MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxprds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxprds 25337
Description: Expand the definition of the generalized real Euclidean spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxprds (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜((ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})) β†Ύs 𝐡)))

Proof of Theorem rrxprds
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
21rrxval 25335 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 refld 21558 . . . . 5 ℝfld ∈ Field
4 eqid 2728 . . . . . 6 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
5 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
64, 5frlmpws 21691 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
73, 6mpan 688 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) = (((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
8 fvex 6915 . . . . . . 7 ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„) ∈ V
9 rlmval 21091 . . . . . . . . . 10 (ringLModβ€˜β„fld) = ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜(Baseβ€˜β„fld))
10 rebase 21545 . . . . . . . . . . 11 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
1110fveq2i 6905 . . . . . . . . . 10 ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„) = ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜(Baseβ€˜β„fld))
129, 11eqtr4i 2759 . . . . . . . . 9 (ringLModβ€˜β„fld) = ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)
1312oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼) = (((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„) ↑s 𝐼)
1410ressid 17232 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ Field β†’ (ℝfld β†Ύs ℝ) = ℝfld)
153, 14ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℝfld β†Ύs ℝ) = ℝfld
16 eqidd 2729 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„) = ((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„))
1710eqimssi 4042 . . . . . . . . . . . 12 ℝ βŠ† (Baseβ€˜β„fld)
1817a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (⊀ β†’ ℝ βŠ† (Baseβ€˜β„fld))
1916, 18srasca 21076 . . . . . . . . . 10 (⊀ β†’ (ℝfld β†Ύs ℝ) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)))
2019mptru 1540 . . . . . . . . 9 (ℝfld β†Ύs ℝ) = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„))
2115, 20eqtr3i 2758 . . . . . . . 8 ℝfld = (Scalarβ€˜((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„))
2213, 21pwsval 17475 . . . . . . 7 ((((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})))
238, 22mpan 688 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼) = (ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})))
2423eqcomd 2734 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})) = ((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼))
252fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
26 rrxbase.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
27 eqid 2728 . . . . . . 7 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
2827, 5tcphbas 25167 . . . . . 6 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
2925, 26, 283eqtr4g 2793 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3024, 29oveq12d 7444 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ((ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})) β†Ύs 𝐡) = (((ringLModβ€˜β„fld) ↑s 𝐼) β†Ύs (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))))
317, 30eqtr4d 2771 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) = ((ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})) β†Ύs 𝐡))
3231fveq2d 6906 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜((ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})) β†Ύs 𝐡)))
332, 32eqtrd 2768 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜((ℝfldXs(𝐼 Γ— {((subringAlg β€˜β„fld)β€˜β„)})) β†Ύs 𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533  βŠ€wtru 1534   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βŠ† wss 3949  {csn 4632   Γ— cxp 5680  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„cr 11145  Basecbs 17187   β†Ύs cress 17216  Scalarcsca 17243  Xscprds 17434   ↑s cpws 17435  Fieldcfield 20632  subringAlg csra 21063  ringLModcrglmod 21064  β„fldcrefld 21543   freeLMod cfrlm 21687  toβ„‚PreHilctcph 25115  β„^crrx 25331
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-exp 14067  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-subg 19085  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-cnfld 21287  df-refld 21544  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-tng 24513  df-tcph 25117  df-rrx 25333
This theorem is referenced by:  rrxip  25338  rrxsca  25344
  Copyright terms: Public domain W3C validator