Theorem frlmpwsfi 21777

Description: The finite free module is a power of the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
frlmval.f	⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frlmpwsfi	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))

Proof of Theorem frlmpwsfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6869	. . . . . 6 ⊢ (ringLMod‘𝑅) ∈ V
2		fnconstg 6741	. . . . . 6 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ∈ V → (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼
4		dsmmfi 21763	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)}) Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
5	3, 4	mpan 698	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
6	5	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
7		rlmsca 21238	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
8	7	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
9	8	oveq1d 7400	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
10	6, 9	eqtrd 2791	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
11		frlmval.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑅 freeLMod 𝐼)
12	11	frlmval 21773	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 = (𝑅 ⊕m (𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
13		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼)
14		eqid 2756	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
15	13, 14	pwsval 17491	. . . 4 ⊢ (((ringLMod‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
16	1, 15	mpan 698	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
17	16	adantl 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼) = ((Scalar‘(ringLMod‘𝑅))Xs(𝐼 × {(ringLMod‘𝑅)})))
18	10, 12, 17	3eqtr4d 2801	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝐹 = ((ringLMod‘𝑅) ↑s 𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1554   ∈ wcel 2136  Vcvv 3448  {csn 4576   × cxp 5638   Fn wfn 6505  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Fincfn 8916  Scalarcsca 17265  X_scprds 17450   ↑_s cpws 17451  ringLModcrglmod 21212   ⊕_m cdsmm 21756   freeLMod cfrlm 21771

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-1o 8425  df-er 8666  df-map 8798  df-ixp 8869  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-fin 8920  df-sup 9378  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12472  df-z 12559  df-dec 12679  df-uz 12830  df-fz 13503  df-struct 17159  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243  df-plusg 17275  df-mulr 17276  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-tset 17281  df-ple 17282  df-ds 17284  df-hom 17286  df-cco 17287  df-0g 17446  df-prds 17452  df-pws 17454  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-dsmm 21757  df-frlm 21772

This theorem is referenced by:  lnrfrlm  43643