Theorem frlmpwsfi 22020

Description: The finite free module is a power of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmpwsfi	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))

Proof of Theorem frlmpwsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6886	. . . . . 6 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		fnconstg 6758	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4		dsmmfi 22006	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
5	3, 4	mpan 703	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6	5	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
7		rlmsca 21435	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8	7	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
10	6, 9	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
11		frlmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
12	11	frlmval 22016	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	pwsval 17619	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
16	1, 15	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
17	16	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
18	10, 12, 17	3eqtr4d 2805	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  {csn 4583   × cxp 5645   Fn wfn 6522  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  Fincfn 8951  Scalarcsca 17393  X_scprds 17578   ↑_s cpws 17579  ringLModcrglmod 21409   ⊕_m cdsmm 21999   freeLMod cfrlm 22014

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-ixp 8904  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-fin 8955  df-sup 9412  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-9 12382  df-n0 12577  df-z 12664  df-dec 12785  df-uz 12936  df-fz 13610  df-struct 17287  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-ress 17371  df-plusg 17403  df-mulr 17404  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-tset 17409  df-ple 17410  df-ds 17412  df-hom 17414  df-cco 17415  df-0g 17574  df-prds 17580  df-pws 17582  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-dsmm 22000  df-frlm 22015

This theorem is used by:  lnrfrlm  44063