Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxprds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxprds 23991
 Description: Expand the definition of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxprds (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))

Proof of Theorem rrxprds
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23989 . 2 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 refld 20758 . . . . 5 fld ∈ Field
4 eqid 2824 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
5 eqid 2824 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
64, 5frlmpws 20889 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
73, 6mpan 689 . . . 4 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8 fvex 6672 . . . . . . 7 ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V
9 rlmval 19958 . . . . . . . . . 10 (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
10 rebase 20745 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Base‘ℝfld)
1110fveq2i 6662 . . . . . . . . . 10 ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘(Base‘ℝfld))
129, 11eqtr4i 2850 . . . . . . . . 9 (ringLMod‘ℝfld) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)
1312oveq1i 7156 . . . . . . . 8 ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ↑s 𝐼)
1410ressid 16557 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field → (ℝflds ℝ) = ℝfld)
153, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℝflds ℝ) = ℝfld
16 eqidd 2825 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) = ((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
1710eqimssi 4011 . . . . . . . . . . . 12 ℝ ⊆ (Base‘ℝfld)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → ℝ ⊆ (Base‘ℝfld))
1916, 18srasca 19948 . . . . . . . . . 10 (⊤ → (ℝflds ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)))
2019mptru 1545 . . . . . . . . 9 (ℝflds ℝ) = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
2115, 20eqtr3i 2849 . . . . . . . 8 fld = (Scalar‘((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ))
2213, 21pwsval 16757 . . . . . . 7 ((((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ) ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
238, 22mpan 689 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})))
2423eqcomd 2830 . . . . 5 (𝐼𝑉 → (ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) = ((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼))
252fveq2d 6663 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (Base‘𝐻) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
26 rrxbase.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐻)
27 eqid 2824 . . . . . . 7 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
2827, 5tcphbas 23821 . . . . . 6 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2925, 26, 283eqtr4g 2884 . . . . 5 (𝐼𝑉𝐵 = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3024, 29oveq12d 7164 . . . 4 (𝐼𝑉 → ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵) = (((ringLMod‘ℝfld) ↑s 𝐼) ↾s (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))))
317, 30eqtr4d 2862 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) = ((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵))
3231fveq2d 6663 . 2 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
332, 32eqtrd 2859 1 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘((ℝfldXs(𝐼 × {((subringAlg ‘ℝfld)‘ℝ)})) ↾s 𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538  ⊤wtru 1539   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480   ⊆ wss 3919  {csn 4550   × cxp 5541  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  ℝcr 10530  Basecbs 16481   ↾s cress 16482  Scalarcsca 16566  Xscprds 16717   ↑s cpws 16718  Fieldcfield 19498  subringAlg csra 19935  ringLModcrglmod 19936  ℝfldcrefld 20743   freeLMod cfrlm 20885  toℂPreHilctcph 23770  ℝ^crrx 23985 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-rp 12385  df-fz 12893  df-seq 13372  df-exp 13433  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-0g 16713  df-prds 16719  df-pws 16721  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-grp 18104  df-minusg 18105  df-subg 18274  df-cmn 18906  df-mgp 19238  df-ur 19250  df-ring 19297  df-cring 19298  df-oppr 19371  df-dvdsr 19389  df-unit 19390  df-invr 19420  df-dvr 19431  df-drng 19499  df-field 19500  df-subrg 19528  df-sra 19939  df-rgmod 19940  df-cnfld 20541  df-refld 20744  df-dsmm 20871  df-frlm 20886  df-tng 23189  df-tcph 23772  df-rrx 23987 This theorem is referenced by:  rrxip  23992  rrxsca  23998
 Copyright terms: Public domain W3C validator