MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwstps Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem pwstps 23527
Description: A structure power of a topological space is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pwstps.y π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
Assertion
Ref Expression
pwstps ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ TopSp)
Proof of Theorem pwstps
StepHypRef Expression
1 pwstps.y . . 3 π‘Œ = (𝑅 ↑s 𝐼)
2 eqid 2727 . . 3 (Scalarβ€˜π‘…) = (Scalarβ€˜π‘…)
31, 2pwsval 17461 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})))
4 eqid 2727 . . 3 ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) = ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅}))
5 fvexd 6906 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (Scalarβ€˜π‘…) ∈ V)
6 simpr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 fconst6g 6780 . . . 4 (𝑅 ∈ TopSp β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢TopSp)
87adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {𝑅}):𝐼⟢TopSp)
94, 5, 6, 8prdstps 23526 . 2 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((Scalarβ€˜π‘…)Xs(𝐼 Γ— {𝑅})) ∈ TopSp)
103, 9eqeltrd 2828 1 ((𝑅 ∈ TopSp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ TopSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  {csn 4624   Γ— cxp 5670  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Scalarcsca 17229  Xscprds 17420   ↑s cpws 17421  TopSpctps 22827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fi 9428  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-fz 13511  df-struct 17109  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-pws 17424  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator