Theorem rrxprds 25345

Description: Expand the definition of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrxval.r	⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
rrxprds	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Proof of Theorem rrxprds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrxval.r	. . 3 ⊢ 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
2	1	rrxval 25343	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3		refld 21574	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ Field
4		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
5		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6	4, 5	frlmpws 21705	. . . . 5 ⊢ ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
7	3, 6	mpan 690	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
9		rlmval 21143	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
10		rebase 21561	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
11	10	fveq2i 6837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
12	9, 11	eqtr4i 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)
13	12	oveq1i 7368	. . . . . . . 8 ⊢ ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ↑s 𝐼)
14	10	ressid 17171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝfld ∈ Field → (ℝfld ↾s ℝ) = ℝfld)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ↾s ℝ) = ℝfld
16		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
17	10	eqimssi 3994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
19	16, 18	srasca 21132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⊤ → (ℝfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
20	19	mptru 1548	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝfld ↾s ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
21	15, 20	eqtr3i 2761	. . . . . . . 8 ⊢ ℝfld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
22	13, 21	pwsval 17406	. . . . . . 7 ⊢ ((((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
23	8, 22	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
24	23	eqcomd 2742	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼))
25	2	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
26		rrxbase.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐻)
27		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
28	27, 5	tcphbas 25175	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
29	25, 26, 28	3eqtr4g 2796	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
30	24, 29	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
31	7, 30	eqtr4d 2774	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
32	31	fveq2d 6838	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
33	2, 32	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  {csn 4580   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  Scalarcsca 17180  X_scprds 17365   ↑_s cpws 17366  Fieldcfield 20663  subringAlg csra 21123  ringLModcrglmod 21124  ℝ_fldcrefld 21559   freeLMod cfrlm 21701  toℂPreHilctcph 25123  ℝ^crrx 25339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-seq 13925  df-exp 13985  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-field 20665  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-cnfld 21310  df-refld 21560  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-tng 24528  df-tcph 25125  df-rrx 25341

This theorem is referenced by:  rrxip  25346  rrxsca  25352