Theorem rrnequiv 36002

Description: The supremum metric on ℝ↑𝐼 is equivalent to the ℝⁿ metric. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnequiv.y	⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
rrnequiv.d	⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
rrnequiv.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnequiv.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
rrnequiv	⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Proof of Theorem rrnequiv

Dummy variables 𝑘 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnequiv.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (dist‘𝑌)
2		ovex 7317	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V
3		rrnequiv.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
4	3	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐼 ∈ Fin)
5		rrnequiv.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = ((ℂfld ↾s ℝ) ↑s 𝐼)
6		reex 10971	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
7		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂfld ↾s ℝ) = (ℂfld ↾s ℝ)
8		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘ℂfld)
9	7, 8	resssca 17062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V → (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ)))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (Scalar‘ℂfld) = (Scalar‘(ℂfld ↾s ℝ))
11	5, 10	pwsval 17206	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
12	2, 4, 11	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝑌 = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
13	12	fveq2d 6787	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (dist‘𝑌) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
14	1, 13	eqtrid 2791	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐷 = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
15	14	oveqd 7301	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))𝐺))
16		fconstmpt 5650	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ))
17	16	oveq2i 7295	. . . . 5 ⊢ ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})) = ((Scalar‘ℂfld)Xs(𝑘 ∈ 𝐼 ↦ (ℂfld ↾s ℝ)))
18		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
19		fvexd 6798	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (Scalar‘ℂfld) ∈ V)
20	2	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
21	20	ralrimiva 3104	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (ℂfld ↾s ℝ) ∈ V)
22		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
23		rrnequiv.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
24		ax-resscn 10937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
25		cnfldbas 20610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
26	7, 25	ressbas2 16958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ ⊆ ℂ → ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ)))
27	24, 26	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ = (Base‘(ℂfld ↾s ℝ))
28	5, 27	pwsbas 17207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((ℂfld ↾s ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
29	2, 4, 28	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘𝑌))
30	12	fveq2d 6787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (Base‘𝑌) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
31	29, 30	eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝ ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
32	23, 31	eqtrid 2791	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝑋 = (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
33	22, 32	eleqtrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
34		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
35	34, 32	eleqtrd 2842	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (Base‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))))
36		cnfldds 20616	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘ℂfld)
37	7, 36	ressds 17129	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∈ V → (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ)))
38	6, 37	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (abs ∘ − ) = (dist‘(ℂfld ↾s ℝ))
39	38	reseq1i 5890	. . . . 5 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((dist‘(ℂfld ↾s ℝ)) ↾ (ℝ × ℝ))
40		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)}))) = (dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))
41	17, 18, 19, 4, 21, 33, 35, 27, 39, 40	prdsdsval3 17205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(dist‘((Scalar‘ℂfld)Xs(𝐼 × {(ℂfld ↾s ℝ)})))𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
42	15, 41	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
43		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
44	23, 43	rrndstprj1 35997	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
45	44	an32s 649	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐼 ∈ Fin ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
46	3, 45	sylanl1 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
47	46	ralrimiva 3104	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
48		ovex 7317	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V
49	48	rgenw 3077	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V
50		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) = (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))
51		breq1 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
52	50, 51	ralrnmptw 6979	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V → (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
53	49, 52	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
54	47, 53	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
55	23	rrnmet 35996	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
56	4, 55	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
57		metge0 23507	. . . . . . . 8 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
58	56, 22, 34, 57	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
59		elsni 4579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 = 0)
60	59	breq1d 5085	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ {0} → (𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ 0 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
61	58, 60	syl5ibrcom 246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝑧 ∈ {0} → 𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
62	61	ralrimiv 3103	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
63		ralunb 4126	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ (∀𝑧 ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)))𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ ∀𝑧 ∈ {0}𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
64	54, 62, 63	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
65	17, 18, 19, 4, 21, 27, 33	prdsbascl 17203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
66	65	r19.21bi 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ)
67	17, 18, 19, 4, 21, 27, 35	prdsbascl 17203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
68	67	r19.21bi 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ)
69	43	remet 23962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
70		metcl 23494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ) ∧ (𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
71	69, 70	mp3an1 1447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐺‘𝑘) ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
72	66, 68, 71	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
73	72	fmpttd 6998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))):𝐼⟶ℝ)
74	73	frnd 6617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ)
75		ressxr 11028	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ⊆ ℝ*
76	74, 75	sstrdi 3934	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ ℝ*)
77		0xr 11031	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ*
78	77	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ∈ ℝ*)
79	78	snssd 4743	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → {0} ⊆ ℝ*)
80	76, 79	unssd 4121	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
81		metcl 23494	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
82	56, 22, 34, 81	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
83	75, 82	sselid 3920	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ*)
84		supxrleub 13069	. . . . 5 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ*) → (sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
85	80, 83, 84	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ↔ ∀𝑧 ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})𝑧 ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺)))
86	64, 85	mpbird 256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
87	42, 86	eqbrtrd 5097	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺))
88		rzal 4440	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 = ∅ → ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘))
89	22, 23	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
90		elmapi 8646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐹:𝐼⟶ℝ)
91		ffn 6609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹:𝐼⟶ℝ → 𝐹 Fn 𝐼)
92	89, 90, 91	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐹 Fn 𝐼)
93	34, 23	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
94		elmapi 8646	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (ℝ ↑m 𝐼) → 𝐺:𝐼⟶ℝ)
95		ffn 6609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝐼⟶ℝ → 𝐺 Fn 𝐼)
96	93, 94, 95	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐺 Fn 𝐼)
97		eqfnfv 6918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐼 ∧ 𝐺 Fn 𝐼) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
98	92, 96, 97	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹 = 𝐺 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐼 (𝐹‘𝑘) = (𝐺‘𝑘)))
99	88, 98	syl5ibr 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐼 = ∅ → 𝐹 = 𝐺))
100	99	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → 𝐹 = 𝐺)
101	100	oveq1d 7299	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) = (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺))
102		met0 23505	. . . . . . 7 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) = 0)
103	56, 34, 102	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) = 0)
104		hashcl 14080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
105	4, 104	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ0)
106	105	nn0red 12303	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ)
107	105	nn0ge0d 12305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (♯‘𝐼))
108	106, 107	resqrtcld 15138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
109	5, 1, 23	repwsmet 36001	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
110	4, 109	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
111		metcl 23494	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
112	110, 22, 34, 111	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
113	106, 107	sqrtge0d 15141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (√‘(♯‘𝐼)))
114		metge0 23507	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
115	110, 22, 34, 114	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
116	108, 112, 113, 115	mulge0d 11561	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
117	103, 116	eqbrtrd 5097	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
118	117	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐺(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
119	101, 118	eqbrtrd 5097	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
120	82	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ)
121	108, 112	remulcld 11014	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
122	121	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ)
123		rpre 12747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
124	123	ad2antll 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ)
125	122, 124	readdcld 11013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟) ∈ ℝ)
126	4	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ Fin)
127		simprl 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ≠ ∅)
128		eldifsn 4721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
129	126, 127, 128	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
130	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐹 ∈ 𝑋)
131	34	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝐺 ∈ 𝑋)
132	112	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
133		simprr 770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
134		hashnncl 14090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
135	126, 134	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((♯‘𝐼) ∈ ℕ ↔ 𝐼 ≠ ∅))
136	127, 135	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℕ)
137	136	nnrpd 12779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (♯‘𝐼) ∈ ℝ+)
138	137	rpsqrtcld 15132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ+)
139	133, 138	rpdivcld 12798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ+)
140	139	rpred 12781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℝ)
141	132, 140	readdcld 11013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
142		0red 10987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ∈ ℝ)
143	115	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 ≤ (𝐹𝐷𝐺))
144	132, 139	ltaddrpd 12814	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
145	142, 132, 141, 143, 144	lelttrd 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 0 < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
146	141, 145	elrpd 12778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+)
147	72	adantlr 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ℝ)
148	132	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℝ)
149	141	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ)
150	80	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ*)
151		ssun1 4107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ⊆ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})
152		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → 𝑘 ∈ 𝐼)
153	50	elrnmpt1 5870	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝐼 ∧ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ V) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))))
154	152, 48, 153	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))))
155	151, 154	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}))
156		supxrub 13067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}) ⊆ ℝ* ∧ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ∈ (ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0})) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
157	150, 155, 156	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
158	42	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) = sup((ran (𝑘 ∈ 𝐼 ↦ ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘))) ∪ {0}), ℝ*, < ))
159	157, 158	breqtrrd 5103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) ≤ (𝐹𝐷𝐺))
160	144	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → (𝐹𝐷𝐺) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
161	147, 148, 149, 159, 160	lelttrd 11142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑘 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
162	161	ralrimiva 3104	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))
163	23, 43	rrndstprj2 35998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋) ∧ (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑘)((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))(𝐺‘𝑘)) < ((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))))) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
164	129, 130, 131, 146, 162, 163	syl32anc 1377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))))
165	132	recnd 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹𝐷𝐺) ∈ ℂ)
166	140	recnd 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) ∈ ℂ)
167	108	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℝ)
168	167	recnd 11012	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ∈ ℂ)
169	165, 166, 168	adddird 11009	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))))
170	165, 168	mulcomd 11005	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) = ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
171	124	recnd 11012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → 𝑟 ∈ ℂ)
172	138	rpne0d 12786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (√‘(♯‘𝐼)) ≠ 0)
173	171, 168, 172	divcan1d 11761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼))) = 𝑟)
174	170, 173	oveq12d 7302	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) · (√‘(♯‘𝐼))) + ((𝑟 / (√‘(♯‘𝐼))) · (√‘(♯‘𝐼)))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
175	169, 174	eqtrd 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (((𝐹𝐷𝐺) + (𝑟 / (√‘(♯‘𝐼)))) · (√‘(♯‘𝐼))) = (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
176	164, 175	breqtrd 5101	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) < (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
177	120, 125, 176	ltled 11132	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ (𝐼 ≠ ∅ ∧ 𝑟 ∈ ℝ+)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
178	177	anassrs 468	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
179	178	ralrimiva 3104	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟))
180		alrple 12949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∈ ℝ ∧ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ∈ ℝ) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
181	82, 121, 180	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
182	181	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → ((𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) ↔ ∀𝑟 ∈ ℝ+ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ (((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)) + 𝑟)))
183	179, 182	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
184	119, 183	pm2.61dane 3033	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺)))
185	87, 184	jca 512	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹 ∈ 𝑋 ∧ 𝐺 ∈ 𝑋)) → ((𝐹𝐷𝐺) ≤ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ∧ (𝐹(ℝn‘𝐼)𝐺) ≤ ((√‘(♯‘𝐼)) · (𝐹𝐷𝐺))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2944  ∀wral 3065  Vcvv 3433   ∖ cdif 3885   ∪ cun 3886   ⊆ wss 3888  ∅c0 4257  {csn 4562   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158   × cxp 5588  ran crn 5591   ↾ cres 5592   ∘ ccom 5594   Fn wfn 6432  ⟶wf 6433  ‘cfv 6437  (class class class)co 7284   ↑_m cmap 8624  Fincfn 8742  supcsup 9208  ℂcc 10878  ℝcr 10879  0cc0 10880   + caddc 10883   · cmul 10885  ℝ^*cxr 11017   < clt 11018   ≤ cle 11019   − cmin 11214   / cdiv 11641  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242  ℝ⁺crp 12739  ♯chash 14053  √csqrt 14953  abscabs 14954  Basecbs 16921   ↾_s cress 16950  Scalarcsca 16974  distcds 16980  X_scprds 17165   ↑_s cpws 17166  Metcmet 20592  ℂ_fldccnfld 20606  ℝⁿcrrn 35992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-er 8507  df-map 8626  df-ixp 8695  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-4 12047  df-5 12048  df-6 12049  df-7 12050  df-8 12051  df-9 12052  df-n0 12243  df-z 12329  df-dec 12447  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-sum 15407  df-struct 16857  df-sets 16874  df-slot 16892  df-ndx 16904  df-base 16922  df-ress 16951  df-plusg 16984  df-mulr 16985  df-starv 16986  df-sca 16987  df-vsca 16988  df-ip 16989  df-tset 16990  df-ple 16991  df-ds 16993  df-unif 16994  df-hom 16995  df-cco 16996  df-prds 17167  df-pws 17169  df-xmet 20599  df-met 20600  df-cnfld 20607  df-rrn 35993

This theorem is referenced by:  rrntotbnd  36003