121108, 112remulcld 11289 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
122121adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123 rpre 13041 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
124123ad2antll 729 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
125122, 124readdcld 11288 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟) ∈ ℝ)
1264adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ Fin)
127 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ≠ ∅)
128 eldifsn 4791 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
129126, 127, 128sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
13022adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐹𝑋)
13134adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐺𝑋)
132112adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
133 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
134 hashnncl 14402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
135126, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
136127, 135mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
137136nnrpd 13073 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
138137rpsqrtcld 15447 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
139133, 138rpdivcld 13092 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
140139rpred 13075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
141132, 140readdcld 11288 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
142 0red 11262 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ)
143115adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
144132, 139ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
145142, 132, 141, 143, 144lelttrd 11417 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
146141, 145elrpd 13072 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+)
14772adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ℝ)
148132adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
149141adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
15080ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
151 ssun1 4188 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ⊆ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})
152 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑘𝐼)
15350elrnmpt1 5974 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ∧ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ V) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))))
154152, 48, 153sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))))
155151, 154sselid 3993 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}))
156 supxrub 13363 . . . . . . . . . . . . 13 (((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ∈ (ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0})) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
157150, 155, 156syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
15842ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘𝐼 ↦ ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
159157, 158breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
160144adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
161147, 148, 149, 159, 160lelttrd 11417 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
162161ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
16323, 43rrndstprj2 37818 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝐹𝑋𝐺𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘𝐼 ((𝐹𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
164129, 130, 131, 146, 162, 163syl32anc 1377 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
165132recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℂ)
166140recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
167108adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
168167recnd 11287 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
169165, 166, 168adddird 11284 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
170165, 168mulcomd 11280 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) = ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
171124recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℂ)
172138rpne0d 13080 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
173171, 168, 172divcan1d 12042 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑟)
174170, 173oveq12d 7449 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
175169, 174eqtrd 2775 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
176164, 175breqtrd 5174 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) < (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
177120, 125, 176ltled 11407 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
178177anassrs 467 . . . . 5 ((((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
179178ralrimiva 3144 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
180 alrple 13245 . . . . . 6 (((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
18182, 121, 180syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
182181adantr 480 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ((𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
183179, 182mpbird 257 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
184119, 183pm2.61dane 3027 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
18587, 184jca 511 1 ((𝜑 ∧ (𝐹𝑋𝐺𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ran crn 5690  cres 5691  ccom 5693   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  Fincfn 8984  supcsup 9478  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  0cn0 12524  +crp 13032  chash 14366  csqrt 15269  abscabs 15270  Basecbs 17245  s cress 17274  Scalarcsca 17301  distcds 17307  Xscprds 17492  s cpws 17493  Metcmet 21368  fldccnfld 21382  ncrrn 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-prds 17494  df-pws 17496  df-xmet 21375  df-met 21376  df-cnfld 21383  df-rrn 37813
This theorem is referenced by:  rrntotbnd  37823
  Copyright terms: Public domain W3C validator